关于《二维复杂静电场的电场线方程求解及其数值模拟》的改进和纠错

周群益，周丽丽，莫云飞，侯兆阳，刘天贵

(1. 广州理工学院 通识教育学院，广东 广州 510540；2. 赣南医学院 医学信息工程学院，江西 赣州 341000；3. 长沙学院 电子信息与电气工程学院，湖南 长沙 410022；4. 长安大学 理学院应用物理系，陕西 西安 710064；5. 湖南大学 物理与微电子科学学院，湖南 长沙 410000)

文献[1]研究了两个平行接地大导体板间线电荷的电场问题，用保角变换求出了电势函数，再求得电场线函数，并用MATLAB绘制了等势线和电场线，显示了他们的科研水平，也显示了他们深厚的编程功底. 他们解决问题的思路十分清晰，手工图形十分说明问题，大部分公式推导正确，只是有些地方需要改进并纠错. 本文结合文献[1]说明了一些公式的改进和纠错之处，用图形说明了纠错结果. 本文还深入研究了两板之间的电场和两板表面电荷的分布规律.

1 公式的改进和纠错

设在相距为a的两平行接地大导体板之间平行地放置有电荷线密度为λ(默认λ>0)的线电荷，此线电荷到一导体板的距离为b(0

文献[1]的手工图，将z=x+iy平面通过变换

(1)

将上下两个平面区域变换成上半平面. 由于ζ=ξ+ iη，解得

(2)

根据电像法可得电势:

(3)

其中，ε0是真空介电常量. 将式(2)代入上式，可得

(4)

这个结果比较复杂. 式(4)可以化简如下

(5)

(6)

电势U(x,y)是x和y的二元函数，几何上是一张曲面，b是可调节的参数，决定曲面的形状. 当U为常量时，上式就成为等势线的隐函数方程.

文献[1]利用电势与场强的微分关系E=-▽U和式(4)求场强，却得出了一个错误的电场强度公式. 利用式(6)，立即可得场强的两个分量:

(7)

(8)

Ex和Ey都是x和y的二元函数. 合场强为

(9)

合场强的方向为

(10)

(11)

(12)

利用不定积分的公式:

(13)

令c=ch(πx/a)，对式(12)积分后，还利用双曲函数的公式:

(14)

化简可得

(15)

设3个函数:

(16)

利用公式:

(17)

式(15)还可以化为

(18)

这是用一个反正切函数表示的电通函数. 对于反正切函数arctan(y/x)来说，如果不考虑y和x所在的象限，其值就在(-π/2,π/2)之间；如果要考虑y和x所在的象限，其值就在(-π,π)之间. 式(18)的反正切函数的值要取在(-π,π)之间，因此还是有水平间断线.

利用式(17)将f1(y)和f2(y)展开，式(18)可化为

(19)

其中

(20)

将电通函数改进为这种形式，当反正切函数的值取在(-π,π)之间时，间断线就仅存于x=0处，不影响二维电场线的连续性.当V取常量时，式(19)就成为电场线的隐函数方程.电场线的起点往往取在电荷附近，一个起点坐标决定一个常量，从而决定了一条电场线.

注意：直线电荷的电势是用对数函数表示的，电场线是用反正切函数表示的.这两个函数是共轭调和函数，总是成对出现.由于文献[1]中的电势函数是对数函数，而电通函数不是反正切函数，就可怀疑其正确性.

2 导体板上电荷面密度的分布规律

利用式(7)和式(8)可以求得上下两板表面电荷面密度的分布规律.

当y=0时，由式(7)可得Ex(x,0)=0，即：下板的上表面场强的x分量为零，由式(8)可得y分量：

(21)

负号表示场强的方向与y轴的正方向相反.当y=a时，由式(7)可得Ex(x,a)=0，即：上板的下表面场强的x分量为零，由式(8)可得y分量：

(22)

其方向与y轴的正方向相同.一般说来，两板面表面的场强大小并不相等.但是当b=a/2时，Ey(x,0)=-Ey(x,a)，两个表面的场强大小相等，方向相反.这是因为场强对称分布的缘故.

利用电荷面密度与场强的公式σ=ε0E·n，其中，n为导体表面的单位法向矢量.下板上表面的场强方向与法向方向相反，电荷面密度为

σ(x,0)=-ε0|Ey(x,0)|=

(23)

上板下表面的场强方向也与法向方向相反，电荷面密度为

σ(x,a)=-ε0|Ey(x,a)|=

(24)

两式中，负号表示感应电荷是负电荷.σ(x,0)和σ(x,a)都是关于x的偶函数，b是可调节的参数.如果b=a/2，则

(25)

说明线电荷位于中间时在上下两板表面产生的电荷面密度是相同的.如果将b改为a-b，则式(23)与式(24)互换，说明两板的电荷面密度的分布规律正好相反.

利用公式：

(26)

(27)

同理可得上板单位长度的带电荷量：

(28)

可见：b越大，线电荷离下板越远，在下表面感应的负电荷就越少，在上表面感应的负电荷就越多.由于λ1+λ2=-λ，说明线电荷λ在两板上感应出等量异号的负电荷.

