指向数学建模素养的高考数学试题研究——以2022年全国卷、新高考卷为例

叶德伟

(浙江大学教育学院 310028)

何羽茜

(浙江省杭州高级中学钱江校区 310021)

数学建模素养是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，是数学学科六大核心素养之一．数学建模过程既体现了数学与现实世界的相互作用，又离不开数学知识、方法、思想的运用．数学建模素养的发展必然会带动其他数学学科核心素养的进步，而其他数学学科核心素养又是数学建模素养发展的重要基础．因此，在教学实践中提升学生的数学建模素养就显得尤为重要．

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下简称《课标2017》)指出高考命题应注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，充分考虑对教学的积极引导作用．由此可见，数学高考试题是评价学生数学建模素养的重要载体之一，其对师生开展日常数学建模教学与评价提供了重要依据．因此，本文以2022年高考数学全国卷、新高考卷共计六份试卷为研究对象，分析高考试卷中指向数学建模素养的试题的分布、水平层次和命题特征，寻找数学建模与数学学科教学与评价的融合点，为开展数学建模教学、提升学生数学建模素养提供若干建议．

1 指向数学建模素养的试题在高考数学试卷中的分布

根据《课标2017》对数学建模素养的界定，我们将指向数学建模素养的试题界定为学生需要对现实问题进行数学抽象，经历用数学语言表达问题、用数学方法构建模型才能解决的问题．初步对2022年高考数学全国卷、新高考卷进行分析，发现每份试卷都有试题指向学生数学建模素养的发展．进一步对这些试卷中指向数学建模素养的试题题型、背景、分值等信息进行统计，并根据鲍建生、叶立军、姜浩哲等人的研究，将试题中所涉及的数学建模背景分为个人生活、社会生活、数学文化和科学研究四类，结果如表1所示．

根据表1可以看出，指向数学建模素养的试题总分在不同高考试卷中差距较大，其中最高的为全国甲卷(文科)29分，最低为新高考Ⅰ卷17分．从试题类型上看，指向数学建模素养的试题主要分布在选择题与解答题中，少数分布在填空题中．从数学建模背景类型上看，涉及的数学建模背景以社会生活背景为主，以个人生活、科学研究、数学文化背景为辅，重视考查学生利用所学知识解决实际生活、社会生产问题的能力．

表1 2022年高考数学全国卷、新高考卷指向数学建模素养的试题相关信息

试卷位置数学建模背景背景类型分值总分全国甲卷文科选择题第2题调查垃圾分类讲座效果社会生活5分解答题第17题调查长途客车运行情况社会生活12分解答题第19题设计封闭包装盒个人生活12分29分理科选择题第2题调查垃圾分类讲座效果社会生活5分选择题第8题《梦溪笔谈》“会圆术”数学文化5分解答题第19题比较学校体育比赛成绩社会生活12分22分

续表

试卷位置数学建模背景背景类型分值总分全国乙卷文科选择题第4题统计课外体育运动时长个人生活5分填空题第14题参加社区服务工作社会生活5分解答题第19题估计某种树木总材积量社会生活12分22分理科选择题第4题研究嫦娥二号绕日周期科学研究5分选择题第10题计算象棋比赛获胜概率个人生活5分填空题第13题参加社区服务工作社会生活5分解答题第19题估计某种树木总材积量社会生活12分27分新高考Ⅰ卷选择题第4题计算某水库的蓄水量社会生活5分解答题第20题研究某种疾病与卫生习惯关系科学研究12分17分新高考Ⅱ卷选择题第3题古建筑物剖面图数学文化5分选择题第5题文艺汇演排序社会生活5分解答题第19题调查某种疾病与年龄关系科学研究12分22分

2 数学建模素养在高考试题中的水平层次

要研究高考试题对数学建模素养的考查水平层次，就必须要依托一套科学的核心素养形成水平划分标准．本文根据喻平提出的数学核心素养评价框架，结合《课标2017》对数学建模素养水平的界定，确定了如表2所示的数学建模素养水平编码表．

