基于Melnikov法的双摆系统混沌特性研究

刘丁杨， 蹇开林,2， 张 亮,2

(1. 重庆大学 航空航天学院，重庆 400044；2. 重庆大学 非均质材料力学重庆市重点实验室，重庆 400044)

双摆系统广泛的存在于生活与工程中，包括人手脚的运动、机械臂、机械足、高尔夫球手的挥杆、吊车、起重机、受电弓以及各种各样的双摆角主轴头和旋转双摆系统都可以简化为双摆模型，因此双摆的混沌研究具有十分重要的意义[1-9]。虽然双摆是由两个简单摆耦合而成的简单系统，但其运动状态却表现出极为复杂的动力学现象，具体表现为第二摆的运动轨迹杂乱无序。双摆作为不可积二自由度Hamilton系统，虽然运动方程可以通过Euler-Lagrange方程得到，但对运动混沌性的研究一直没有什么定论。

凌复华和徐如进通过Birkhoff级数形式的正则变换研究系统的可积性，当系统处于较低能级时，系统是近可积的，其近似积分具有大量代表拟周期解的封闭曲线以及代表周期解的离散点，此时系统的运动状态并非混沌；当系统处于较高能级时，系统是不可积的，此时系统的运动状态是混沌的[10]。Martynyuk等[11]通过系统对称性丧失判断出轨迹中出现非周期解，进而产生混沌运动，利用动态对称原理分析对称性丧失的条件，证明了双摆质量比较大时，双摆存在有条件的周期性轨迹和混沌轨迹。Stachowiak等[12]通过Poincaré截面图研究双摆，表明随着能量的增加，双摆将从周期运动转变为准周期运动，进而转变为混沌运动。Calvao等[13]不仅比较了分岔图、最大Lyapunov指数谱图、功率谱图、傅里叶变换图、时间历程图等不同方法在混沌研究中的优缺，而且研究了两摆初始角度对双摆混沌的影响。Mukul等[14]着眼于质量比与摆长比对混沌的影响，比较不同情况下，双摆的运动状态，得到双摆随质量和长度的增加而倾向混沌的结论。Yang等[15-19]钻研拓扑马蹄理论，基于拓扑马蹄的存在条件编写了一个MATLAB工具箱Horseshoe Tool；通过相空间“降维-升维”的思想设计四维时间连续系统寻找算法，使寻找马蹄的工作变得简单高效；将理论应用于双摆模型，在系统某一能量面的Poincaré截面上选取适当的曲面四边形，发现四边形经过Poincaré映射呈马蹄状，从而在理论上证明了双摆系统的混沌性。

上述文献对双摆系统的混沌研究具有重要意义，但大多停留在数值层面，本文将双摆的Hamilton系统视为上级系统，运用近似方法得到两个下级的拟Hamilton系统，下级系统的运动情况较上级系统更为简单，因此下级系统混沌为双摆系统混沌的必要条件；应用双自由度的Melnikov法[20-21]构建拟Hamilton系统的Melnikov函数来分析横截同宿点的存在条件，立足于能量本身，从理论上找出拟Hamilton系统混沌的能量阈值，从而给出双摆混沌的必要条件，并用随参数变化的最大Lyapunov指数图、分岔图和Poincaré截面图验证了理论推导的正确性；同时也发现了因模型局限而产生的两种例外情况，并从理论角度对产生例外的原因进行分析。

1 Melnikov方法分析双摆混沌条件

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图1 双摆模型Fig.1 Double pendulum model

对式(1)中的余弦项cos(θ1-θ2)进行放缩处理，取cos(θ1-θ2)/g为ε1；对cosθ2进行泰勒展开，取拉格朗日余项的常数项cosξ/24(0<ξ<θ2)为ε2，得

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〔设计意图：任务性的字数要求，无体验式的作文指导，造成了中年级学生无话可写或写流水账的通病，这也是学生的烦恼。由学生的困惑引出作文训练内容，更能激发学生的学习兴趣。〕

