概率论与数理统计课程教学中思政元素的挖掘与实践

苏启琛，周大镯

（惠州学院 数学与统计学院，广东 惠州 516007）

2016年12月，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调“高校思想政治工作关系高校培养什么样的人、如何培养人以及为谁培养人这个根本问题。要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面”［1］。为了深入贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述，2020 年5月，教育部印发实施了《高等学校课程思政建设指导纲要》［2］，这极大提升了广大高校教师践行思政育人的意识，推动教师以课程为载体，探索课程教学与课程思政的融合方式，以实现教书与育人相统一。

概率论与数理统计、高等数学、线性代数是大部分本科专业必修的数学类基础课程，具有覆盖广、受众多的特点。而概率论与数理统计与另外两门课程不同的是，其以自然界、人类社会中常见的不确定现象为研究对象，几乎遍及自然科学、社会科学的各个领域，与学生的现实生活紧密相连，是一门从生活中来到生活中去的课程。通过该门课程的学习，学生可以更好地理解、认知生活中的随机现象，根据所学知识做出科学的决策，为后续的课程学习甚至未来的工作实践打下基础。研究以概率论与数理统计的知识点为载体，设计教学案例，科学、合理、自然地融入课程思政元素，充分发挥概率论与数理统计这门课程的德育功能，将价值塑造与知识传授有机结合，努力提高学生的思想水平、政治觉悟、道德修养和文化素养，实现学生的全面发展［3］。

1 关注社会时政热点，培养学生责任意识

2020 年初，全球爆发了新型冠状病毒感染的肺炎疫情，严重扰乱了人们的正常生活。2020 年1 月20日，习近平总书记对疫情作出重要指示，强调要把人民群众生命安全和身体健康放在第一位，坚决遏制疫情蔓延势头［4］。在党中央的坚强领导下，目前我国新冠肺炎疫情已得到了有效控制，而作为发现并控制疫情传播的关键手段——核酸检测，蕴含着一些概率问题，例如：核酸检测结果为阴性，是否意味着一定没有感染新冠病毒？如果不是的话，应该如何理解核酸检测结果？教师可以以此为出发点，结合概率论中的知识点设计案例，引导学生关注时政热点，培养学生的责任意识。

1.1 条件概率的应用——疾病检测问题

某疾病D 的医学检验结果可能为阳性（+）或者阴性（-），假设检测结果为随机变量X，是否患病为随机变量Y，二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律如表1所示：

表1 X与Y的联合分布律

试问：如果一个人的检测结果为阳性，则这个人患病的概率是多少？如果一个人的检测结果为阴性，则这个人患病的概率是多少？

这个问题主要涉及概率论中的2 个知识点：边缘概率以及条件概率。首先，由联合概率计算边缘概率的公式，可以计算出医学检测结果分别为阳性和阴性的概率分别为：

接着，由条件概率的计算公式，可以算出检验结果为阳性的情况下患病的概率以及检验结果为阴性的情况下患病的概率，分别为：

1.2 思政元素“社会责任”融入课堂教学

从以上的计算结果可以看出，当医学检测结果为阴性的时候，此人患病的概率约为0.11%，此概率虽然是小概率，在一次实验中几乎不可能发生，但是当检测的人数增多的时候，几乎是一定会发生的。我国目前的新冠肺炎疾病检测主要依赖的是核酸检测，但其准确率并非百分之百，目前还没有确切的大样本统计数据证明核酸检测的准确率，影响核酸检测结果的因素很多，例如取样时受检者的配合情况、检测试剂的质量水平等［5］。因此，在进行核酸检测的时候，应充分配合医务工作人员的采样流程，避免核酸结果的假阴性。同时，如果前往过中高风险地区，有必要进行多次核酸检测，甚至是血常规化验和新冠病毒的血清抗体检测，来综合判断是否感染新冠病毒。

2 追根究底，培养学生严谨的科学态度

概率论与数理统计课程中连续型随机变量的内容涉及到高等数学课程中微积分的相关知识，而大部分概率论与数理统计教材因为篇幅的限制，对涉及微积分的内容选择一笔带过，这难免会造成部分基础薄弱学生的困惑。比如，为什么标准正态分布函数值需要查表，不能像均匀分布、指数分布等连续型随机变量那样通过牛顿-莱布尼茨公式计算，如果不能通过牛顿-莱布尼茨公式计算的话，标准正态分布函数表里的数值又是怎么计算得到的。如果教师在授课过程中不能引导学生去思考、解决这类问题，那么学生只能被动接受书本内容，无法形成严谨的科学态度、获得独立探究新知识的能力。

2.1 标准正态分布函数值的近似计算

标准正态分布的概率密度函数为：

其中，x∈( - ∞,+∞)。根据密度函数与分布函数的关系，可以得到标准正态分布的分布函数为：

标准正态分布函数不是显式的初等函数，因此无法像均匀分布、指数分布那样求得分布函数的解析解，但是可以在满足精度的要求下，通过积分的原始定义近似求得数值解。例如，为了计算φ( )a(a＞ 0)的值，可以将[0,a]等分成n个子区间，第i个子区间为[(i-在每个子区间内以区间长度为宽，以为长作长方形，所有长方形面积的和再加上就是φ(a)的近似值，n越大，近似的精度越高，即

