静电平衡、静电屏蔽有极限么？

李祖斌，赵 欣，宋 峰

(1. 南开大学 物理科学学院，天津 300071；2. 天津工业大学 物理科学与技术学院，天津 300387)

静电学中，导体在静电场中的性质是比较重要的一个知识点，涉及了导体在静电场中的静电平衡现象以及两类空腔导体的静电屏蔽等内容. 如图1所示，在外静电场E0中的均匀导体(以金属导体为例)，其内部的自由电子在电场力作用下做定向运动，使得电子在导体一侧聚集带负电，而在另一侧失去电子而带正电.这些感应电荷的重新分布在导体内部产生了与外加电场相反的附加电场E′.当导体内部总场强E总=E0+E′=0时，导体内部场强处处为零，就达到了静电平衡状态.而静电屏蔽正是利用了静电平衡的特性，使用空腔导体或外表面接地的空腔导体，使得外部电场不能影响空腔之内或内部电场不会影响空腔之外，从而实现了静电屏蔽效果.

图1 静电平衡的原理

以上内容是大学物理电磁学中的基本教学内容[1]，本文就不再赘述了.这里想讨论的问题是：静电平衡或者静电屏蔽是一直能实现的么？它们是否在某些情况下可以被打破，它们的极限在哪里？

1 静电平衡的极限

静电平衡的关键是导体内存在大量自由电荷，这些自由电荷能够移动到导体表面形成附加电场从而抵消外加电场的作用.但自由电荷并不是无穷多的，终究是有限的，如果外加电场足够大，使得全部自由电荷都移动到导体边缘也无法抵消时，导体内部的总电场也就不可能为零了，静电平衡也就被打破了.那么，这样的外加电场要多大才能破坏静电平衡呢？

关于静电平衡的极限问题有些文献已经给出了一些讨论.文献[2]中以金属球为模型讨论了所有电子都移动到球表面时能达到静电平衡的最大场强；文献[3]中采用了金属导线连接的平行金属板模型，讨论了临界厚度与外加电场之间的关系.不过，两篇文献都没有讨论随着外加电场增强，自由电荷的具体分布情况，以及静电屏蔽被打破的具体过程和临界界限。

这里我们将以长方体形金属导体为研究对象，施加均匀的垂直于导体某个面的电场，此时可以认为导体内自由电子的定向运动是均匀的，自由电子在外场作用下的重新分布也是可以预测的. 这样，我们可以逐渐增强外加电场，分析自由电子的分布情况；并讨论随着外加电场的增强，静电平衡在某个临界场强开始被打破,直到静电平衡被完全打破的极限状态的变化过程. 同时我们也将以金属外壳为模型讨论静电屏蔽的极限问题.

1.1 简化模型及临界场强

假设有一个长方体金属导体，外加电场垂直于导体左右端面，如图1所示. 静电平衡时，导体左右端面出现感应电荷. 根据静电平衡条件，感应电荷只在导体表面，导体内部净电荷量处处为零. 从结果看，可以简单的认为右端面损失了自由电子带正电，而左端面获得了等量的电子带负电.

如果增大外加电场，为保持静电平衡状态，右端面会继续失去自由电子，左端面会出现更多电子的积累，以保证附加电场能够与外加电场抵消. 当外加电场增加到某个临界场强时，使得右端面表层原子的自由电子全部损失，全部移动到左端面. 如果再继续增加外加场强，右端面表层就没有更多的自由电子可以移动了，但此时导体内部并未达到静电平衡，导体内的自由电子还会继续定向移动，左端面将继续积累电子，直到导体内部电场为零自由电子不再继续移动为止. 而此时，为补充移动到左端面的自由电子，导体内部必然会有一部分失去了自由电子而带正电. 而这部分导体只能在导体最右侧靠近右端面附近. 此时正电荷将不仅仅存在于右端面，也会存在于导体右侧.

根据以上分析，当外加场强大于这个临界场强时，静电平衡开始被打破. 此时，导体内部会有正电荷的积累，此部分导体中总电场不再为零. 但导体其他部分仍保持静电平衡状态，内部场强仍为零.

先来看一下这个临界场强会有多大. 设导体端面面积为S，厚度为t，此金属每个原子外层的自由电子数为n，金属密度为ρ，摩尔质量为M. 假设导体中原子均匀排列，设金属原子半径为r. 当外加场强为临界场强时，处于右端面的第一层原子完全失去自由电子，则此部分自由电子总数为

(1)

此时左右端面积累的正负电荷量为

(2)

假设金属导体S>>t2，忽略边缘效应，可以将端面看作无限大带电平板，则由两端面上感应电荷产生的附加电场场强大小为

(3)

其方向与外加电场相反. 静电平衡下，此临界外加场强的大小就等于附加场强的大小，即

(4)

考虑常见的金属导体，以铜为例，则n=2,ρ=8.96g/cm3，M=63.5 g/mol，r=0.128 nm，代入数据，可得E临界=E′=7.86×1011V/m. 若厚度t=0.001 m，可知此时外加电场施加在导体两侧的电压为U=E临界t=7.86×108V. 也就是说，对于1 mm厚的铜板，静电平衡状态可以抵抗7亿伏特量级的电压，而基于静电平衡的静电屏蔽必然也会屏蔽同等量级的电压. 这远大于目前自然界(闪电瞬间电压最大可达亿伏特量级)或人类能达到的程度(百万伏特量级).