2 混沌条件的数值模拟验证

显然，初速度不影响能量阈值，双摆存在初速度时，阈值不变而系统能量较无初速度时更大，更有可能超越阈值。为方便讨论，本章假定双摆系统无初速度，此时H=(m1+m2)gl1(1-cosθ1)+m2gl2(1-cosθ2)，同时考虑2m2gl2和2(m1+m2)gl1两个阈值，有

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本节从两方面入手： 一方面以m为自变量，固定参数l=2/9；另一方面以为自变量，固定参数m=2；角度参数按假设条件选择，通过最大Lyapunov指数图、分岔图、Poincaré截面图和时间历程图验证上述假设，进而来证明本文理论。最大Lyapunov指数属于定量分析法，是目前判断系统混沌最可靠的标准之一，当最大 Lyapunov指数大于0，可判断系统为混沌运动。分岔图表示系统状态随分岔参数变化的规律，可以得到系统混沌运动的所对应的参数区域。Poincaré截面图和时间历程图反映某一时间内系统响应的变化规律。

2.1 完全混沌

随参数m变化的最大Lyapunov指数图如图2所示，图2(a)中θ1=60°,θ2=120°；图2(b)中θ1=150°,θ2=120°。当m∈[1.1,16]时，最大Lyapunov指数始终大于0，系统处于混沌运动。

图3为随参数l变化的最大Lyapunov指数图，图3(a)、图3(b)的角度参数与图2(a)、图2(b)一致。当l∈[0.1,2]时，最大Lyapunov指数始终大于0，系统处于混沌运动。可以发现：图2(b)、图3(b)中的Lyapunov指数显然大于图(a)中的Lyapunov指数，表明在图(b)的参数条件下，系统混沌程度更深；与系统能量增加，系统混沌程度也会增大的一般结论相符。

图2 当l=2/9时，随参数m变化的最大Lyapunov指数图Fig.2 The graph of the largest Lyapunov exponent that varies with the parameter m when l=2/9

图3 当m=2时，随参数l变化的最大Lyapunov指数图Fig.3 The graph of the largest Lyapunov exponent that varies with the parameter l when m=2

2.2 局部拟周期

本节取参数θ1=60°,θ2=90°，由本文得到的混沌条件可推测：若系统l=2/9，在m<3和m>9处必然混沌；若系统m=2，在1/l<1和1/l>3处必然混沌。

图4为的最大Lyapunov指数图。图4(a)可见：当m<3时，系统虽然处于混沌运动，但最大Lyapunov指数逐渐下降，最终趋近于0； 当m>9时，最大Lyapunov指数大于0，且缓慢上升，系统处于混沌状态。图4(b)为图4(a)中m∈[3,9]的放大图，图中大部分数值低于0.005，却很少为0，有一些甚至为负数，而对于Hamilton系统，Lyapunov指数的和为0[22]，可以推测最大Lyapunov指数应始终大于等于0。可见Lyapunov指数终究是通过数值方法计算得出，不可避免的存在一些误差，无法很好判断拟周期状态，因而需要引入分岔图、Poincaré截面图和时间历程图来说明。

图4 当θ1=60°,θ2=90°,l=2/9时，随参数m变化的最大Lyapunov指数图Fig.4 The graph of the largest Lyapunov exponent that varies with the parameter m when θ1=60°,θ2=90°,l=2/9

图5为分岔图，图5(a)以为分岔参数，图5(b)以1/l为分岔参数，描述了系统从混沌态到拟周期态再到混沌态的转变，系统混沌运动的所对应的参数区域满足理论推导结果。

图5 当θ1=60°,θ2=90°时，以m和1/l为分岔参数的分岔图Fig.5 Bifurcation diagram with m and 1/l as bifurcation parameter when θ1=60°,θ2=90°

图6为Poincaré截面图，可见：图6(a)、图6(c)、图6(d)、图6(f)中存在明显的片状区域，周边还有一些的离散截点，表明在相应参数条件下，系统为混沌运动；图6(b)、图6(e)图中存在有限个封闭曲线状和直线状的点集，表明在相应参数条件下，系统为拟周期运动。

