一个非线性演化方程的达布变换

朱赛柯,李芳

(河南工业大学理学院,河南 郑州 450001)

1 引言

非线性演化方程是由有限维可积系统描述的非线性偏微分方程,是刻画自然界中非线性现象的重要模型.对各种非线性演化方程精确解的研究在现代数学中非常重要,并对数学、物理和其他科学的几个领域产生了影响.随着对孤立子理论的深入研究,近些年来已经发展了一些系统的方法来求出非线性演化方程的精确解,如反散射法[1-3],非线性化法[4-5],Hirota双线性法[6-7],几何代数法[8-9],Darboux变换法[10-12],B¨acklund变换法[13-15],Painlev´e分析法[16-17]等.在众多的方法中,Darboux变换法是一种简单且富有成效的方法,它从种子解出发,进而求出非线性演化方程的精确解.截至目前,用Darboux变换法求解与2×2矩阵谱问题相关的非线性演化方程,已经得到了很多丰富的结果,但是在处理与3×3矩阵谱问题相关的非线性演化方程时,结果相对比较有限.同时与2×2矩阵谱问题的Darboux变换相比,3×3矩阵谱问题的Darboux变换的计算更复杂且难度更大.文献[18]提出了一族与3×3矩阵谱问题相联系的非线性演化方程,并且研究了其拟哈密顿结构和无穷多守恒律.然而用Darboux变换法求方程(6)的解尚未有人研究,因此本文的主要研究内容是构造该与3×3矩阵谱问题相联系的非线性演化方程的Darboux变换并得到其精确解的表达式.

本文研究内容如下:在第二节中,通过谱问题找到相对应的辅谱问题,从而得到非线性演化方程.在第三节中利用谱问题的规范变换构造该非线性演化方程的Darboux变换.在最后一节中从种子解出发,得到精确解的表达式.

2 非线性演化方程

考虑3×3矩阵空间部分谱问题

及时间部分谱问题

其中u,v,w是两个关于x和t的位势函数,λ是谱参数.

当r=0时,

由相容条件

可得零曲率方程

令t=t0,将时间部分谱问题和空间部分谱问题代入(5)式计算可得非线性演化方程

此方程为文献[18]中方程族的第一个非平凡方程.

3 达布变换

在本节中,将构造方程(6)的一个Darboux变换.它具有如下的Lax对表示:

其中U,V的表达式分别为(1)式和(3)式,u,v,w是两个关于x,t的位势函数,λ是谱参数.

首先引入规范变换

则(7)式变成新的Lax对

其中

假设

其中α1是常数,bij(i,j=1,2,3)是关于x,t的函数.

将(12)式-(13)式代入(10)式并比较λ的同次幂系数可得

故新旧位势之间的关系为

因为detT是关于λ的三次多项式,故存在λj(j=1,2,3)使detT=0.因此

设

为问题(1)的三个基础解.由于

故当λ=λj时,线性相关,即存在不全为零的常数满足

上式等价于

其中

将(12)式代入方程组(18)可得

命题3.1由(10)式确定的矩阵与U具有相同的形式,即可表示为

新旧位势的关系为(14)式-(15)式.

证明T的伴随矩阵是T*=T-1detT.设

通过计算得fij(λ)(i,j=1,2,3)是关于λ的三次或四次多项式.

由(1)式和(19)式可得,当λ=λj(j=1,2,3)时,有

由方程组(18)可得

易验证λj是fij(λ)的根,故(21)式可改写为

其中Q(λ)的表达式为

比较(26)式中λ的同次幂系数得

命题3.2由(11)式确定的矩阵与V具有相同的形式,即可表示为

新旧位势的关系为(14)式-(15)式.

证明T的伴随矩阵是T*=T-1detT.设

通过计算得gij(λ)(i,j=1,2,3)是关于λ的三次或四次多项式.

由(2)式和(19)式可得,当λ=λj(j=1,2,3)时,有

由方程组(18)可得

易验证λj是gij(λ)的根,故(27)式可改写为

其中P(λ)的表达式为

比较(32)式中λ的同次幂系数得

定理3.1命题3.1和命题3.2成立的前提下,利用Darboux变换法可将方程(6)的一组解(u,v,w)生成它们的另一组解,其中新旧位势之间的关系为(14)式-(15)式.

4 精确解

本节通过以上讨论的Darboux变换法来求解方程(6)的精确解.取u=v=w=0作为种子解,则三个基础解为

当λ=λj(j=1,2,3)时,将(33)式代入(19)式可得

由克莱默法则求解方程组(20)得

其中

由以上式子可以求出bij,因此

是方程组(6)精确解的表达式.