表2 数学建模素养水平编码表

水平编码描述水平一:知识理解M1掌握高中阶段常见数学模型的实际背景和数学描述;在熟悉的情境中,模仿学过的数学建模过程或根据已知模型解决问题;在交流过程中,能够借助或引用已有数学建模结果说明问题水平二:知识迁移M2在熟悉情境中,发现问题并转化为数学问题;在数学建模过程选择合适的模型来解决常规性复杂问题;在交流过程中,能够用模型思想说明问题水平三:知识创新M3在综合情境中,运用数学思维进行分析,发现情境中的数学关系,提出数学问题;利用数学方法和语言创造性地建立合适的模型来解决非常规问题;在交流过程中,能够用数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象

根据表2所建构的数学建模素养水平编码表，对2022年高考数学全国卷、新高考卷中指向数学建模素养的试题进行编码，统计各水平数学建模试题的数量.其中，此处的试题数量并非与题号一一对应，而是学生实际需要作答的任务量，例如，全国甲卷(理科)第19题共有2小题，则试题数量记为2．

编码过程由两位高中数学教师共同完成，两人先依据数学建模素养水平编码表独立对2022年高考数学全国卷、新高考卷中指向数学建模素养的试题进行编码，再经过多轮讨论、协商并结合专家意见，最终得到各水平数学建模素养的编码数据，具体如表3所示．

表3 2022年高考数学全国卷、新高考卷中各水平

数学建模试题数量

试卷M1M2M3全国甲卷文科320理科310全国乙卷文科311理科231新高考Ⅰ卷031新高考Ⅱ卷320总计14123

由表3可知，高考试卷中指向数学建模素养的试题对学生数学建模素养水平的考查以知识理解和知识迁移为主，主要考查学生在熟悉情境中 运用学过的数学模型解决问题或选择合适的数学模型解决问题的能力；对知识创新水平的考查为辅，弱化对学生建构模型以解决非常规问题的要求．

3 指向数学建模素养的试题在高考试卷中的命题特征

3.1 以个人生活为媒介，解决身边的数学问题，激发学习兴趣

数学的应用已渗透到人们日常生活的各个方面．学生将个人生活中所遇到的现实问题转化为数学问题，寻找合适的数学模型解决问题，体验在实际生活中运用数学模型进行科学决策的过程，既能让学生认识到数学与生活息息相关，激发学习数学的积极性，更能让学生经历用数学模型解决实际问题的过程，积累数学实践的经验．

图1

例1

(2022年数学全国甲卷(文科)第19题)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图1所示：底面

ABCD

是边长为8(单位：cm)的正方形，△

EAB

,△

FBC

，△

GCD

，△

HDA

均为正三角形，且它们所在的平面都与平面

ABCD

垂直.(1)证明：

EF

∥平面

ABCD

；

3.1.3 保证柴油机冷却及润滑效果。要定期处理冷却水腔中的污垢，保证柴油机滤清器的畅通运行，并且定期添加冷却液及润滑油。品质良好的冷却油及润滑液能够有效减小气缸套的磨损，延长柴油机的使用寿命。

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的 厚度).

评析 本题以综合实践活动中封闭的包装盒设计为背景，第(1)小题需分析题中的几何关系，分别取

AB

,

BC

中点为点

M

,

N

，根据面面垂直的性质定理得

EM

∥

FN

，再根据

AB

=

BC

、△

EAB

和△

FBC

为正三角形得

EM

=

FN

，从而判定四边形

EMNF

为平行四边形，得到

EF

∥

MN

，最后根据线面平行的判定定理可证得

EF

∥平面

ABCD

；第(2)小题需将该几何体补形为长方体，可知包装盒的容积为长方体体积减去四个全等三棱锥的体积，其中长方体底面积即为正方形

ABCD

的面积、高为△

EAB

的中线长可得长方体的体积三棱锥的底面是腰长为4 cm的等腰直角三角形、高即为长方体的高，可得一个三棱锥的体积则包装盒的容积该题主要考查面面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、补形法、棱锥体积公式等知识，在发展学生数学建模、直观想象、数学运算、数学抽象、逻辑推理等素养的同时，让学生利用数学知识解决个人生活中的真实问题，激发数学学习兴趣．

