一类广义KdV方程的留数对称和CRE可解性

吕梓帆,张顺利

(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

1 引言

非线性系统的研究在自然科学领域有着非常重要的作用,描述非线性系统的方法有很多种,如递推算子法,Darboux变换法,M¨obious变换法等[1-2],其中对称群理论和Painlev´e分析法在构造精确解的过程中起着重要的作用.近年来,楼森岳教授等人发现了Painlev´e分析也可用于获取非局域对称,对应于Painlev´e截断展开的奇异流形的留数,因此也被称为留数对称.此外,文献[3-5]还进一步推广了Painlev´e截断展开方法,引入了“一致Riccati展开可解性”的定义,这对于构建相互作用解和新的可积系统有重要意义.目前,很多方程的精确解都可以利用上述方法构造出来,如Korteweg-de Vries方程,Burgers方程,色散长波方程,非线性Boussinesq方程,Boussinesq-Burgers方程,Kadomtsev-Petviashvili方程,Benjamin-Bona-Mahony方程等[6-14].

文献[15]提出的著名的浅水波运动方程在其他物理研究中[15],也可以作为一种长波模型,用于解释孤立波的相互作用和无耗散的波状激发等现象.当物理参数被适当吸收到非独立变量u和独立变量x,t的定义中,它们分别与物理系统中的距离和时间成正比时,得到一类广义的KdV方程如下:

对于上述方程,已有许多学者进行了可积性与可解性相关的研究.文献[16]研究了该方程的可积性,文献[17-18]研究了广义KdV方程的精确解及级数解等问题.通过适当的变换,方程(1)可转化为一般的KdV方程,文中所得结论也可推导应用于一般的KdV方程中.本文主要研究了广义KdV方程(1)的留数对称和CRE可解性,并基于此构造出方程新的相互作用解,并作出相应解的波形图.

2 非局域留数对称及其局域化

方程(1)的Painlev´e截断展开可表示为如下形式:

其中f表示奇异流形,u0,u1,u2,f都是关于x,t的函数.将(2)式代入方程(1)中,令f的各次幂都为零,可解出

则有

同时f满足下面的Schwarzian形式

其中

Schwarzian形式在M¨obious变换

下保持不变,即方程(5)容许如下的三个对称:

其中c1,c2,c3为任意常数.将表达式(3)代到方程(1)中,可以得到如下B¨acklund变换定理.

定理2.1(B¨acklund变换定理)如果f是方程(5)的解,则

是方程(1)关于f和解u之间的一个B¨acklund变换.当f和u满足B¨acklund变换(7)时,方程(1)有如下的留数对称:

由于非局域对称不能直接约化,因此需要将其进行局域化.为找到上述非局域留数对称的有限对称形式,首先需要解决如下初值问题:

其中ε是群参数.由于在初值问题的求解中涉及函数以及它的导数,需要对其进行相应的延拓将其转换为局域的Lie点对称.为此,引入辅助变量g和h,利用表达式

则方程(1)的非局域留数对称可以被局域化为延拓系统(1),变换(7),表达式(10)的Lie点对称,即

相应的Lie点对称的向量场表达式为

由Lie的第一基本定理,得到如下初值问题:

解上面的初值问题便可得到下面的对称群变换定理.

定理2.2(对称群变换定理)如果f,g,h,u是系统(1),变换(7),表达式(10)的解,则也是,其中

3 CRE可解性及新的精确解

根据CRE方法,方程(1)有如下形式的截断展开式:

其中w=w(x,t),R(w)是Riccati方程

的解,l0,l1,l2是任意常数,且l20.将表达式(15)和方程(16)代入方程(1)中,令R(w)的各次幂前面的系数为零,可解出

同时,w满足方程

其中

由此可知,方程(1)也是CRE可解的.因此,得到如下定理.

定理3.1(CRE可解性定理)如果w是方程(18)的一个解,则

也是方程(1)的解,其中R(w)是Riccati方程的解,且u0,u1,u2满足(17)式.

注3.1当l0=1,l1=0,l2=-1时Riccati方程(16)有一个特解为

此时,称该系统为CTE可解系统,截断展开式(15)变为

根据文献[3],方程(18)的解描述了方程(1)的孤立子和其它非线性激发的相互作用解,设其一般形式为

将(22)式代入方程(18),得到下面的椭圆方程:

其中

因此,方程(1)的解具有如下形式:

其中R(w)是Riccati方程的解,且有

接下来讨论方程(1)的孤立波与椭圆周期波之间的两种特殊形式的相互作用解.

例3.1取椭圆方程(23)的解W为如下特殊形式:

其中sn(k2x+h2t,m)为椭圆函数,Eπ为第三类不完全椭圆积分.取

此时Riccati方程的解为

将(26)式-(27)式代入(25)式中,可以得到方程(1)的相互作用解

其中

利用主项分析计算,能够得到c,k2,h2需满足如下关系式:

图1为例3.1中方程(1)的相互作用解u的波形图,图2为t=0时例3.1中解u的平面周期波结构图,参数选择如下:

图1 u的波形图

图2 t=0时u的平面波结构图

显示出孤立波在椭圆周期波作用下的传播.

例3.2取椭圆方程(23)的解W为如下形式:

其中sn(m(k2x+h2t),n)为椭圆函数.取l0=l1=0,l2=1,此时Riccati方程的解为

将(30)式-(31)式代入(25)式中,可以得到方程(1)的相互作用解为

其中

通过计算,k2,h2需满足如下关系式:

图3为例3.2中方程(1)的相互作用解u的波形图,图4为t=0时例2中解u的平面波结构图,参数选择如下:{a=2,b=3,m=1,n=1,C2=3,h1=2,k1=1},显示出钟状孤立波的传播.

图3 u的波形图

图4 t=0时u的平面波结构图

4 结束语

由Painlev´e截断展开法得到广义KdV方程的留数对称和B¨acklund变换定理,并通过引入合适的新变元将其局域化为Lie点对称,在此基础上,利用Lie的第一基本定理研究了延拓系统的有限变换.最后,用CRE方法获得了该方程的新的相互作用解.为了更好地研究解的性质,通过选取适当的参数,利用Maple软件给出了解的相应图形,进而可以更好地分析其解的性质以及波峰波谷的形状.