基于双极社会强化的谣言传播模型稳定性分析与优化控制

王建荣，关莹

（1.山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006；2.天津大学 智能与计算学部，天津 300072）

0 引言

谣言传播会对社会秩序造成巨大的伤害，同时可以引起民众的恐慌[1]。谣言传播模型的研究始于19世纪60年代，Daley等[2]最早提出了DK模型，在此模型中将人群分为三类：无知者、传播者、抑制者。之后，Maki等[3]在DK模型的基础上提出了MT模型，当传播者与另一个传播者接触时，只有该传播者转变为免疫者。在DK模型和MT模型的基础上，研究者又做了大量的相关研究[4-6]。考虑到一个人听到谣言后可能不会立即传播谣言，而是会先处于犹豫状态，之后才会决定去传播该谣言，因此Xia等[7]提出了SEIR谣言传播模型。但是实际上，人们在犹豫之后也可能由于对该谣言不感兴趣，从而选择不传播谣言。Liu等[8]考虑到这一点，建立了异质网络上的改进的SEIR谣言传播模型。另一方面，赵敏等[9]考虑了外部环境干预因素对谣言传播的影响。王佳敏[10]则将政府干预作为一个独立变量考虑。而在实际谣言传播问题中，可以通过调节政府干预强度来削弱谣言传播的影响。大多数现有的谣言控制策略未能满足谣言传播的当前情况，并实现最佳控制策略效果[11]。近几年许多学者讨论了最佳控制策略以控制总成本保持最低[12-15]。

近几年，谣言传播的遗忘机制[16-20]引起了研究者们的关注。Nekovee等[19]改进了考虑遗忘机制的谣言传播模型。Zhao等[17]人提出了一个SIHR模型，将记忆遗忘机制引入到同质网络中，研究了传播率、遗忘率和网络平均度对谣言传播的影响，发现冬眠者的记忆遗忘机制推迟了谣言的结束时间，减少了最大的谣言影响。王彦本等[20]建立了以遗忘率为指数函数形式的谣言传播模型，将指数函数形式的遗忘率和常数形式的遗忘率进行对比，对比发现指数形式的遗忘率更符合谣言传播的实际情况。这些模型没有考虑迁入率和迁出率对谣言的影响，实际上在谣言的传播过程中，考虑迁入率和迁出率是很有必要的，也没有考虑到冬眠者到移除者转化的可能性。在人类活动和互动的复杂情况下，个体的行为和选择会受到周围环境的影响。如果个人多次收到谣言，就有可能相信谣言，被称为积极的社会强化。由于教育、理性分析或信息冗余等原因，个人再次收到相同信息时，可能会对谣言产生怀疑，被称为消极的社会强化。Huo等[21]在异质网络中考虑了社会强化和遗忘因子建立改进的谣言传播模型，智者参与了谣言传播动态过程，谣言最终规模与双极社会强化有关。从动力系统角度，Ma等[22]探讨了在线社交网络中考虑积极影响和消极影响的两极社交强化对谣言传播动态，但是考虑的是最简单的SIR仓室模型，并且没有对该模型进行稳定性分析。接触谣言信息的次数是一个重要的因素，而现有的模型多是采用常数传播率，并没有考虑到谣言个体接触信息次数对谣言传播的影响。因此，本文综合考虑了双极社会强化因素、迁入率、迁出率、谣言传播次数、唤醒率等因素，建立了一种新颖的ISHR谣言传播模型，该模型更加复杂、更能契合实际，并对系统稳定性和优化控制进行了详细分析。

1 模型的建立

本文综合考虑了双极社会强化因素、迁入率、迁出率、谣言传播次数、唤醒率等因素，将一个由N个个体组成的种群分为四类：无知者I、传播者S、冬眠者H、抑制者R，建立了一种新颖的ISHR谣言传播模型，谣言传播流程图如图1所示。其中δ为遗忘率，ξ为唤醒率，β为传播率，Λ为迁入率，μ为迁出率，这些参数均为非负数。假设如果一个人第n次收到谣言，他将以概率λn成为传播者。λn=λ0((1+b)(1−h))n，b∈[0，1]为增强因子，h∈[0，1]为衰退率，λ0意味着好奇心对新鲜事物的固有属性[22]。

图1 谣言传播流程图Fig.1 Flowchart of rumor spreading

本文的谣言传播规则如下：

（i）当一个无知者听到谣言后，以概率λn成为传播者，或者以1−λn成为抑制者。

（ii）传播者由于自身原因以概率θ对谣言失去兴趣或忘记谣言成为抑制者。

（iii）传播者和另一个传播者或抑制者或冬眠者接触后，第一个传播者以概率α成为抑制者。

（iv）传播者以概率δ暂时忘记了谣言而成为冬眠者，冬眠者以概率ξ重新记起谣言，以比例ξθ1继续传播谣言，以比例1−ξθ1成为抑制者。

根据谣言传播规则可以得到ISHR谣言传播模型的平均场方程为

2 基本再生数和平衡点的稳定性分析

3 最优化控制

4 数值模拟

针对谣言传播模型（1）的理论分析结果，通过数值模拟验证其正确性。采用的仿真环境是Matlab 2016a。系统模型的初始值设置为I(0)=80，S(0)=10，H(0)=0，R(0)=0。