3.2 以社会生活为素材，认识数学的社会功用，发展关键能力

数学作为一门被广泛使用的学科，可以帮助人们在社会生产中搜集与处理信息、描述现象、探索规律，从而提高生产效率．高考数学试题通过真实的社会生活情境让学生建立一些基于数学表达的经济模型和社会模型，用模型的思想寻找生产中的最优解，既使学生认识到数学对社会价值创造、生产力发展的重要作用，又让学生形成了解决社会生产问题的能力．

例2

(2022年数学新高考Ⅰ卷第4题)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为

A.1.0×10mB.1.2×10m

C.1.4×10mD.1.6×10m

评析 本题以南水北调工程中某水库的蓄水量计算为背景，学生需要将上升的水位高度转化为棱台的高

h

=

h

-

h

=157.5-148.5=9(m)，将水位为海拔157.5 m和海拔148.5 m时相应水面的面积转化为棱台的上下底面面积

S

和

S

，代入棱台体积公式计算出水库增加的水量约为

V

=1.4×10m．该题主要考查棱台的体积公式，指向学生数学建模、数学运算、逻辑推理等素养的发展，并让学生体会数学对提高社会生产效率的重要作用．

3.3 以数学文化为载体，重走数学发现之路，体现古人智慧

图2

例3

(2022年数学全国甲卷(理科)第8题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图是以

O

为圆心、

OA

为半径的圆弧，

C

是

AB

的中点，

D

在上，

CD

⊥

AB.

“会圆术”给出弧长的近似值

s

的计算公式：当

OA

=2，∠

AOB

=60°时，

s

=( ).评析 本题以《梦溪笔谈》中计算圆弧长度的“会圆术”为背景，需要学生理解“会圆术”给出的弧长计算公式，根据

OA

=

OB

=2和∠

AOB

=60°推导出△

AOB

为正三角形，故

AB

=2，连结

OC

得根据

C

是

AB

的中点、

CD

⊥

AB

，则延长

DC

可得

O

在

DC

上，由

D

在上知

OD

=2，故

CD

代入公式即得该题主要考查等边三角形的性质、圆的性质、圆弧长度的计算，发展学生的数学建模、数学运算、数学抽象等素养，并让学生体会中华优秀传统文化的博大精深．

3.4 以科学研究为线索，实现学科深度融合，彰显学科地位

数学是进行科学研究的重要基础．数学理论的发展使得众多科学问题得到解决，加快了人们认识自然、认识世界的进程．高考试题依托科学研究的背景，要求学生提取科学信息中的关键要素，建构数学模型以解决复杂科学问题、阐释科学规律，显化数学模型的科学含义，实现数学学科与科学学科的深度融合，不仅有效提升了学生的数学建模素养，更能使学生认识到数学的工具性和技术性价值．

例4

(2022年数学全国乙卷(理科)第4题)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列依此类推，其中

α

∈

N

(

k

=1,2,…),则( ).A

.b

<

b

B

.b

<

b

C

.b

<

b

D

.b

<

b

评析 本题以研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值为背景，要求学生根据题目条件理解数列{

b

}中的

α

，根据作差法或不等式的性质比较数列各项的大小关系，通过排除法得到结论．该题主要考查数列各项大小的比较、数列的性质，发展学生的数学建模、数学运算、数学抽象、逻辑推理等素养，使学生体会数学对科学发展的重要作用．

