因式分解的巧用
2022-07-25刘贤华
刘贤华
因式分解是中学数学的重要内容,是进行代数恒等变形的重要工具,利用因式分解可以解决求值或一元二次方程等常见问题,除此之外,因式分解还有一些别样的应用.下面举例说明.
1 求值
例1 已知a2+14b2=2a-b-2,则3a-12b的值为()
(A) 4.(B) 2.(C)-2.(D)-4.
分析 应先将已知等式变形为两组完全平方式的和等于0的形式,再将相关的式子因式分解,借助非负数的性质求出a,b的值,再将a,b的值代入求值.
解 将a2+14b2=2a-b-2变形为
a2-2a+1+14b2+b+1=0,
即(a-1)2+12b-12=0.
可得a-1=0,12b-1=0,
解得a=1,b=2,
则3a-12b=3×1-12×2=2.
故选(B).
2 整除问题
例2 对于任何整数m,试判断:多项式(4m+5)2-9是否都能被8整除,并说明理由.
分析 将这个多项式分解因式,根据结果是否为8的倍数来进行说理.
解 能被8整除.
理由:(4m+5)2-9
=(4m+5+3)(4m+5-3)
=(4m+8)(4m+2)
=8(m+2)(2m+1).
因为m是整数,m+2和2m+1都是随着m的变化而变化的整数,
所以该多项式能被8整除.
3 比较大小
例3 设a=8582-1,b=8562+1713,c=14292-11422,則a,b,c之间的大小关系是(用“<”连接).
分析 借助平方差公式和两数和的平方公式,分别表示a,b,c的算式进行因式分解,通过比较相关的结果,从而得出a,b,c之间的大小关系.
解 因为a=8582-1
=(858+1)×(858-1)
=859×857,
b=8562+1713=8562+2×856+1
=(856+1)2=8572,
c=14292-11422=(1429+1142)×(1429-1142)
=2571×287=857×3×287
=857×861.
而8572<859×857<857×861,