面向票价票额综合优化的高速铁路客票分类定价策略

胡心磊，史 峰，秦 进

(中南大学 交通运输工程学院，湖南 长沙 410075)

中国已经拥有世界上最大的高速铁路(以下简称“高铁”)网络，但整体运营效益水平仍存在较大提升空间。客票定价和票额分配决策都是影响高铁运输企业收益的重要因素，两者相互制约又相互影响，密不可分。既有研究更多地集中于单一的客票定价问题或票额分配问题，两者综合优化的研究相对较少，尤其因为问题的高度复杂性，高铁网络的客票定价和票额分配综合优化研究更为少见。

Hetrakul等[1]利用潜类别模型描述旅客的选择行为，首次提出铁路票价和票额分配问题的综合优化模型并设计相应的求解算法，该研究未考虑多列车服务同一OD对的情形。Lin[2]针对高铁票价和票额分配的综合优化问题构建双层规划模型，但未给出求解算法和算例分析。在仅考虑单列车运行的前提下，宋文波等[3]提出随机需求下的高铁动态定价与票额分配综合优化模型。对于多列车服务同一OD对的情形，赵翔等[4]、秦进等[5]和邓连波等[6]提出考虑旅客选择行为的高铁动态定价和票额分配综合优化方法，其差异主要体现在旅客出行需求的描述方式、票价的约束条件和票额分配决策变量的形式等方面。赵翔等[7]还将多种交通方式竞争的情形融入高铁客票定价和票额分配综合优化的研究中。既有铁路客票定价和票额分配综合优化研究大多数仅能解决单列车或者几列车的问题，无法解决大规模问题，与实际应用存在一定差距。

融合差异化定价策略和多阶段定价策略，Hu等[8]构建面向高铁网络的客票定价和席位综合优化模型，设计适应大规模问题的求解算法。由于列车开行数量多且单列车服务的OD对数量大，文献[8]提出的方法仍存在求解时间较长的缺陷。本文在文献[8]的基础上进行以下几方面拓展：①提出分类定价策略，对服务相同OD对的同类列车设置相同票价以降低变量规模；②基于历史购票曲线，考虑各列车旅行时间，设计服务同一OD对列车的聚类算法；③按列定价拓展为按类定价，构建高铁客票分类定价和票额分配综合优化模型并设计求解算法。将分类定价策略引入高铁客票定价和票额分配综合优化方法，不仅可以弥补现有方法不适用于网络级问题的不足，还能为我国高铁网络市场化运营提供决策依据。

1 问题描述

1.1 高铁客票定价和票额分配综合优化问题

高铁客票定价和票额分配综合优化问题可以描述为：对于给定的高铁网络，已知高铁列车运行图和旅客出行需求函数，在科学合理划分预售期的基础上，考虑列车定员、票价上限和下限的严格约束，求解服务各OD对的各列车在不同预售阶段的最优票价和相应的最优票额分配数量。问题的基本假设如下：

①仅考虑单一的列车席别。

②高铁旅客在预售期内的不同阶段对票价的敏感程度不同。

③考虑旅客在预售期的不同阶段对票价敏感程度的差异性，将预售期按照不同的OD对划分为数量不同且长短不一的预售阶段。

既有文献划分预售期时，一般考虑时间和售票量两个维度。常见的划分方式主要有两种[9-10]：①将预售期划分为等时间长度的若干阶段；②将预售期划分为时间长度不同的若干个阶段，但每个阶段的售票量相等。在实际售票过程中，等时间长度的划分方式方便操作，每隔一段时间对票价和票额分配数量做相应调整即可，但存在的缺陷是，一旦实际购票量与估计值产生较大偏差时，无法对价格和席位进行准确控制。等售票量划分是一种相对理想的划分方式，每个阶段的售票量固定，便于构造需求函数。理论上可以精确控制各预售阶段的票价和票额分配数量，但在实际售票过程中存在一定操作困难。

不同预售阶段旅客对票价的敏感程度存在差异，采用价格弹性可以描述不同预售阶段的旅客对票价敏感程度的差异性。一般而言，高铁旅客出行需求的价格弹性随着预售期的推移而减小，即在预售期内，越临近发车日，旅客对票价越不敏感。

1.2 列车聚类和分类定价策略

法国国营铁路公司和英国国家铁路公司等在进行高铁票价差异化定价决策时，对于服务相同OD对的列车，并未采用“一车一价”的定价策略，而是对具有类似属性的列车设置相同的价格，即 “一类一价”。本文将服务相同OD对的列车按类别定价的方法定义为分类定价策略。列车分类定价策略不仅具有广泛的运营实践基础，还可以减少优化问题中票价决策变量数量，从而有效降低计算规模。列车聚类问题，即如何将服务相同OD对的列车科学合理地划分为若干类，使得分类方案适用于高铁客票定价和票额分配综合优化问题，是实现分类定价策略的基础。

