“勾股定理逆定理”的教学思考

陈宇伟 顾寒平

【摘要】提高学生数学核心素养是数学教育的根本目的，而数学推理能力是数学素养的重要组成部分，在整个数学教学过程中，学生离不开数学推理.因此，在教学过程中，教师要优化教学设计，引导学生经历知识的形成过程，循序渐进地培养学生的数学推理能力，促进他们数学核心素养的有效提升.

【关键词】形成过程;推理能力;勾股定理

推理能力是《义务教育数学课程标准（2011）》提出的一个核心概念.指出：“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理.”[1]学生在学习数学时离不开数学推理.因此，在数学教学过程中，要优化教学设计，引导学生经历知识的形成过程，循序渐进培养学生的数学推理能力，发展学生的学习能力和影响他们的思维方式，促进他们数学核心素养的有效提升.下面结合课例：苏科版教材八年级上册第三章“勾股定理的逆定理”来谈一谈数学教师如何让学生经历知识的形成过程，培养、发展和提升数学推理能力.

1 教材分析

1.1 教学目标：

（1）知识与技能：掌握勾股定理的逆定理，了解“勾股数”.会利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否直角三角形.

（2）过程与方法：经历对勾股定理的逆定理的探索过程，体会类比、数形结合、由特殊到一般的数学思想，进一步发展学生的推理的意识和能力.

（3）情感态度与价值观：在探索活动中，渗透合作交流的意识，使学生获得探索知识的成功体验.

1.2 教学重难点：

重点 掌握勾股定理的逆定理.会利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否直角三角形.

难点 勾股定理的逆定理的探究过程.

2 教学过程：

2.1 温故知新

（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上的中点，若BC=6，AC=8，则AC=，CD=.

（2）如图2，在△ABC中，点D是AB上的中点，且满足CD=12AB，则△ABC是三角形，为什么？

（3）通过以上两问你有什么猜想？

教学说明 “温故知新”第（1）个问题通过小练习让学生复习基础知识“勾股定理和直角三角形斜边上中线的性质”，并让学生回顾研究勾股定理的基本方法策略;第（2）个问题是直角三角形斜边上中线的性质的逆命题，在证明此逆命题过程中发展了学生的推理的能力;第（3）个问题引导学生用“类比的思想”提出问题，帮助学生建立结构性认知，缩短了思维的长度，让学生的思维更具逻辑性，这既是提出问题的一种思考方法，也是分析问题的一种思考角度.

这里蕴含着一种推理方法——类比推理.在教学中，教师利用三个问题让学生认识数学的本质，理解数学方法策略和具体数学知识之间的联系，引导学生进行类比，让学生在学习具体知识的过程中，理解研究几何图形的方法策略，并能应用这些方法策略发现提出问题并分析解决问题，进而培养了学生的类比推理能力.

2.2 探究新知

活动1 发现结论

师 画一个三边分别为6cm，8cm，10cm的三角形.

问题1 它是什么三角形？怎么验证？（用直角三角板或量角器量）

问题2 如果没有直角三角板和量角器之类的工具，怎么办？（用准备好的直角边分别为6cm、8cm的直角三角形纸片叠合对比）

问题3 你觉得用直角三角板或量角器量和用准备好的纸片比哪个更好？（用直角三角板或量角器量简单易操作，但有可能有误差;用准备好的纸片对比不仅可直观操作，还可用学过的知识进行说理）

问题4 请同学们画一个三边分别为5cm，12cm，13cm的三角形，判断它是什么三角形？并说明理由.（学生动手操作，讨论交流）

问题5 利用几何画板演示当三角形的三边满足a2+b2=c2条件时，此三角形是直角三角形.（分组讨论，合作交流，收集各组的数据并列表展示）

教学说明 勾股定理逆定理的推导是一个难点，因为这个推导与以往的经验不同，需要另外构造一个直角三角形模型，用“同一法”完成，怎么构造这个直角三角形模型就成为解决问题的关键.如果直接将问题抛给学生推导，他们定会无从下手，所以为了解决这一问题，突破这个难点，我设计了以上问题.处理问题（2）（3）时先准备了一个以6cm，8cm为两直角边的直角三角形纸片模型，引导学生将它与老师示范画的三角形进行比对，学生自然会联想到用两三角形全等的知识进行说理.一个例子可能形成不了共识，所以问题（4）让学生再画一个三边分别为5cm，12cm，13cm的三角形，用刚才的方法进行验证说理.问题（5）以小组为单位，在各组的电脑上用几何画板进行动态探究，小组合作交流，收集各组的数据列表，从而找出符合三角形是直角三角形三边的规律，并找到由三边关系证明三角形是直角三角形的方法.

