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因式分解的巧用

2022-07-25刘贤华

数理天地(初中版) 2022年9期
关键词:因式一元二次方程等式

刘贤华

因式分解是中学数学的重要内容,是进行代数恒等变形的重要工具,利用因式分解可以解决求值或一元二次方程等常见问题,除此之外,因式分解还有一些别样的应用.下面举例说明.

1 求值

例1 已知a2+14b2=2a-b-2,则3a-12b的值为()

(A) 4.(B) 2.(C)-2.(D)-4.

分析 应先将已知等式变形为两组完全平方式的和等于0的形式,再将相关的式子因式分解,借助非负数的性质求出a,b的值,再将a,b的值代入求值.

解 将a2+14b2=2a-b-2变形为

a2-2a+1+14b2+b+1=0,

即(a-1)2+12b-12=0.

可得a-1=0,12b-1=0,

解得a=1,b=2,

则3a-12b=3×1-12×2=2.

故选(B).

2 整除问题

例2 对于任何整数m,试判断:多项式(4m+5)2-9是否都能被8整除,并说明理由.

分析 将这个多项式分解因式,根据结果是否为8的倍数来进行说理.

解 能被8整除.

理由:(4m+5)2-9

=(4m+5+3)(4m+5-3)

=(4m+8)(4m+2)

=8(m+2)(2m+1).

因为m是整数,m+2和2m+1都是随着m的变化而变化的整数,

所以该多项式能被8整除.

3 比较大小

例3 设a=8582-1,b=8562+1713,c=14292-11422,則a,b,c之间的大小关系是(用“<”连接).

分析 借助平方差公式和两数和的平方公式,分别表示a,b,c的算式进行因式分解,通过比较相关的结果,从而得出a,b,c之间的大小关系.

解 因为a=8582-1

=(858+1)×(858-1)

=859×857,

b=8562+1713=8562+2×856+1

=(856+1)2=8572,

c=14292-11422=(1429+1142)×(1429-1142)

=2571×287=857×3×287

=857×861.

而8572<859×857<857×861,

所以b

4 判断三角形的形状

例4 已知a,b,c是△ABC的三条边,且满足a2+bc=b2+ac,则△ABC是三角形.

分析 将已知的等式变形,使得等式左边是一个多项式,右边等于0,再将等式左边的多项式分解因式.

解 将a2+bc=b2+ac变形为a2-b2+bc-a=0.

因为a,b,c是△ABC的三边,

所以a+b-c≠0.

因为a2-b2+bc-ac

=(a+b)(a-b)-c(a-b)

=(a-b)(a+b-c)

=0,

所以a-b=0,

所以a=b,

所以△ABC是等腰三角形.

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