引入分类定价策略，则高铁客票定价和票额分配综合优化问题可以拓展为高铁客票分类定价和票额分配综合优化问题，具体表述为：对于给定的高铁网络，已知高铁列车运行图和旅客出行需求函数，在科学分类列车和合理划分预售期的基础上，考虑列车定员、票价上限和下限的严格约束，在分类定价策略下，求解服务各OD对的各类高铁列车在不同预售阶段的最优票价和相应的最优票额分配数量。

2 基于购票曲线的列车聚类方法

引入分类定价策略，则高铁客票定价和票额分配综合优化问题可以拓展为高铁客票分类定价和票额分配综合优化问题，具体表述为：对于给定的高铁网络，已知高铁列车运行图和旅客出行需求函数，在科学分类列车和合理划分预售期的基础上，考虑列车定员、票价上限和下限的严格约束，在分类定价策略下，求解服务各OD对的各类高铁列车在不同预售阶段的最优票价和相应的最优票额分配数量。

对服务同一OD对的列车进行聚类，获得服务该OD对列车的分类方案，是高铁客票分类定价的基础。本节综合考虑购票曲线和列车运行时间，在定义列车与列车之间的“距离”的基础上，设计服务同一OD对列车的聚类方法。

i,j为高铁车站，Hij为服务OD对(i,j)的列车集合，对于列车h∈Hij，存在一条表示提前购票时间与累计售票量关系的曲线，记录在预售期内列车服务OD对(i,j)的逐日累计售票量，该曲线为购票曲线或预订曲线。预订曲线在民航运输领域被用于分析和预测旅客提前预订行为。对于服务相同OD对的高铁列车，购票曲线相似的列车具有相似服务特征且对旅客的吸引力相近。

购票曲线见图1，横坐标为距列车发车日的时间，T为预售期天数，购票曲线共包含T+1个节点，横坐标0为列车发车当日，T为预售期的第一天。购票曲线的纵坐标为截至相应预售日，列车h∈Hij在OD对(i,j)的累计售票量。需要说明的是，当一列车服务多个OD对时，不同OD对对应不同的购票曲线。

图1 购票曲线示意图

欧式距离的平方是评估两条购票曲线相似度最为传统且直观的方法[11]。考虑到在购票曲线中，越临近列车发车日的节点越接近最终的总售票量。高铁列车a、b购票曲线的相似度指标s(a,b)为

(1)

综合考虑购票曲线相似性和列车旅行时间，列车间的距离d(a,b)为

(2)

基于列车与列车之间“距离”的定义，利用全局k-means算法框架，设计基于购票曲线的高铁列车聚类算法，具体步骤如下：

Step1输入待聚类的列车h∈Hij，利用轮廓系数法确定最优聚类数m。

3 分类定价策略在票价票额综合优化问题中的应用

利用第2节提出的列车聚类方法，将高铁网络中服务每个OD对的列车相应划分为若干类，引入分类定价策略，对服务同一OD对的同类列车设置相同票价并优化票额分配。本节以文献[8]提出的模型和算法为基础，应用列车聚类方法，构建高铁网络客票分类定价和票额分配综合优化模型并进行算法优化。与文献[8]所提出的方法相比，应用列车聚类方法将列车票价变量合并，可以有效降低定价和票额分配综合优化问题中票价变量的规模，减少计算时间。

3.1 符号定义

符号及定义见表1。

表1 符号及定义

3.2 模型构建

OD对(i,j)之间的高铁旅客出行需求，可以描述为关于列车服务票价的函数[15]。根据各类列车的票价，可替代列车服务集{i,j,h|h∈Hij}在第kij个预售阶段的加权平均票价为

(3)

在平均票价定义的基础上，构造第kij个预售阶段的高铁旅客弹性需求函数为

kij=1,2,…,Kij(i,j)∈W

(4)

考虑票价和旅行时间对旅客购票选择行为的影响，利用多项式Logit模型，计算第kij个预售阶段选择高铁列车服务i,j,h′的旅客人数为

kij=1,2,…,Kijh′∈Hij(i,j)∈W

(5)