图2（a）是对系统无谣言平衡点的稳定性分析。选取参数为δ=0.2，θ=0.6，β=0.1，ξ=0.2，b=0.3，h=0.1，n=8，θ1=0.1，Λ=5， 通过计算可以得出R0<1。由图2（a）可以看出系统的解最终趋于无谣言平衡点。传播者、冬眠者和移除者人数的变化趋势 如图2（b）所示。选取参数为δ=0.1，θ=0.01，β=0.8，ξ=0.01，b=0.6，h=0.002，n=10，θ1=0.1，Λ=5，通过计算可以得出R0>1。在图2（b）给出的谣言传播过程中，传播者、冬眠者和移除者的人数先增加，达到峰值后逐渐趋于稳定。

图2 系统无谣言平衡点和正平衡点的稳定性Fig.2 Stability of the rumor free equilibrium and positive equilibrium

唤醒率ξ和遗忘率δ对R0的影响如图3所示。选取参数为δ=0.1，θ=0.01，b=0.3，h=0.1，θ1=0.1，λ0=0.1，α=0.8，μ=0.1，Λ=5。从图3可以看出，基本再生数R0随唤醒率ξ的增加而单调增加，固定唤醒率ξ和遗忘率δ越大，基本再生数越小。这表明唤醒率ξ和遗忘率δ都会对谣言传播产生影响，唤醒率增加了谣言传播的概率，而遗忘率δ越小越容易增加谣言传播的风险。相关部门应该通过发布一些新的信息或是持续报道相关信息，让人们对信息的需求得到满足，增大人们对该谣言的遗忘速度。

图3 唤醒率ξ和遗忘率δ对R0的影响Fig.3 Effect of arousal rateξand forgetting rateδonR0

正增强因子h和衰退率b对基本再生数R0的影响如图4（a）所示。选取参数为δ=0.1，θ=0.01，θ1=0.1，λ0=0.1，α=0.8，μ=0.1，Λ=5，ξ=0.01。由图4（a）可以看出，基本再生数R0随增强因子b的增大而增大，这表明积极地社会强化促进谣言传播。基本再生数随衰退率h的增大而减小，意味着消极的社会强化会抑制谣言传播。谣言传播次数n和θ对基本再生数R0的影响如图4（b）所示。选取参数为δ=0.1，θ1=0.1，λ0=0.1，α=0.8，μ=0.1，Λ=5，ξ=0.01，b=0.3，h=0.1。从图4（b）可以看出，基本再生数R0随谣言传播次数n的增大而增大，这表明谣言传播次数越大，谣言越容易传播。给定固定的n，基本再生数R0随θ的增大而减小，相关部门应该第一时间公开谣言真相，当人们获得真相时，就会减小对谣言的兴趣。

图4 正增强因子，衰退率，谣言传播次数和失趣率对基本再生数R0的影响Fig.4 Effect of positive enhancement factor,decay rate,number of rumors spread and loss of interest rate on the basic reproduction numberR0

基本再生数R0中相关参数的敏感性分析[28]如图5 所示。由图5可以看出，λn，β，θ1，ξ是与R0成正相关，其他参数呈负相关。此外，可以发现δ和θ的参数敏感较强，相关部门可以通过发布一些新的信息或是持续报道相关信息，让人们对谣言有新的认知的。

图5 参数敏感性分析Fig.5 Sensitivity analysis of parameters

接下来，依据敏感性分析结果，主要考虑针对遗忘率δ和失去兴趣率θ进行最优化控制。对于最优控制问题，设置控制变量的边界δ=[0，0.6]，θ=[0，0.8]，参数设置为Λ=5，μ=0.1，β=0.1，ξ=0.01，b=0.3，h=0.1，λ0=5，θ1=0.1，α=0.8。权重参数设置为A=2，B=1，C1=1，C2=1，T=10。分别采用了无控制、四分之一强度控制、二分之一强度控制、最大控制和最优控制进行数值模拟。最优控制效果对比如图6所示。由图6（a）可以看出，最优控制策略能够有效地控制传播者的数量。由图6（b）可以看出，随着时间的推移，参数的选取逐渐降低，从而降低了控制成本。由图6（c）可以看出，与其他控制策略相比，最优控制策略采用的代价成本最低。

图6 最优控制效果Fig.6 Effect of optimal control

5 结论

本文考虑了双极社交强化因素和唤醒机制，建立了一种新颖的ISHR谣言传播动力学模型，计算了平衡点和基本再生数，通过构造Lyapunov函数证明了无谣言平衡点和正平衡点的全局稳定性。考虑到媒体对谣言传播的抑制作用，为了减少传播者的数量和降低控制成本，对参数遗忘率δ和失去兴趣率θ进行了最优控制。首先证明了最优控制解的存在性，其次通过构造哈密顿函数，利用Pontryagin极大值原理得到最优控制解。利用数值模拟首先对系统的稳定性分析结果进行了验证。然后，对基本再生数R0的相关参数进行了敏感性分析。最后，主要考虑针对遗忘率δ和失去兴趣率θ进行最优化控制。结果表明：与其他几种控制方式相比，最优控制可以使传播者数量显著减少，实现了控制目标和控制成本之间的平衡。