2.2 思政元素“科学态度”融入课堂教学

子曰：“十室之邑，必有忠信如丘者焉，不如丘之好学也。”可见，在孔子看来，“好学”是一个人难能可贵的品质。而“好学”的内涵之一就是能够对知识追根究底，以严谨的科学态度对待所学的知识。教师在课堂教学中，应有意识地培养学生的“好学”品质，主动走出教授课程的“一亩三分地”，打破学科之间的界限，这可以帮助学生更好地理解知识的来龙去脉、形成完善的知识体系。

3 理论联系实际，激发学生探究新知识的热情

概率论与数理统计是一门与现实紧密联系的课程，教师在课堂讲授的过程中，如果只注重书本上定义、定理、公式的讲解，会让学生在学习过程觉得沉闷、无聊，很容易陷入刷题应付考试这种被动、消极的学习模式之中。因此为了充分发挥本门课程的育人功能，教师在讲解完理论知识后，应尽可能多地联系实际应用，将书本上的理论与学生的现实生活联系起来，与学生未来的工作联系起来，让学生切实感受到理论的应用价值，这样不仅能让学生更好地理解所学知识，更能激发学生主动探究新知识的热情，养成终生学习的良好习惯。

3.1 正态分布应用案例——3σ原则

当X～N(0,1)时，由标准正态分布的查表计算可以求得，

说明，X的取值几乎全部集中在[ - 3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。推广到一般的正态分布，当Y～N( μ,σ2)时，

落在[μ- 3σ,μ+ 3σ]概率为0.9974，称为3σ 原则［6］，如图1所示。

图1 3σ原则

3.2 思政元素“研究精神”融入课堂教学

根据正态分布的3σ原则，如果Y～N(μ,σ2)，那么P{|Y-μ|≤ 3σ}= 0.997 4，在工程应用中，通常认为P{|Y-μ|≤ 3σ}≈ 1，忽略|Y-μ|＞ 3σ的值。如在质量控制中，通常将图1 的正态分布概率密度函数曲线向左旋转90 度，然后用标准指标值μ±3σ作2 条线，当生产过程的观测指标值落在2 条线之间，就表明生产过程正常，当生产过程的指标观测值落在2条线之外，表明生产出现异常，生产管理者就应给予充分的重视，排查生产阶段可能出现的问题。这个新的图就叫做统计质量控制图（Statistical Quality Control，SQC），也称为统计过程控制图（Statistical Process Control，SPC），如图2所示。

图2 统计质量控制图

4 利用“假设检验”，培养学生理性思辨的能力

概率论与数理统计是处理随机现象的学科，其处理随机现象的方法中渗透着辩证唯物主义的思想，是非常好的育人材料，尤其是数理统计的假设检验部分。假设检验是统计学的核心概念，是一种重要的通过样本信息推断总体特征的统计推断方法，是学生是否理解统计学的试金石。因为是从样本推断总体，而样本的获得具有随机性，所以并不能够保证推断的结论绝对正确。教师在讲授这部分内容的过程中，应以思政育人为价值导向，在深入介绍假设检验的概念、公式之前，可以设计贴合知识点的案例阐明假设检验的中心思想，培养学生辩证、严谨的思维能力。

4.1 假设检验引例

假设某次数学考试有5 道单选题，每题有4 个选项。有一位同学5道题全部答对，但是他声称自己这5道问题只是运气好蒙对的，你觉得他的说法可信吗？

此引例贴近学生生活，虽然计算简单，但可以充分地阐明统计学假设检验背后的思想。在考虑这个问题时，可以先假设这位同学5道问题的确都是蒙对的，然后通过计算可以发现这个事件发生的概率为，这是一个小概率事件，根据小概率的实际推断原理，这个事件在一次试验中几乎不可能发生，因此我们有充分的理由相信刚开始的假设是错误的，这位同学的说法并不可信。

通过以上的分析，虽然能够得到该位同学说谎的结论，但也只是“有充分的理由相信该同学说谎”而已，无法断言这位同学就是在说谎，因为他理论上仍然有0.001的概率是蒙对的，因此假设检验得到的并不是一个绝对的、必然的结论，而是根据获得的样本信息做一个概率上的推断。

4.2 思政元素“辨证思维”融入课堂教学

在假设检验中，由于抽样的随机性，并不能完全保证推断结果的绝对正确：拒绝原假设就有可能犯第一类错误（弃真错误），接受原假设就有可能犯第二类错误（纳伪错误）［7］。事实上，生活中绝对的正确或者绝对的错误都是很少的，很多时候我们看到的只是总体的一个样本，从样本中推断出的结论有可能是错误的。随着21世纪互联网的蓬勃发展，大学生每天都会从网上获得很多信息，其中不乏不良信息，教会学生如何辩证地看待这些信息，培养学生的独立思辨能力变得尤为重要，这是当代大学生不可缺位的教育。

5 结语

课程思政是在教授学生课程知识的同时，潜移默化地塑造学生正确的世界观、人生观和价值观，是知识传授与价值培养的统一。相比于过去单纯地教授知识而言，这对高校教师提出了更高的要求与挑战。高校教师应根据课程特点，结合教学内容，精心设计教学案例，将思政元素悄无声息地带进课堂、带给学生，只有这样才有可能做到“润物细无声”“无声胜有声”。研究以概率论与数理统计为例，举例分析了在该门课程中引入思政元素的实践策略，希望可以为该门课程的教师提供一些思路与借鉴。