这里蕴含着一种推理方法-归纳推理.让学生通过操作、观察、分析，引导学生进行归纳，总结出具体知识、数学方法和思维方式的一般规律，进而内化为自己的能力，培养学生归纳推理能力的同时，也为后面进行演绎推理做好充分的准备.画图、演示、验证等实践活动为学生提供了自主探究的空间和时间.

活动2 证明结论

问题1 活动1的操作，我们发现“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.”这个猜想成立，你能用学过的知识进行证明这是否是一个真命题吗？

问题2 这个命题本质是要证什么？（直角三角形，即证有一个角是90°）

问题3 回想一下我们活动1的操作，我们是怎么准确验证的，这个命題实际就是操作的一般化.

已知 在△ABC中，三边a、b、c满足a2+b2=c2.

求证 △ABC是直角三角形.

证明 略

归纳 （勾股定理的逆定理）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

教学说明 处理问题（2）（3）时，在黑板上画一个三边长满足a2+b2=c2的三角形，和一个以a、b为直角边的直角三角形，引导学生对比两者之间的联系.结合活动1的操作，学生自然地联想到利用全等三角形进行证明.整个过程显得顺理成章、毫无陌生感，学生的思维也实现了从直观向抽象的转化，同时学生亲身体验了“操作——探究——归纳（猜想）——证明”的過程.

多样的课堂学习形式，培养了学生的动手操作能力和表达能力，从“做数学”到“说数学”，再到“写数学”，要求更高了，“写数学”把直观想象转化成逻辑论证，较好地帮助学生理解和掌握数学知识，此环节是知识真正落地的重要环节，并再次帮助学生将新知识条理化、数学化、规范化.[2]发展学生的演绎推理能力.

活动3 再探规律

已知△ABC的三条边长分别为a、b、c，请你通过计算说明a、b、c三边组成的三角形是不是直角三角形，若是指出此时的直角.

（1）a=9，b=12，c=15;（2）a=5，b=6，c=9;（3）a=5，b=13，c=12;（4）a=0.7，b=2.4，c=2.5;（5）a：b：c =3：4：5.

教学说明此环节是巩固新识，使学生会利用勾股定理逆定理判定三角形是否是直角三角形.在教学时，教师要先让学生尝试练习（1）—（4），再归纳形成共识“利用三边的长判断直角三角形时，只要用较短两边的平方比较长边的平方.”，然后结合前面活动中收集的三边数据，引出“满足a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数.”最后尝试练习（5），再探勾股数的规律特征.

2.3 学以致用

将地砖切成了四边形ABCD，如图3所示，经测量∠B=90°，AB=3dm，BC=4dm，CD=13dm，DA=12dm.求切成的四边形ABCD的面积.

在对学生推理能力进行的培养时，要设计生活实际应用问题的教学环节，促使学生的推理能力在生活实践中能学以致用.同时，激励学生积极运用已掌握的知识主动探索相关的数学问题，使学生的推理能力得到进一步的发展和提升.

3 教学反思

3.1 推理能力的培养需要合理的教学设计

培养学生数学推理能力是一个循序渐进的过程，它需要不断“量”的积累.在教学过程中，合理的教学设计是培养学生推理能力的前提.教师应根据教学内容结合学生特点优化设计，充分地利用多种教学手段，让学生经历从合情推理发展到演绎推理的过程.

本课中的“温故知新”设计意图是让学生复习勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，为后面发现勾股定理逆定理做好铺垫.

活动1中的作图、叠合对比为学生发现逆定理提供很好的几何直观，有助于加深学生对数学知识本质的理解掌握.学生用几何画板探究收集数据，论证画法的合理性，使学生走向演绎推理.

3.2 推理能力的发展需要合理的推理联系

《课标》指出：“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.

在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成.合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论.”[1]

一般来说，合情推理建立在学生自身思维和知识储备的基础上，培养相对容易，演绎推理更强调理性思维，培养要求较高.学生通过操作和观察猜想（合情推理）出图形的性质，并对发现的结论进行证明（演绎推理），这样两种推理就能有机地联系在一起，教师要让学生从推理方法的联系中体会逻辑关系，进而发展学生的推理能力.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部，义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社.2012.

[2]余双、孙国芹.设计合情推理载体发展演绎推理能力[J].中学数学教学参考（西安），2020（9）中.16-18.

[3]高旻.基于“深度教学”提升推理能力[J].中学数学月刊，2020（9）.31-33.