有伴电源Y-△联结等效变换研究

2022-07-26沈一骑

大学物理 2022年7期

万凯，沈一骑

(1. 南京大学商学院，江苏南京 210093；2. 南京大学电子科学与工程学院，江苏南京 210023；3. 南京大学金陵学院，江苏南京 210089 )

电源等效变换分析法是电路分析的重要方法之一，也是电路分析基础教学的一个重要环节. 电源等效变换分析法特别适用于多电源的串并联电阻电路，可以通过电源变换使电源满足合并要求，从而将多电源电路简化为单电源电路以便于分析. 但对多电源的Y-△联结电阻电路就难以处理了，而且众多理论教材[1,2]均不涉及这一问题，这就造成了电源等效变换分析法应用的局限性，也给学生学习带来了困惑. 对此，我们在多年电路教学和研究[3],[4]的基础上，提出了有伴电源Y-△联结电路等效变换理论推导，以供参考和指正.

1 有伴电压源Y-△联结等效变换理论推导

1.1 有伴电压源△形电路等效变换

有伴电压源△形电路如图1(a)所示. 等效变换是对外等效，如果对节点1、2、3内的电路进行等效变换，就可保持节点外电路的状态不变. 由于各支路为有伴电压源，各电阻并不构成△形联结，可将各支路等效为有伴电流源(图1(b))，其中IS12=US12/R12、IS23=US23/R23、IS31=US31/R31. 为满足Y-△形电阻等效变换的要求，已将节点拆分为2个相连的节点，节点1′、2′、3′构成的△形电路，可参照教材的变换公式[1]对外等效为Y形电路(图1(c)). 合并拆分的节点并采用电源转移方法[2]，将图1(c)中的电流源转移至相邻支路(图1(d))，再合并电流源(图1(e))，其中IS1=IS12-IS31、IS2=IS23-IS12、IS3=IS31-IS23，最后等效为有伴电压源的Y形电路，如图1(f)所示.

图1 有伴电压源△形电路等效变换

其中

(1)

(2)

1.2 有伴电压源Y形电路等效变换

对于图1(f)所示的有伴电压源Y形电路，可先将其内部Y形电阻电路等效为△形电路(图2(a))，再利用电源转移法[2]，将图2(a)中各电压源转移到相邻支路中去,即图2(b)，最后合并各支路的电压源，得到图1(a)所示的有伴电压源△形电路.

图2 有伴电压源Y形电路等效变换

其中

(3)

(4)

2 无伴电源Y-△联结等效变换理论推导

由于有伴电流源可等效为有伴电压源，电流源串联电阻对外等效可舍去其串联电阻，Y-△联结电路的含源支路除了有伴电压源外，还有无伴电压源和无伴电流源两种形式. 采用适当方法可从有伴电压源Y-△等效变换公式直接推出各种情况的变换算式. 因为无伴电压源的串联电阻为0、无伴电流源的并联电阻为∞，在计算中可将0值电阻设为极小电阻R0、∞值电阻设为极大电阻R∞，计算后再令R0=0和R∞=∞. 此外，若电压源US=0，则电压源为短路；电流源IS=0，则电流源为开路. 以含无伴电压源和无伴电流源的Y形电路为例，如图3(a)所示：设R1=R1∞=∞、R2=R20=0，则由式(3)可得R12=R1∞(1+R20/R3)=R1∞、R23=R3(1+R20/R1∞)=R3、R31=R1∞(1+R3/R20)=R1∞R3/R20；由式(4)可得：US12=R1∞IS1、US23=US2-US3、US31= -R1∞IS1. 由于变换所得为有伴电压源△形电路，故须对变换后有阻值为∞的支路再变换为有伴电流源，故IS12=US12/R12=R1∞IS1/R1∞=IS1，并联电阻为R12=∞；IS31=US31/R31=-R1∞R20IS1/R1∞R3=-R20IS1/R3=0，并联电阻为R31=∞，显然支路31为开路. 最后所得的△形等效电路如图3(b)所示.

图3 含无伴电源Y形电路等效变换

3 有伴电源Y-△联结等效变换一览表

为方便应用，表1给出了常见有伴电源Y-△联结的等效变换，从中也可以推出含无伴电压源的变换电路和算式. 需要说明的是，表1“有伴电压源的Y形和△形电路”由Y→△(或△→Y)的变换是单向的，即先作Y→△，再由△→Y变换到Y(记为Y′)，Y和Y′形电路中的电源参数是不同的，这是因为Y→△变换中用到了无伴电压源转移变换，△→Y变换中用到无伴电流源转移变换，而这两种电源转移变换之间并不是等效变换. 但Y→△和△→Y都是对外等效的，若将Y、△和Y′接入相同的外电路，外电路的响应将保持不变. 此外，Y和Y′形电路中的电阻参数保持不变，是因为在变换中电阻本身只作了运算，没有变换. 同理，表1中的其他变换亦是单向的, 示例如图4所示.