而想要形成这样的临界状态，所需要的能量为(假设S=1 m2)

(5)

这虽然不是特别大的能量，但是要注意这仅仅只是表面的一层原子完全失去自由电子达到静电平衡所需的能量，而金属中的自由电子的数量是十分巨大的.

1.2 极限场强

尽管打破临界的静电平衡的就已经需要如此大的电势差，现实中很难达到，但是我们还是可以继续讨论一下，如果继续增大外加场强会怎样？

随着外加场强继续增大，导体中失去自由电子的部分会逐渐增加，直到导体中所有的自由电子都被移动到导体的左端面，而此时导体内部的原子全部变成带正电的阳离子，均匀的分布在导体中，如图2所示.

图2 自由电子全部移动到左端的极限状态

以左端面为坐标原点构建坐标系，忽略边缘效应，可将正电荷分布看作很多无限大的薄板的叠加.所以，这种电荷分布产生的在导体内部的附加电场分布为

(6)

附加电场

此时，导体中所有自由电子都在左端面，导体内部不再有自由电子的定向运动，但导体内部场强并不为零，静电平衡被完全打破，更无法实现静电屏蔽.

(7)

比1.1节中临界状态的能量大了13个数量级，约等于每天太阳照射到地球的能量(约1.5×1022J).

与1.1节中临界状态相比，导体达到极限状态所需要的电势差和能量都达到了一个巨大的量级，已经远远超出人类或自然界能达到的程度. 其实，如此巨大的差别就来自于自由电子数的多少. 打破临界状态只需要移动表面一层原子的自由电子，而极限状态则是1 mm厚度的导体的所有自由电子. 自由电子数的巨大差异反映在结果的巨大差异上.

由1.1和1.2的结果可以知道，静电平衡是有极限的，这源自于自由电子数量的有限. 但是，在实际应用中，静电平衡以及基于静电平衡的静电屏蔽效应其实是很难打破的，因为只要少量的自由电子参与(较薄的外层金属导体)，就需要施加远大于自然界和人类能达到的电场强度和电势差才能突破静电屏蔽的极限.

1.3 过渡阶段

当然，从1.1节讨论的临界状态到1.2节的极限状态，还有一个过渡阶段. 此时，外加场强介于临界场强和极限场强之间.在此阶段，靠近右端面的部分导体失去自由电子带正电荷(这部分自由电子全部移动到左端面)，此区域总电场不为零；靠近左端面的部分导体仍保持电中性，总电场为零. 其总电场分布如图4所示.

图4 过渡阶段总电场分布

由此可知，如果是具有一定厚度的金属导体，当外加场强超过临界场强时，虽然静电平衡部分被打破，但是仍有一部分区域(图4中总电场为零的部分)是可以实现静电平衡的，而这部分金属中也就仍然可以实现静电屏蔽.

2 静电屏蔽的极限

由以上讨论可知，静电平衡是有极限的，是由导体内部自由电荷的多少决定的. 那么，基于静电平衡原理的导体空腔的静电屏蔽效应必然也是有极限的. 下面我们用一个简易的模型，来讨论一下静电屏蔽的极限是多少. 实际生活中，电子仪器为了防止外界电场的干扰常常用铁质外壳包裹. 为模拟这种情况，假设有一个边长为a=0.5 m的立方体铁质空腔(第一类静电屏蔽空腔)，厚度均匀为t=0.001 m，如图5所示.

图5 铁质导体空腔

铁的密度为ρ=7.86g/cm3，摩尔质量为M=55.8 g/mol，原子半径r=0.127 nm，利用1.1节讨论的方法，可以算出达到临界状态时的外加电场强度的大小为

(8)

外加电场在铁壳两端的电势差为

U=E临界a=5.85×1011V

(9)

这是非常大的场强和电势差，达到了五千亿伏特量级，需要非常强的电场才能破坏静电屏蔽的效果.即便是自然界最强大的闪电也是无法突破这一极限的. 而如果考虑1.3节中的过渡阶段，如果铁壳某一面的铁板中自由电子被完全移动，在铁壳内部仍然可以实现屏蔽，而此时能屏蔽的电场强度或电势差将增大106～107量级. 这就是一层原子中的自由电子和1 mm金属中自由电子数量导致的差异.

3 讨论

由上述计算和分析可见，静电平衡以及基于静电平衡的静电屏蔽都是有极限的，这是由导体中的自由电子的多少决定的. 当然，要想突破这种极限需要施加在导体上的电场强度是非常强的，所需要的能量仍然是非常大的，远超出了自然界放电现象的强度和现阶段人类能够达到的程度. 所以，在实际使用中并不需要担心这种静电屏蔽效果会被打破.

根据本文的计算结果，实际应用中，静电屏蔽的外壳可以不必做的很大很厚，完全可以用很薄的金属外壳就可以实现足够的静电屏蔽效果.当然我们还需要注意的是，静电屏蔽和电磁波屏蔽是不同的[4]，虽然它们都可以通过金属外壳来实现. 而现实中的屏蔽通常既需要静电屏蔽也需要电磁屏蔽. 所以在实际使用中，还要结合电磁屏蔽的具体要求来设计金属外壳的厚度.