具有一般传染率的SIRS 年龄结构模型的分支研究

张素霞， 刘艳娜， 徐霞霞

(西安理工大学理学院，西安 710048)

0 引言

传染病动力学模型是根据疾病发生、发展及环境变化等情况对传染病发病机理、传播规律及预防控制等问题进行研究的一种有效方法[1]。现实生活中，许多传染病的感染和发病过程都与年龄因素相关，如对一些疾病而言，机体清除病毒的能力与感染时的年龄有重要关系，使之成为影响疾病慢性化的主要因素(乙肝、丙肝等)；一些疾病只在一定年龄阶段的人群之间传染(手足口病等)，且不同年龄阶段的感染率、恢复率和死亡率不同；一些疾病传染力随染病年龄的长短而有明显区别(霍乱、艾滋等)。因此，年龄是传染病流行过程中一个不可忽略的影响因素。近年来，年龄结构传染病模型被广泛利用和研究，以更准确地描述疾病发展和传播的客观情况，取得了丰富的研究成果[2—7]。

免疫对疾病的感染和传播过程有很大的影响。在某些疾病的流行期间，由于宿主的免疫能力并不具有永久性，因而有些病人康复后只有暂时的免疫力，随着时间的推移，康复者会丧失免疫而被再次感染，如流感。在传染病模型中，依据环境条件、病人的活动能力及病菌的毒力等因素，不同的发生率函数被用来刻画不同情况下疾病的传染能力[1]，常用的如标准发生率、双线性发生率和饱和发生率。Beddington-DeAngelis 发生率、Crowley-Martin 发生率以及更一般的发生率形式也被用来分析传染病模型的动力学性态[8—10]。本文针对康复者具有免疫丧失的情况，利用一般发生率函数，建立具有年龄结构的SIRS 传染病模型，分析模型的稳定性和产生分支的条件，所建模型丰富和推广了文献[6—7]中的模型形式。

1 模型与预备知识

1.1 模型的建立

1.2 解的存在性

首先，将模型(1)改写为抽象柯西问题[4，11]，并考虑到边界条件，将状态空间扩大，引入记号

其中u0=(S0，I0，R0，0(a))T，则由文献[12]中定理2 和定理3 有如下结论。

定理1 对任意u(0)=u0∈X+0，系统(2)存在唯一的解半流U(t):X+0→X+0。

于是系统(1)存在唯一的解，进一步易知，对任意t ≥0，具有非负初值的系统(1)的解非负且一致有界。

2 平衡点与线性化

3 稳定性与Hopf 分支

3.1 E0 的稳定性

考虑式(7)如下形式的解

3.2 E*的稳定性

为了寻找E*处的特征方程，令

利用Routh-Hurwitz 判据，有以下定理。

定理5 如果τ=0，则当R0＞1 时，地方病平衡点E*局部渐近稳定。

当τ增加时，若特征方程(12)具有正实部的特征根，此时，特征根穿过虚轴进入右半平面，该情况下会出现Hopf 分支，接下来考虑可能的分支情况。

3.3 Hopf 分支

4 数值模拟

图1 当f(I)= ， τ =3.5 时，地方病平衡点E*渐近稳定

图2 当f(I)= ， τ =4 时，地方病平衡点E*不稳定，出现周期解

图3 当f(I)= ， τ =3.5 和τ =4 时康复者年龄分布

图4 当f(I)= ， τ =3 时，地方病平衡点E*渐近稳定

图5 当f(I)= ， τ =10 时，地方病平衡点E*不稳定，出现周期解

图6 当f(I)= ， τ =3 和τ =10 时康复者年龄分布

5 结束语