基于上述高铁旅客出行需求和购票选择行为的定量描述，构建高铁客票分类定价和票额分配综合优化模型为

(6)

s.t.式(3)～式(5)

luh=1,2,…,nh-1h∈H

(7)

kij=1,2,…,Ki(h,u),j(h,v)1≤u

(8)

式中：P为模型的决策变量集合，P={pArkij|pArkij∈R+,kij=1,2,…,Kij,Ar∈Hij,(i,j)∈W}。

目标函数式(6)表示最大化总客票收入；式(7)是列车各个运行区间的能力约束；式(8)是票价的下限约束。与文献[8]构建的高铁客票定价和票额分配综合优化模型(以下简称模型M1)相比，本文在列车聚类基础上提出的高铁客票分类定价和票额分配综合优化模型(以下简称模型M2)的优势主要体现在以下几方面：①模型M2决策变量从各列列车的票价phkij改进为各类列车票价pArkij，决策变量规模明显降低；②保持了对列车在服务不同OD对时精确的席位控制，实现票价和票额分配的综合优化；③方便日常运营组织过程中票价的存储与管理。

3.3 算法设计

本文沿用文献[8]设计的求解算法框架，根据分类定价策略的特征调整算法，同时引入递归运算进一步提高算法的求解效率。求解算法主要步骤如下：

Step2引入松弛变量，将式(7)以惩罚函数的形式转化到目标函数中，则原模型重构为无约束非线性规划问题。

Step3在Davidon-Fletcher-Powell算法基础上，优化迭代步长的计算，引入递归运算，求解最优票价和票额分配数量。

求解算法的具体步骤参见文献[8]，需要说明的是本文引入递归运算是为了减少目标函数的梯度的计算量。

4 算例分析

首先以服务单个OD对的列车为研究对象进行列车聚类，对基于购票曲线的高铁列车聚类方法的有效性进行验证，探究相关参数取值对聚类结果的影响。在此基础上，构造4列车服务3个OD对的小算例分析，高铁客票分类定价和票额分配综合优化模型参数灵敏度，并与既有方法进行对比分析。最后通过大规模算例验证本文所提出的分类定价策略在提高票价票额综合优化问题求解能力方面的作用和意义。

4.1 列车聚类算例分析

以京沪高铁北京南—上海虹桥的36列车为研究对象。列车车次及其旅行时间见表2，由于停站方案的差异，列车旅行时间最短为288 min，最长为369 min。列车发车日为2016年12月1日，预售期为60 d，所有列车的购票曲线见图2、图3。

表2 京沪高速铁路北京南—上海虹桥列车车次及旅行时间

图2 北京南—上海虹桥高铁列车购票曲线(Ⅰ)

图3 北京南—上海虹桥高铁列车购票曲线(Ⅱ)

对服务不同OD对的列车进行聚类时，式(2)中的参数γ取值不同，反映了不同乘距旅客对旅行时间敏感程度的差异。但是，对于给定的OD对，参数γ的取值同样会影响列车聚类的结果。为此，本小节构造3种情形，讨论参数对聚类结果的影响。3组参数的取值情形分别为：①γ=100,m=3(由轮廓系数法确定的最优聚类数量)；②γ=400,m=2(由轮廓系数法确定的最优聚类数量)；③γ=400,m=3。利用基于购票曲线的高铁列车聚类方法对36列车进行聚类，3种情形下的分类结果见表3。

表3 3种情形下的列车聚类结果

在情形①下，结合购票曲线可以发现，第Ⅰ类列车最终的总售票量最高，均在500张以上，且列车旅行时间较短，均在300 min以内；第Ⅱ类列车较第Ⅰ类列车总售票量相对较低，为250～500张，旅行时间较第Ⅰ类列车更长，为295～310 min；第Ⅲ类列车的特征是旅行时间长且累计售票量低。从分类结果可以看出，3类列车在总售票量和旅行时间两方面的特征明显，说明本文提出的列车聚类方法能有效地将列车按照运行特征分类。

对比3种情形下的聚类结果可以看出，参数γ的取值会影响最优聚类数；在聚类数相同的前提下，参数γ的取值影响具体的聚类结果。具体而言，当参数γ从100增加到400时(表示旅客对旅行时间的敏感程度提高)，最优分类数从3类下降到2类；情形②下第Ⅰ类列车恰好是情形①下第Ⅰ和第Ⅱ类列车的并集；当聚类数均为3时(情形①和情形③)，两种情形下的聚类结果存在显著差异：情形①下第Ⅰ和第Ⅱ类列车的并集恰好是情形③下第Ⅰ类的全部列车，情形①下第Ⅲ类列车在情形③下被拆分成了2类。

