选用合适的方法，求动点的轨迹方程

张中正

求动点的轨迹方程问题经常出现在圆锥曲线问题中.此类问题的命题形式多样，求解方法众多，如直接法、定义法、代人法、参数法、交轨法、待定系数法等.笔者对其中五种方法进行了归纳，希望对大家有所帮助.

一、直接法

直接法是求动点的轨迹方程的基本方法.运用直接法解题的思路为：建系——设点——列式——代换——化简——证明或检验结果.在求动点的轨迹方程时，要仔细分析题意，找出动点所满足的几何条件或者等量关系，然后列出有关动点坐标的关系式.

解答本题可采用直接法，先设出动点坐标，根据已知关系式得出关于P点坐标的关系式，化简该式，就得到了动点的轨迹方程.

二、定义法

有时根据题意的条件可判断出动点轨迹为圆、双曲线、椭圆、抛物线，此时可利用定义法，根据圆、双曲线、椭圆、抛物线的定义设出动点的轨迹方程，将相关的参数代人圆锥曲线的标准方程中，即可求得动点的轨迹方程.

三、代入法

代人法，也叫坐标转移法或相关点法.若动点随着另一个动点的变化而变化，则需采用代人法求解.首先设出动点和相关点的坐标，利用所给条件建立这两点坐标之间的联系，用动点的坐标表示相关点，再将相关点的坐标代人所满足的方程中并进行化简，就得到了动点的轨迹方程

仔细分析题意可以发现，动点P随着动点M的变化而变化，因此本题需采用相关点法求解.设出两个动点的坐标，根据二者之间的关系建立关系式，将点M的坐标代人方程中，就可求得动点的轨迹方程.

四、参数法

参数法是解答圆锥曲线问题的常用方法.在解题时，根据题意设出相关的参数，如直线的斜率、方程、圆锥曲线的方程、点的坐标等，然后将参数代人题设中进行求解，通过代换、消元、化简，求得动点的轨迹方程， 若所给的条件中有许多参变量，可先將待求动点的坐标用其他相关的参数表示出来，再消去参数，从而建立关于x、y关系式.特别需注意参数对x、y的影响，这是消去参数后确定轨迹范围的重要依据.

五、交轨法

如果动点是两条曲线的交点，就可以采用交轨法来求解.因为动点为两条曲线的公共点，那么动点的坐标满足两条曲线的方程，因此在求动点的轨迹方程时，可将两条曲线的方程中的参数消去，得到关于x、y的方程，即可得到动点的轨迹方程.

运用交轨法求动点的轨迹方程，关键是求出确定动点轨迹的两个含参数的曲线方程，消去参数即可解题.

求动点的轨迹方程，关键是找到与动点相关的几何关系或数量关系，建立符合条件的动点的坐标的关系式，可直接设点建立关系式，利用直接法求解;也可根据圆锥曲线的定义建立几何关系，采用定义法求解;也可根据相关点建立关系式，采用代人法求解;也可设出参数，采用参数法求解;还可以根据曲线的方程建立关系式，利用交轨法求解.同学们可根据解题需求，选择与之相应的方法进行求解.

（作者单位：山东省聊城第三中学）