基于动力学缩比和传递矩阵法的水平井基频求解方法

2022-07-26尹宜勇白翰钦曲从锋王国强朱文佳

中国石油大学学报（自然科学版） 2022年3期

尹宜勇，白翰钦，曲从锋，刘欢，王国强，王通，朱文佳

(1.中国农业大学工学院，北京 100083； 2.中国石油集团工程技术研究院有限公司，北京 102206)

页岩气革命已经深刻改变了世界能源格局[1]，世界主要资源国都加大了页岩气勘探开发力度[2]，其开发需要大力发展水平井钻完井技术[3]。传统的水平井固井环节中，由于水平段水泥浆在上返环空时易出现流体流动性差、顶替效率较低等现象，导致水泥环存在局部虚空段，在压裂液冷却套管时会使得水泥虚空段中束缚高压流体收缩，压力急剧下降，进而导致长半径水平井套变问题。而随着振动理论的发展和不断深入，研究者对振动技术在套管、钻井液和水泥浆等方面的应用进行了系统研究[4-7]，多种振动固井工具和装备广泛用于提升固井质量[8-10]，这对于页岩气水平井固井质量的提升有重要意义[11]。在振动技术的应用中，实现共振是核心，而基频即第一阶固有频率是共振作业的关键参数。需要对水平井套管柱基频的求解方法进行研究，常规的计算方法难以与实际水平井套管柱相结合，且不易验证，多偏向于理论性的规律研究，而相似模型理论很好地解决了这一问题。目前在管道固有频率研究方面，常用的数值分析方法有伽辽金法[12-13]、微分变换法[14]、微分求积法[15-16]等。邢静忠等[17]以悬跨管道静弯曲挠度为振型函数,用能量法求解了第一阶固有频率；张挺等[18]运用广义有限差分法对输流直管道进行离散，建立了管道振动微分方程，研究成果吻合良好。闫行等[19]假定井下管柱为长直管柱，研究得到了管柱振动效果变化规律。在相似模型理论研究方面，管志川等[20]将基于相似理论的物理模型应用于石油工程问题，通过模型试验获得了可靠的试验结果。陈喆等[21]运用所推导的动力学相似关系可以准确预估实际结构的动力学特性。王永振等[22]基于缩比模型，对悬索跨越管桥结构进行分析。传统的管道频率研究大都着眼于直管，少有关于页岩气工程中的弯曲套管柱振动特性的研究，且常规原型试验代价过大，难以普遍应用。笔者针对水平井中的悬臂弯曲管道，建立试验模型，结合质量集中法对缩比试验模型进行离散，运用传递矩阵法对缩比管道模型的基频进行求解，建立一种针对水平井弯曲管道的基频数值计算模式。

1 水平井动力学缩比模型

运用物理模型相似理论，建立水平井套管柱缩比模型。

将水平井套管柱各项参数进行量纲化处理[23]，套管外径D和套管长度l和套管内径d的量纲为L，弹性模量E、套管质量M、套管密度ρ、截面惯性矩I、套管重力G、套管斜角α和固有频率P的量纲分别为ML-1T-2、M、ML-3、L4、MLT-2、M0L0T0和T-1。这些物理量符合一定的函数关系式，即

f(D，d，l，E，M，ρ，I，G，α，P)=0.

(1)

影响水平井管道振动特性的参数有10个，为简化求解过程，将量纲相等的量用统一量纲代替。则式(1)转化为

f(l，E，M，ρ，I，F，T)=0.

(2)

套管柱振动系统的量纲矩阵如表1所示。

表1 套管柱振动系统量纲矩阵

由量纲矩阵可得

M:a2+a3+a4+a6=0,

(3)

L:a1-a2-3a3+4a5+a6=0,

(4)

T: -2a2-2a6-a7=0.