4.2 分类定价策略应用算例分析

以中国高铁网络中的一个十字形子网络为背景，对分类定价策略在票价票额综合优化问题中的应用进行算例分析，见图4。十字形网络共36个高铁车站，连接了包括武汉、广州、长沙、南昌和贵阳在内的省会城市，所有区间均为双线铁路，最高运行速度为310 km/h。列车运行图数据来源于2016年12月1日的时刻表信息，τ=30元/h。求解算法通过Matlab 2019b编程实现，并且在配置为Intel(R) Xeon(R) 3.70 GHz处理器，128 GB内存，且基于Windows操作系统的工作站上完成计算。

图4 中国高铁网络的十字形子网络

4.2.1 小规模算例

表4 小规模算例模型参数

(9)

(1)模型参数灵敏度分析

由图5可知，存在一个两类列车的票价权重系数的组合使得两类列车的最优票价相等，此时两类列车可以合并为一类列车并设置相同的票价。类似的，由图6可知，同样存在一个两类列车的权重系数的组合使得两类列车的最优席位分配数量相等。需要说明的是，使得两类列车最优票价或最优席位分配相等的权重组合并不相同。

图5 两类列车最优票价

图6 两类列车最优席位分配

除权重系数之外，列车定员、初始需求和弹性需求函数参数的设置对模型的优化结果也会产生影响。列车定员体现运输能力的供给，本文主要讨论当某类列车中的单一列车定员的变化对其他列车的影响。当G1101次列车的定员发生变化时，两类列车的最优票价见图7：当一类列车中某一列车的定员从0逐渐增加时，该类列车各个运行区段的票价显著降低；当列车定员超过一定阈值后，两类列车的票价收敛于定值。第1类列车和第2类列车的最优席位分配见图8、图9，同类列车的最优席位分配成比例，当第1类列车中的某一列车定员较低时，不仅导致同类列车的最优席位分配数量较低，也会导致第2类列车的最优席位分配数量处于较低水平。结果表明，各类列车的定员配置应相当，不宜过高或者过低于同类列车，否则会导致同类和其他类列车的能力浪费。从整体来看，列车定员的配置应与需求水平相当，当运输能力供给过高时必然会导致能力利用率较低。

图7 两类列车最优票价

图8 第1类列车最优席位分配

图9 第2类列车最优席位分配

(2)收益提升和计算时间对比

模型M2在模型M1的基础上引入列车分类定价策略。M2对同类列车设置相同价格，而M1对逐列列车单独定价，在搜索最优解时，M2无法像M1一样通过精细地调节每列车的票价从而影响旅客需求和票额分配方案，最终达到总客票收入最大化的目标。

经计算两个模型的优化结果和计算时间见表5。M1所获得的最优总客票收入是M2所获得的最优总客票收入的1.02倍。从结果中可以明显看出利用M1对票价和票额进行优化后各列车的客座率明显高于M2。这是因为M2按照同类列车设置相同票价的原则进行定价，部分列车无法通过精细地票价调节使列车被充分利用，因此，M2在减小优化计算时间的同时损失了一定的优化空间。

表5 M1和M2优化结果和计算时间

然而，M2所花费的计算时间仅为M1的45.83%。尽管利用M2对票价和票额进行优化所获得的客票收入相对较低，但M2通过减小问题规模，显著缩短了求解时间。在实际应用过程中，引入分类定价策略，通过较小的客票收入损失换来更多的计算时间节省，对解决大规模高铁客票定价和票额分配综合优化问题具有重要意义。

4.2.2 大规模算例

图10 大规模算例的收敛曲线

大规模算例在M1和M2下的计算时间见表6，对比显示，引入分类定价策略后，由于决策变量数的减少，单次迭代的计算时间显著下降，尽管迭代次数增加，但总计算时间大大缩短。结果表明，针对大规模客票定价和票额分配综合优化问题，分类定价策略能显著缩短定价和票额分配综合优化模型的求解时间。

表6 大规模算例在M1和M2下的计算时间

5 结论

本文针对高铁网络中大规模列车客票定价和票额分配优化方法存在计算时间长的问题，以降低计算规模为目标，提出分类定价策略。利用购票曲线构建其相似性指标，综合考虑列车运行时间，设计服务同一OD对的高铁列车聚类方法，在此基础上构建高铁客票定价和票额分配综合优化模型，并融合DFP算法和递归运算设计高效求解算法。通过算例分析，验证了本文所提出方法在求解大规模问题时的显著优势。然而，作为多阶段定价和票额分配的基础，预售期阶段的划分方式是值得进一步深入研究的问题。