3 公式的无量纲化

取a为坐标单位，取U0=kλ为电势函数的单位，则无量纲的电势函数为

其中x*=x/a，y*=y/a，b*=b/a.x*和y*是相对的无量纲的坐标，b*是无量纲的可调节的参数.取kλ为电通函数的单位，则无量纲的电通函数为

其中有

取E0=U0/2πa=kλ/2πa为电场强度的单位，就能将电场强度的两个分量无量纲化.取σ0=ε0E0=ε0kλ/2πa为电荷面密度的单位，则上下两板的电荷面密度分别为

此后，杜亚泉所主张的“调和主义”明显受辩证矛盾影响。在与《新青年》进行东西文化论战过程中，他撰写了《矛盾之调和》一文。该文指出矛盾“排斥”“对峙”的一面，同时也强调非极端矛盾的“协同”“调节”“吸引”的一面，而且认为“世界进化”是“矛盾”“对抗进行”的结果。[注]杜亚泉：《矛盾之调和》，《东方杂志》1918年第15卷第2号。 杜亚泉“矛盾调和”思想虽与马克思主义辩证矛盾旨趣相异，却在中国较早明确提出矛盾的统一、协调，并且认识到矛盾在人类社会发展中的动力作用，这在当时的思想界已是一大进步。随着中西文化论战的进行，“矛盾调和”思想得以在知识分子中扩散，这在客观上促进了辩证矛盾话语的传播与认同。

4 公式的可视化

将公式无量纲化之后即可用MATLAB做纯数值计算.反正切函数的值取在(-π,π)时，要用第二反正切函数atan2求函数值.MATLAB用曲面指令surf分别画电势和电场线曲面，用三维等高线指令contour3分别画等势线和电场线，用等高线指令contour可画二维等势线和电场线[2].

1) 当b取0.4a时，电势函数曲面和三维等势线如图1所示，电荷所在处形成一个尖锐的“峰”，表示直线电荷所在处的电势是无穷大；三维等势线分布在曲面上.俯视曲面，三维等势线就变成二维等势线.

图1 直线电荷的电势函数和三维等势线(b=0.4a)

2) 当b取0.4a时，由式(15)和式(18)绘制的电通函数和三维电场线如图2所示，曲面螺旋式下降.在x=0且0

图2 式(15)和式(18)的电通函数曲面和三维电场线(b=0.4a)

由式(19)绘制的电通函数和三维电场线如图3所示，曲面仍然螺旋式下降.x=0处是一条间断线，形成竖直面；(0,b)处有一条“缝”，表示电荷所在处，其前后的竖直面的高低有所不同.三维电场线都绕过“缝”分布在曲面上，包括竖直面.

图3 式(19)的电通函数曲面和三维电场线(b=0.4a)

两种电通函数在yb-a的曲面并不相同，这是因为两个反正切函数的值域并不完全相同，间断线也有部分不相同.俯视曲面，三维电场线就变成二维电场线.

3) 当b取0.4a时，二维等势线和式(19)的电场线如图4所示.等势线是包围直线电荷的闭合的左右对称的曲线，电势从外到内依次是(0.1,0.4,…,4)kλ.越靠近带电直线，电势越高，等势线也越密.电场线的起点坐标取在电荷附近，因而电场线从线电荷附近向两边延伸，终止于上下两板，并与上下两板垂直.电场线与等势线处处正交.

图4 二维等势线和式(19)的电场线(b=0.4a)

二维等势线和式(15)或式(18)的电场线如图5所示，在y=b-a处有一条水平线，上下电场线发生错位，可见用式(15)和式(18)所画的电场线并不理想.

图5 二维等势线和式(15)与式(18)的电场线(b=0.4a)

相比而言，用式(19)所画电场线十分理想.当b取其他值时，电场线和等势线都与此图类似(图略).

文献[1]画出了类似的正确等势线和电场线，应该是电场强度公式出现了笔误，请作者仔细检查.

将电场强度的两个分量Ex和Ey无量纲化，利用MATLAB的流线指令streamline也可以画二维电场线，与式(19)所画的二维电场线基本重合(在起点可能产生误差)，说明电场强度的公式和电通函数都是正确的(图略).

当电势函数U取常量时，由式(6)可得等势线的隐函数方程：

(29)

其中，C1=exp(U/kλ).当U取常量时，可计算常数C1.将式(29)无量纲化，在相同参数的情况下也可以画出同样的等势线.

当电通函数V取常量时，由式(19)可得电场线的隐函数方程：

(30)

其中，C2=tan(V/2kλ).C2可根据直线附近的坐标计算.将式(30)无量纲化，在相同参数的情况下也可以画出图4中同样的电场线(图略).

4) 下板上表面的电荷面密度σ(x,0)如图6之上图所示，当b比较小时，例如b=0.1a，则“谷”比较深，随着|x|的增加，σ(x,0)迅速减小；b越大，“谷”越浅；当b=0.9a时，σ(x,0)几乎成了水平线.上板下表面的电荷面密度σ(x,a)如图6之下图所示，显然，σ(x,a)与b改为a-b的σ(x,0)曲线相同.

图6 上下极板面电荷密度的分布规律

绘制Ex和Ey以及E和α的曲面，还能显示场强变化规律(图略).

5 结束语

经过保角变换，有些函数会变得十分复杂，采用适当的函数，可以化简复杂的函数.文献[1]中第2个问题的复势的公式(12)特别长，由于式(12)中包含有相同函数的复合函数，将复合函数分解为简单的函数就能大大简化公式.

通过作图，可以检验公式正确性.例如，根据文献[1]的电场强度的公式，画不出正确的电场线，就可以断定公式错了；根据文献[1]的电场线函数也画不出正确的电场线，也可以断定公式错了.本文的公式都通过了图形检验，以保证其正确性.

通过作图往往有意外的发现.例如式(15)和式(18)的曲面是相同的，它们与式(19)的曲面有一部分不相同，这是因为不同的反正切函数有一部分的值域不同，并且还有不同的间断线，也导致二维电场线有所不同.通过作图发现：根据场强的两个分量Ex和Ey并利用streamline指令画电场线更好，也可以验证电场公式的正确性.

在已经发表的文献中包含了前人丰富的研究成果，解析这些文献，吸取知识，对缺陷加以完善，对差错加以更正，这是研究问题的一条捷径.掌握MATLAB程序设计方法，可发现和解决很多问题.