(5)

由式(3)～(5)可以看出，未知量有7项，为提高求解效率，将未知量中的3项转化为用其余4项表示的多项式。将式中的a1、a2和a3表示为含有a4、a5、a6、a7的函数，可得

a1=-3a4-4a5-2a6+a7,

(6)

(7)

(8)

选择基本量纲为质量[M]、长度[L]、时间[T]，故由式(6)～(8)可知相似准则数为7-3=4个。运用01取值法，将a4、a5、a6、a7依此取0或1,对a1、a2、a3进行计算，则有

当a4=1，a5=a6=a7=0时，a1=-3，a2=0，

a3=-1;

当a5=1，a4=a6=a7=0时，a1=-4，a2=0，

a3=0;

当a6=1，a4=a5=a7=0时，a1=-2，a2=-1，

a3=0;

依据π定理，可得表2。

表2 无量纲量分析

由相似准则第三定理，可得无量纲量表达式为

(9)

(10)

(11)

(12)

式(9)～(12)中右侧即为相似准则，对于缩比模型与原型应保持相似准则相等，表示为

(13)

(14)

(15)

(16)

式中，下标m和n分别表示缩比模型和原型的物理参数；C为原型与缩比模型的相似关系。

水平井套管柱振动特性的物理量之间的相似关系为

(17)

式中，CL和CI分别为原型与缩比模型的几何参数比和截面惯性矩比；CE为原型使用材料与缩比模型使用材料的弹性模量比；CM和Cρ分别为原型材料与缩比模型材料的质量比和密度比；CF为原型与缩比模型对应力的参数比；CT为原型与缩比模型的固有频率之比。

由式(16)可得固有频率的相似变换算式为

(18)

式中，Tn和Tm分别为原型和缩比模型的固有频率。

若取CL=10∶1，原型的主要材料为35CrMo；其性能参数为：弹性模量206 GPa,密度7.85 g /cm3，泊松比0.3，抗拉强度985 MPa，屈服强度835 MPa，硬度229 HB。

缩比模型管道材料选为06Cr19Ni10，其性能参数为：弹性模量193 GPa,密度7.93 g /cm3，泊松比0.28，抗拉强度520 MPa，屈服强度205 MPa，硬度187 HB。

将几何尺寸参数、材料特性等参数代入式(18)中，可得实际工程中套管柱的固有频率Tn与缩比模型的固有频率Tm之间的对应比例为

若原型材料为35CrMo，模型材料为06Cr19Ni10，原型与模型的尺寸比为10∶1，原型管道与试验模型管道固有频率相似比可确定为9.63。则可通过相似模型对页岩气管道的振动特性进行研究，利用相似转换关系式将相似模型振动特性转换为原型振动特性，并应用于振动固井工程实际。

2 缩比模型基频求解方法

2.1 缩比模型简化

水平井套管柱缩比模型属于连续系统，通过质量集中法对缩比模型进行简化。集中质量法又称为凝聚参数法或集中质量-弹簧法，是一种应用离散思想对细长的杆件或缆索等对象进行分段处理的方法。段与段之间通过有质量的节点连接，段是没有质量的且被看作是刚体或弹性体。对缩比模型的离散如图1所示。

图1 缩比模型离散化示意图

2.2 传递矩阵推演

2.2.1 点矩阵

对于缩比模型的无曲率变化部分，取离散段中的第i个子系统，对子系统中特征单元i进行力学分析。如图2、3所示，对无曲率变化的子系统li、li+1及特征单元i进行受力分析。

图2 缩比模型无曲率变化离散形式子系统

对于特征单元i，其质量为mi，忽略其转动惯量，只作横向简谐振动。由位移连续条件，可得特征单元i左右两侧挠度ω和角度θ关系式为

(19)

(20)

结合图3受力分析与振动力学原理，可得

图3 第i个特征单元受力分析(无曲率变化)

(21)

(22)

(23)

式中，f为系统固有频率。

将式(23)代入式(22)，得

(24)

联立式(19)～(21)和(24)，转化为矩阵形式，可得

(25)

式(25)中，等号两侧的两个列向量分别为特征单元i左右两侧的状态向量，右侧中的矩阵即为缩比模型的无曲率变化部分的点矩阵[D]i。

同理，如图4、5所示，对有曲率变化处的子系统li、li+1及特征单元i进行受力分析。

图4 缩比模型有曲率变化离散形式子系统

图5 第i个特征单元受力分析(有曲率变化)

由图4、5可得特征单元关系式为

(26)

(27)

(28)

(29)

式中，α为折弯处特征单元i的折弯角。

联立式(26)～(29)，转化为矩阵形式，可得

(30)

其中等号两侧的两个列向量分别为特征单元i左右两侧的状态向量，右侧中的矩阵即为前文中的点矩阵[D]i。

2.2.2 场矩阵

如图6所示，结合离散段中的第i个子系统(li)，进行该系统在长度-挠度坐标系中左右两端的受力分析。

图6 第i个子系统受力分析

由于整个物理系统经过集中质量法的离散处理后，子系统段的自身质量忽略不计，故可得

(31)

(32)

其中

li=xixi-1.