图6 当θ1=60°,θ2=90°时，Poincaré的截面图Fig.6 Poincaré section when θ1=60°,θ2=90°

图7为时间历程图，可见系统在图7(a)、图7(c)、图7(d)、图7(f)图的参数条件下，响应混乱、不规则、无周期；图7(b)、图7(e)图的参数条件下，系统响应平稳、规律且具有一定周期。图6、图7表明系统在推测区域确为混沌运动，且在某些区域存在拟周期运动，验证了理论的正确性。

图7 当θ1=60°,θ2=90°时的时间历程图Fig.7 The graph of time series when θ1=60°,θ2=90°

(m1,m2,l1,l2)4个物理量同时影响能量与阈值，因此不能简单通过能量大小判断系统状态。若m2为定值1，则m=1+m1；若其余参数条件相同，则m1的大小将决定系统能量的大小，图4～图7显示：当m=2时系统处于混沌运动状态； 当m=6时系统处于拟周期运动状态，可见即便系统能量较低，也有可能产生混沌。

3 模型局限性分析

该结论虽然能处理绝大多数情况，但在数值模拟中依然可以发现两种例外情况。下面分别对两种情况进行分析。

3.1 θ1≈θ2

Calvao等通过各种数值方法，研究了在无初速度，m=2,l=1,θ1=θ2的参数条件下的系统状态，得到系统混沌阈值为θ1≥80°，而通过本文理论得到的阈值为θ1≥70.5°，相差了约10°。

3.2 l2≫l1或l1≫l2

若m较大，在l1≫l2的情况下，系统的能量主要集中在第一摆上，第二摆对系统的影响极为有限；而在l2≫l1的情况下，两摆间难以相互影响，与其说两摆耦合在一起，不如说一个单摆系统加上第二摆产生的微小扰动。因此，上述两条件下，系统在参数m较大的区域进行拟周期运动，而非混沌运动。本节取固定参数θ1=60°,θ2=90°，图8(a)是l=1/9的分岔图，图8(b)为l=9时的分岔图。

图8 当θ1=60°,θ2=90°时，以m为分岔参数的分岔图Fig.8 Bifurcation diagram with m as bifurcation parameter when θ1=60°,θ2=90°

图8体现出系统从混沌态到拟周期态的转变。对比图8(a)、图8(b)可知，两种情况下系统有着相似的运动状态。虽然具体参数有所差异，但随着参数m增加，系统的运动可分为三个阶段：第一阶段，分岔图显示完全离散的点，系统处于混沌状态，与理论相符；第二阶段，离散的点逐渐组成模糊的线，此时m2较大，虽然第二摆可以当作微小扰动，但依然可以影响系统的运动状态；第三阶段，图中显示清晰的线相互交错，此时m2足够小，第二摆作为微小扰动已不能影响系统的运动状态，系统无法重回混沌状态。当m=50时系统能量远超阈值，却处于拟周期状态，可见系统处于较高能级时，也有可能不产生混沌。

4 结 论

(1) 本文研究了双摆的混沌运动，建立了双摆运动的拟Hamilton模型，根据双自由度的Melnikov法提出拟Hamilton系统发生混沌运动的能量阈值，虽然因模型局限产生了两种例外情况，但在一般情况中，得到Hamilton系统混沌的必要条件。

(2) 研究表明阈值大小与摆长、摆重密切相关，而摆长、摆重又影响能量大小，意味着其他参数相同的条件下，初速度越大的系统越可能超越阈值，进行混沌运动；对无初速度双摆系统进行分析，得到了与必要条件等价的两个公式，运用数值方法验证其正确性。

(3) 详细讨论了混沌运动和能量之间的关系，发现即便系统能量较低，也有可能产生混沌；利用理论与数值相结合的方法解释结论的局限性，发现某些极端情况下即便能量远超阈值，也有可能不产生混沌。可见，能量与系统混沌之间存在复杂的联系，而不是一般认为的“低能级拟周期、高能级混沌”这么简单。