遇角平分线及其垂线构造等腰三角形

杨再发

【摘要】 在求证线段的两倍关系或是线段和差后的两倍关系的问题，如果条件中有角平分线又有这条角平分线的垂线，一般考虑构造等腰三角形，用等腰三角形的性质来解，本文举例说明.

【关键词】角平分线;垂线;构造等腰三角形

1 证明某线段与三角形两边之差的二分之一的关系

例1 图1

已知，如图1，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，M是BC的中点，求证：EM=12（AB-AC）.

证明 分别延长AC，BE交于点F，

因为AD平分∠BAC，

所以∠BAE=∠EAF，

因为BE⊥AD于点E，

所以∠AEB=∠AEF=90°，

因为AE=AE，

所以△ABE≌△AFE（ASA），

所以AB=AC，BE=FE，

因为M是BC的中点，

所以EM=12CF，

因为CF=AF-AC，

即CF=AB-AC，

所以EM=12（AB-AC）.

2 证明线段两倍的关系

例2

已知，如图2，在△ABC中，AC=BC， ∠ACB=90°，BD平分∠ABC，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2AE.

证明 分别延长AE，BC交于点F，

因为AE⊥BD于点E，

所以∠AEB=∠FEB=90°，

因为BD平分∠ABC，

所以∠ABE=∠FBE，

因为BE=BE，

所以△ABE≌△FBE（ASA），图2

所以AE=EF，

则AF=2AE，

因为∠ACB=90°，

所以∠ACF=∠ACB=90°，

则∠CDB+∠CBD=90°，

因为∠EAD+∠EDA=90°，

因为∠EDA=∠CDB，

所以∠CBD=∠EAD，

因为AC=BC，

所以△CBD≌△CAF（ASA），

所以BD=AF，

即BD=2AE.

3 探究某线段与三角形三条边和差的二分之一的关系

例3 图3

已知，如图3，在△ABC中，BP，CQ分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且AP⊥BP于点P，AQ⊥CQ于点Q，求证：QP=12（AB+AC-BC）.

证明 延长AQ交BC于点D，延长AP交BC于点E，

因为BP是∠ABC的平分线，

所以∠ABP=∠EBP，

因为AP⊥BP，

所以∠APB=∠EPB=90°，

因为BP=BP，

所以△ABP≌△EBP（ASA），

即AB=BE，

AP=EP，

因为CQ是∠ACB的平分线，

所以∠ACQ=∠DCQ，

因为CQ⊥AQ，

所以∠AQC=∠DQC=90°，

因为CQ=CQ，

所以△ACQ≌△DCQ（ASA），

即AC=DC，

AQ=DQ，

所以QP是△ADE的中位线，

即QP=12DE，

因为DE=BE-BD=AB-（BC-CD）

=AB-（BC-AC）

=AB+AC-BC，

所以QP=12（AB+AC-BC）.

例4 已知，如图4，在△ABC中，BD，CE分别是外角的平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，求证：FG=12（AB+BC+AC）.

证明 分别延长AF，AG交直线BC于点M，N，

因为BD平分∠ABM，

所以∠ABF=∠MBF，

因为BF=BF，

因为AF⊥BD，

所以∠BFA=∠BFM=90°，

所以△ABF≌△MBF，

即AF=MF，AB=BM，

同理可得△ACG≌△NCG，

所以AG=NG，AC=CN，

因为AF=MF，AG=NG，

所以FG是△AMN的中位线，

所以FG=12MN=12（BM+BC+CN）

=12（AB+BC+AC）.

例5 已知，如图5，在△ABC中，BD是△ABC的内角的平分线，CE是△ABC的外角的平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，求证：FG=12（AB+BC-AC）.

证明 分别延长AF，AG交直线BC于M，N，

因为BD平分∠ABM，

所以∠ABD=∠CBD，

因为BF=BF，

因为AF⊥BD，

所以∠BFA=∠BFM=90°，

所以△ABF≌△MBF，

即AF=MF，AB=BM，

同理可得△ACG≌△NCG，

即AG=NG，AC=CN，

因为AF=MF，AG=NG，

所以FG是△AMN的中位线，

所以FG=12MN，

因为MN=CM+CN=AC+（BC-BM）

=AC+BC-AB，

所以FG=12（AB+BC-AC）.

4 求三角形面积与原三角形的面积之间的关系

例6 图6

如图6，△ABC的面积是10，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，求S△PBC.

解 延长AP交BC于点D，

因为AP⊥BP于点P，

所以∠BPA=∠BPD=90°，

因为BP平分∠ABC，

所以∠ABP=∠DBP，

因为BP=BP，

所以△ABP≌△DBP（ASA），

所以S△APB=S△DBP，

AP=DP，

即S△DBP=12S△ABD，S△PDC=12S△ADC，

因为△ABC的面积是10，

所以S△ABD+S△ADC=S△ABC=10，

因为S△BPC=S△DBP+S△PDC，

所以 S△BPC=12S△ABD+12S△ADC=12S△ABC=5.

例7 如图7，已知△ABC的面积为26cm2，BD为△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E，连接CE，求△EBC的面积.

解 分别延长AE，BC交于点F，

因為AE⊥BD交BD的延长线于点E，

所以∠AEB=∠FEB=90°，

因为BD是△ABC的角平分线，

所以∠ABE=∠FBE，

因为BE=BE，

所以△ABE≌△FBE（ASA），

所以S△ABE=S△FBE，

AE=EF，

即S△ACE=S△FCE，

因为△ABC的面积为26cm2，

所以S△ABF=S△ABC+S△ACE+S△FCE

=26+2S△FCE，

即S△ABE=S△FBE=13+S△FCE，

因为S△EBC=S△FBE-S△FCE，

所以S△EBC=13+S△FCE-S△FCE=13.