巧用乘法原理解决握手问题

石明霜

【摘要】 乘法原理是数学中的重要原理之一，在生活中也有着广泛应用，比如“握手问题”就可以通过乘法原理快速解决.本文通过对“握手问题”建立数学模型，分析乘法原理在此类问题中的灵活应用，希望能提高学生的解题能力，培养学生的数学建模核心素养.

【关键词】 乘法原理;握手问题;核心素养

计数问题是数学中重要的研究对象之一，也是人们了解客观世界的一种最基本的方法.乘法原理也称分步计数原理，是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律.乘法原理不仅是推导排列组合中排列数、组合数计算公式的依据，也是求解排列组合问题的基本思想，同时还是学生今后学习概率及高等数学有关分支的预备知识.因此，理解和掌握乘法原理是很重要的.

乘法原理在实际生活中的应用非常广泛，比如经常提到的“握手问题”，就可以看成是乘法原理衍生出来的数学问题.本文主要利用乘法原理对“握手问题”进行分析，建立数学模型，并且利用化归思想对知识进行迁移，讲解乘法原理在类似“握手问题”等题型中的应用，希望能帮助大家在学习中触类旁通，提高学习效率，体验数学学习的无穷乐趣.

1 乘法原理概述

1.1 基本概念

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.

1.2 原理浅释

乘法原理中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间不能有重复和遗漏.如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.

2 握手问题在乘法原理中的应用

2.1 握手问题

某场会议有10人参加，进人会场时，每2人都要握1次手，这10人共可以握多少次手？

分析 用乘法原理思考，分两步，第一步确定由谁握手，一共10个人，所以有10种情况;第二步确定和谁握手，每人都要和另外9人各握1次手，所以有9种情况.因此，一共要握手10×9=90（次）.但是，握手是2人之间相互进行的，甲与乙握手后乙无需与甲再次握手，因此，每2人之间的握手都算了2次，需要除以2，实际握手90÷2=45（次）.以此类推，若有n个人来参加会议，则共握手n（n-1）2次.

2.2 互赠礼物问题

某班毕业典礼上，每2名同学互赠照片留念，全班共有60人，一共要赠多少张照片？

解 与握手问题不同的是本题是双向问题，甲给乙照片后，乙也要给甲照片，不存在重复计算，所以不需要除以2，因此共互赠照片60×59=3540（张）.以此类推，若有n个人来参加会议，则互赠n（n-1）张.

2.3 火车票问题

火车往返于甲、乙两个城市，除甲、乙两城市外，中途经过4个站点，不同的车站往返需要不同的车票，共有多少种不同的车票？

分析 与握手问题一样，用乘法原理思考，分两步，第一步选取一个站点，有6种选法;第二步再选取一个站点，有5种选法，每两站都要“握手”一次，所以共有6×5=30（种）车票.因为车票既与票价有关，也与列车行驶方向有关，如“重庆→北京”与

“北京→重庆”，就是两种不同的乘车方向，需准备两种车票，所以不需要再除以2.以此类推，若有n个站点需要n（n-1）种不同的车票.

2.4 数图形问题

例1 如图1，n边形有几条对角线？

分析 此题与前面的握手问题略有不同，n边形共有n个顶点，第一步确定由谁“握手”有n种选法，而第二步确定和谁“握手”时，已经选择的端点（如B）不能再选，与它相邻的两个点（A，C）也不能选，那么还有（n-3）个顶点，一共是n（n-3）条对角线，但是，线段AD和DA是同一条线段，重复计算了，所以要除以2，因此共有n（n-3）2条对角线.

例2 如图2，圆上有8个点，分别是A，B，C，D，E，F，G，H，以任意三点为顶点作三角形，一共可以作多少个不同的三角形？

分析 三角形有三个顶点，选第一个顶点时有8种方法（从A，B，C，D，E，F，G，H中选）;选第二个顶点，有7种方法（从除选的第一个顶点外剩下的点选）;選第三个顶点，有6种方法（从选完前两个顶点后剩下的点选），再根据乘法原理即可求出三角形的总个数，即8×7×6=56（个）.但由于△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA是同一个三角形，所以还要除以6才是最终的答案，因此，一共可以作56÷6=7（个）.以此类推，若平面上有n个点，过任意三点作三角形，一共能作出n（n-1）（n-2）6个不同的三角形.

例3 图3共有多少个长方形？

分析 类比握手问题进行思考，AB上有6个点，可以把6个点看成是6名学生，每两点构成一条线段，就好比是2个学生握手，按照握手问题解题思路，共握了6×（6-1）÷2=15次手，所以AB上有15条线段，同理AC上有5个点，可得AC上有5×（5-1）÷2=10条线段.AB上任意一条线段与AC上任意一条线段“握手”都会构成一个长方形，根据由乘法原理，图中共有15×10=150个长方形.以此类推，如果长方形长和宽上分别有m和n个点，那么一共有个长方形.

例4 图4共有多少个长方体？

分析 根据上一题的结论，长方形ABCD共包含150个长方形。AE上有4个点，共有4×（4-1）÷2=6条线段，而长方形ABCD中的任意一个长方形与AE上的任意一条线段“握手”都会构成一个长方体，所以一共可以构成150×6=900个长方体.

2.5 计算概率问题

例5 5个人中至少有2人是同月出生的概率是多少？

分析 本题是一个典型的概率问题，如果用画树状图或列图表法，会显得很繁琐以至于无从下手，如果用“握手”的思考方法来解答会显得很简洁.因为一个人的出生月份有12种选法，则5个人的出生月份共有12×12×12×12×12=248832（种）选法.下一步来确定至少有2人是同月出生的所有等可能结果，如果我们从5人出生的所有等可能结果中，减去没有任何人是同月出生的等可能结果，剩下的就是“至少”有2人是同月出生的”等可能结果，根据乘法原理第一个人出生的月份有12种取法，第二个人有11种取法，依次类推，没有任何人是同月出生的等可能的结果为：12×11×10×9×8=95040（种）.所以，所求的概率为248832-95040248832≈0.618.

此外，握手问题还可类比增长率、循环赛、病毒传播、衣服的搭配问题等，此处不再一一赘述.

本文通过联系生活实际，运用乘法原理对学生熟悉的数学“握手问题”做了讲解，并且利用化归思想对知识进行迁移，将一些类似的抽象问题转化为“握手问题”，运用乘法原理巧妙分析解答，让学生体验把实际问题转化为数学问题的建模思想，培养学生利用数学思维解决实际问题的能力.