三阶矩阵微分方程解法探讨

鲁 鑫，钟紫滢，吴幼明

（佛山科学技术学院数学与大数据学院，广东 佛山 528000）

高阶微分方程组在应用数学和物理学的不同领域得到了广泛的应用，因而受到诸多关注。如何寻找微分方程组的通解，成为求解很多数学模型的关键步骤，因此继续深入探究高阶微分方程组的求解问题具有重要的实用价值。

由于微分方程组中至少存在两个未知量，故其研究相对于单个方程更加困难，降阶法和特征根法是处理高阶齐次线性微分方程的常用方法；求高阶非齐次线性微分方程组的特解是微分方程理论的重要内容之一，而对于高阶微分方程组的特解研究，当非齐次项是某些特殊函数时，可通过待定矩阵法和按列比较法求得其特解。国内外很多学者采用上述方法研究了二阶常系数线性微分方程组的求解问题，并得出许多实用成果。2002 年，吴幼明等［1］给出了不含一阶导数项的二阶矩阵微分方程Af''-Bf=t（x）的通解，其中非齐次项t（x）为二次多项式。针对文献［1］中的微分方程组，2006 年，吴幼明等［2-3］分别给出当t（x）为二次多项式乘以指数函数、三角函数乘以指数函数这两种情形下的特解，从而对文献［1］中其他形式的非齐次项的特解进行了补充。

在二阶常系数线性微分方程组非齐次项t（x）同为二次多项式的情形下，吴幼明等［4-6］研究了如下3种形式的微分方程组Af''-aAf'-Bf=t（x）、Af''-bBf'-Bf=t（x）和Af''-Bf'-Af=t（x），对文献［1］进行了拓展。2010—2011 年，针对文献［4］的方程组，吴幼明等［7-8］分别给出当t（x）为二次多项式乘以指数函数、三角函数乘以指数函数这两种形式的特解。而对于文献［6］的微分方程组，文献［9-10］分别给出了t（x）为二次多项式乘以指数函数、三角函数乘以指数函数这两种形式的特解，以上研究进一步丰富和完善了文献［4］和文献［6］的工作。

相对于二阶常系数微分方程组，三阶常系数微分方程组的研究相对较少。1994 年，陈志勇［11］推导出三阶微分方程组f'''-Bf=0 的通解公式，但没有用特征根法求解。直到2019 年，吴幼明等［12］采用特征根法和降阶法推导出三阶常系数微分方程Af'''-aAf'-Bf=0 的通解。接着，吴幼明等［13-14］在文献［12］的基础上，运用待定矩阵法和按列比较法进一步研究其非齐次项为三次函数乘以指数函数、三角函数乘以指数函数这两种情形下的特解公式。

本文在文献［12-14］的基础上，采用特征根法和待定矩阵法，求出一类不含二阶导数项的二维三阶常系数线性微分方程组Af'''-bBf'-Bf=t（x）的通解公式，其中，t（x）为三次多项式，最后通过算例对通解进行验证。本文既是文献［11］的延续，亦是文献［12-14］的补充。

1 符号

为了叙述方便，引入如下记号

其中，fi=fi（x）是关于x 的函数，ti（x）是关于x 的三次多项式（i=1，2，3），aij，bij及b 均为常数（i，j=1，2）。将微分方程组（1）写成如下矩阵形式

则式（2）可写为

2 方程的通解

2.1 齐次方程的通解

先采用特征根法解方程（4）对应的齐次方程，其形式为

首先，对方程（4）采用降阶方法，作变换f1'=f3，f2'=f4，f1''=f3'=f5，f2''=f4'=f6，并代入微分方程组（5），得

记

矩阵D的特征多项式为：│D-λE6│=│（λb+1）C-λ3E2│=0，其中，E6和E2分别为6 阶和2 阶单位矩阵。若λb+1=0，则特征方程为│D-λE6│=│-λ3E2│=0，解得λ=0 为矩阵D的6 重特征根，这与条件λb+1=0 矛盾，故λb+1≠0，从而矩阵D 的特征方程可化为

这里，E=-（c11+c12），F=│C│。

以下分别来求矩阵D 的6 个特征根各自对应的特征向量。

（1）当λ=λ1，求解特征方程（D-λ1E6）ξ=0，即

解方程组（10），得λ1的特征向量ξ1为。同理，可求得其余5 个特征根λi（i=2，3，…，6）对应的特征向量；

根据齐次方程组的理论，已求得式（6）的系数矩阵D 的6 个特征值λi及其该特征根对应的6 个线性无关的特征向量ξi=［ξ1i，ξ2i，ξ3i，ξ4i，ξ5i，ξ6i］T（i=1，2，…，6）。则可得线性方程组（6）的通解为

其中，ci为常数（i=1，2，…，6）。

利用式（11）的前两项，并根据特征向量之间关系，可得齐次线性微分方程组（5）的通解为

2.2 非齐次方程的特解

由式（12）与（13）得方程（2）的通解为

注 当b=0 时，方程（2）的通解公式为

其中，V是矩阵C 的特征根所对应的列特征向量构成的矩阵；Λ1=diag（λ1，λ4），Λ2=diag（λ2，λ5），Λ3=diag（λ3，λ6）；C'1，C'2，C'3为常数向量。

3 算例

求如下微分方程组的通解

解 将上述方程组写成矩阵形式，有

综上所述，方程组（15）的通解为

经检验，式（17）为齐次方程组（15）的通解。

4 结语

文章对一类微分方程组Af'''-bBf'-Bf=t（x）的通解公式进行了探究。首先采用降阶方法，降低三阶微分方程组的求解难度，再利用特征根法得出其齐次方程组的通解公式，最后通过利用待定矩阵法得出该类不含二阶导数项的三阶微分方程组在非齐次项t（x）为三次多项式情形下的特解公式，并利用具体算例验证结果的准确性。虽然本文寻找到该微分方程组在非齐次项为三次多项式情形下对应的特解公式，但对于其他更为复杂的非齐次项对应的通解公式并未进行探索。另外，目前求解高阶微分方程组通解公式的方法较为统一，这些有待于后面继续进行深入探究，进一步完善研究微分方程组的相关理论与方法。