式中，li为单元系统长度。

均匀梁的弯曲变形表达式为

(33)

式中，M(x)为截面弯矩。

由式(31)可得，

(34)

故可得

(35)

(36)

设x=xi，代入式(36)，可得xi处的位移θi(x)和挠度ωi(x)，由此可推出子系统左右两端的挠度与转角为

(37)

(38)

将式(31)、(32)、(37)和(38)联立，并将联立式转化为矩阵形式，可得

(39)

其中等号两侧的两个列向量分别为子系统i左右两端的状态向量，右侧中的列阵即为前文中的场传递矩阵[S]i。

2.2.3 总传递矩阵

由悬臂梁形式下的点矩阵[D]i和场矩阵[S]i，将式(25)、(30)分别代入式(39)，可得第i个和第i-1个特征单元右侧的两个状态向量的关系式为

(40)

悬臂梁条件下直管部分传递矩阵[T]i为

(41)

悬臂梁条件下弯管部分传递矩阵[T]i为

[T]i=

(42)

对于悬臂梁形式的离散结构，只要能求出各段的传递矩阵[T]i，即可建立梁上各点状态向量之间的关系，最后得到总传递关系[T]。

2.3 基频求解

2.3.1 边界条件

(43)

由第三行和第四行得

(44)

(45)

式(45)为关于f2的多项式方程，通过对此方程的求解可获得水平井缩比物理模型的固有频率。

2.3.2 实例计算

为验证所提出的基于传递矩阵法的基频计算方法的准确性，对缩比模型进行数值计算，并与后续模态试验结果进行比对。

如图7所示，针对悬臂梁形式，分别对不同离散状态的3种对比模型和缩比模型进行基频计算，离散质量点数依次为7、9、15、15。

图7 试验模型离散状态

对于图7中(c)和(d)，同为15个质量点的离散状态，其中图7中(c)为等曲率对比试验模型，离散为等角度变化的15个质量点；图7中(d)为缩比模型，将弯曲部分离散成7个质量点，等角度变化；直杆部分离散为8个质量点，无角度变化。

本算例依据缩比模型进行计算，其基本参数为：模型外径D=16 mm，内径d=14 mm，模型总长L=1 000 mm，离散转角θ分别取45°、30°和15°，材料弹性模量E=196 GPa，材料密度ρ=7.93 kg/m3。

对3种不同离散程度的对比试验模型进行离散计算，然后对缩比模型连续管道进行计算，分别得到不同离散状态下的基频，计算结果如表3所示。

表3 数值计算基频

3 试验

3.1 试验平台搭建

缩比模型振动特性试验平台总体结构如图8所示。

图8 缩比模型振动特性试验平台

设计搭建缩比模型参数如表4所示。

表4 缩比模型参数

3.2 模态试验结果

试验平台搭建如图9所示，主要使用的仪器有DASP V11振动数据采集分析仪、加速度传感器、振动敲击锤、数据传输线、控制电脑等。

图9 试验现场及设备

如表5所示，通过对3种对比模型和缩比模型的管道进行敲击试验，获得了对比模型和缩比模型的基频。

表5 三种对比模型和缩比模型的基频

对比传递矩阵法对缩比模型基频的数值求解结果，如表6所示。由表6可知，传递矩阵法能够有效求解缩比模型的固有频率，误差均小于5%，精度满足工程要求。同时对比离散程度，如图10所示，发现随着管道离散质量点数增加，数值计算结果与实际连续体的试验结果不断接近，离散质量点数从7、9至15、15，数值计算结果与试验结果误差从114%、89.9%、44.1%缩小至2.3%，计算精度逐渐提高。