巧妙进行“1”的代换，快速解答证明题

刘远桃

数字“1”，简单而又神秘.在解数学题时，巧妙地进行“1”的代换，可快速求解证明题.下面，我们结合几个例题来探讨一下如何巧妙地进行“1”的代换.

一、乘（除）“1”

我们知道，任何数乘（除）以“1”等于任何数.若某个代数式等于1，则可将所证目标式或者某个代数式乘（除）以“1”，这样不仅不会改变目标式或者代数式的大小，还会改变目标式或者代数式的结构、形式，这便给我们解题带来了新的契机.通过通分、约分、正负相消等，化简目标式或者代数式，即可证明结论.

二、将等于“1”的式子代入求解

该思路比较简单，只需根据解题需求，将等于“1”的代数式直接代人目标式或者某个代数式中进行运算，运用一些相关的定理、法则、公式等，即可证明结论.

三、变换等于“1”的式子，再代入求解

變换等于“1”的式子，一般难度较大.往往需要根据解题需求，将等于1的代数式进行适当的变形，如凑系数、乘（除）以某一常数、拆项、添项等，使等于1的代数式变形为方便解题的式子.

将不等式左边的式子化简为只含有。或6的式子，再来求最小值，这与例1的证明思路相同，这也是证明这种题型的常规思路，理论上说可行，但就此题而言，这种证明方法却较为繁琐，主要有两个原因：一是a与b的表达式比较复杂，二是代人的式子本身比较复杂，因此不能同例1那样直接乘“1”，而是要变“1”，采用整体思想，进行代人和换元，把式子转化为只含有一个未知数的形式，再来求最小值.

四、构造出等于“1”的式子，再代入求解

要构造出等于“1”的式子，需根据解题需求、已知条件、相关的公式、定理、法则等构造出等于1的代数式，然后将其代人题设中进行求解. 此题有一定难度.首先设a+b+c+d=1，这便构造出等于“1”的式子，再运用琴生不等式进行证明即可.这种证明方法在证明不等式时应用广泛，不失为一种具有普遍意义的解题方法.

通过上述分析，不难发现“1”在解题中能发挥巨大的作用，但数字“1”是比较容易被忽视的，忽视它往往就会错失了解题的重要依据.这也给我们一个启示：在解题过程中要仔细审题，深入挖掘隐含条件，尤其要关注等于“1”的式子，找到过程最简洁的解题方案.

（作者单位：贵州师范大学数学科学学院）