4 提升学生数学建模素养的教学建议

4.1 加强整体设计，挖掘优质建模问题情境

研究发现，目前指向数学建模素养的试题在高考试卷中已占有一定比重(17～29分)，高考试题以个人生活、社会生活、科学研究、数学文化中的相关问题为背景，引导学生解决身边的、社会中的复杂数学问题，探究科学研究、数学典籍中所蕴含的数学知识、方法和思想．日常教学中，教师应创设优质的数学建模情境，提升情境的真实水平，带领学生发现其中的数学关系、提出数学问题，用数学的语言、符号建构数学模型以解决问题．具体来看，首先，优质的数学建模情境必须是真实且有意义的，例如以提高新冠肺炎检测效率为问题情境开展分布列内容的教学；其次，数学建模问题情境必须是与学生认知起点、思维水平相匹配的挑战性问题，例如引入放射性物质衰减的问题情境开展指数函数的教学；最后，优质的数学建模问题情境必须是学生感兴趣的、能够激发学生问题解决积极性的，例如以探究民间折纸艺术中对折次数与对折后总面积的关系为问题情境进行数列求和内容的教学．

4.2 探索融入方式，优化数学建模教学路径

高考试卷中指向数学建模素养的试题的问题情境与学生的问题解决过程基本是紧密联系的，例如，给出某一林区树木根部横截面积与材积量的数据，要求学生建立模型计算两者的样本相关系数．因此，教师应探索数学建模教学的合适路径，提升学生的数学建模素养．具体看，有三种教学路径：其一，在数学知识教学的过程中提升学生的数学建模素养，例如，在解三角形教学过程中，可引入测量旗杆高度的问题，要求学生运用解三角形的知识建立模型解决问题；其二，在数学方法教学的过程中提升学生的数学建模素养，例如可以引入推测未来人口数量的问题，要求学生运用归纳法建立模型解决问题；其三，在数学思想内化的过程中，可引入计算太阳系某行星运动轨道的问题，要求学生运用数形结合的思想建立模型解决问题．

4.3 开发课程资源，推动真实建模过程发生

指向数学建模素养的试题通过还原现实生活情境，如调查垃圾分类讲座效果、统计课外体育运动时长，考查学生利用所学数学知识、方法和思想表达、解决生产生活中复杂问题的能力．为提升学生应对复杂问题的能力，教师应整合可用的课程资源，带领学生走出课堂，挖掘生产生活现象背后的数学元素，在开展个人决策、社会调查、科学研究、数学典籍阅读等活动的过程中学习数学，进一步认识数学对生产生活、科技进步、社会发展的作用，使学生具体化、情景化、体验化、互动化地感知和参与数学学习，切实理解复杂问题、现象背后所蕴含的数学知识、方法和思想，推动真实数学建模过程的发生，从而提升数学建模素养．以“某市阶梯电价的设计”项目为例，教师可要求学生设计问卷，随机调查若干小区住户的月用电量；接着，根据调查所获得的数据查阅资料、访谈专家以探究阶梯电价分档、临界值的设定原则和方法，建构某市阶梯电价设定模型；最后，随机选取居民开展调查，检验、阐释所建构模型的科学性．学生在解决真实项目问题的过程中，学习相关数学知识，建立起解决复杂数学问题的思维框架，从而有效发展数学建模素养．

4.4 完善教学评价，促进数学建模素养落地

数学高考试题是开展数学教学评价的重要导向．研究发现，指向数学建模素养的高考试题对学生数学建模水平的评价已涉及知识理解、知识迁移和知识创新水平，学生需要努力理解试题中的真实情境，才能顺利建立模型以解决问题．与之相适应的，教师应在日常教学过程中通过教学评价帮助学生理解真实问题情境及其背后所蕴含的数学知识、方法和思想，使数学建模试题中的真实问题情境成为学生解决日常数学问题的“必需品”而非“附属品”，提升学生数学建模素养水平．具体看，可以根据数学建模教学内容、数学建模素养水平的划分标准、高考数学建模试题的具体特点，以知识理解和知识迁移水平为主、知识创新水平为辅，按比例设计不同素养水平的数学建模习题，从而确保学生既不会因为理解难度过大而对数学建模试题产生畏惧心理，也不会因数学知识与真实情境结合肤浅生硬而失去解决真实问题、提升数学建模素养的机会．