一元二次方程根的分布问题

朱德云

一元二次方程根的分布问题，是初中数学的一个难点，有些同学总感到难以下手.究其原因，主要是没有掌握解决此类问题的方法.以下就从题目“若关于x的方程x2-2mx+m2-1=0的两根都比1小，求m的取值范围”来谈谈这类题的几种解法.

1 求根法

解法1 原方程可化为

（x-m+1）（x-m-1）=0，

解得x1=m-1，x2=m+1.

因为原方程的两根都比1小，

所以m-1<1，m+1<1.

解得m<0.

2 根的代换法

解法2 设y=x-1，则x=y+1.

将其代入已知方程中，得

（y+1）2-2m（y+1）+m2-1=0，

化简为y2+2（1-m）y+m2-2m=0.

因为原方程的两根都比1小，

所以关于y的方程有两个负根.

所以Δ=[2（1-m）]2-4（m2-2m）≥0，y1+y2=-2（1-m）<0，y1y2=m2-2m>0，

解得m<0.

3 图象法

解法3 设y=f（x）=x2-2mx+m2-1.根据题意可画出如图1所示的二次函数图象的草图.

根据函数的图象，有

Δ=（-2m）2-4（m2-1）≥0，--2m2×1<1，f（1）=1-2m+m2-1>0，

解得m<0.

在以上三种解法中，以图象法最为常用.

下面再看几个图象法解一元二次方程根的分布问题的例子.

例1 若方程x2+（m-1）x+4-m=0的兩根都比2大，则m的取值范围是（）.

（A）m≤-6. （B）-6

（C）m<-3.（D）m<-6或-6

解 设y=f（x）=x2+（m-1）x+4-m.

根据题意可画出如图2所示的二次函数图象的草图.

根据函数的图象，有

Δ=（m-1）2-4（4-m）≥0，-m-12×1>2，f（2）=4+2（m-1）+4-m>0，

解得-6

故应选（B）.

例2 已知b，c为整数，方程5x2+bx+c=0的两根都大于-1且小于0，求b和c的值.

解 设y=f（x）=5x2+bx+c.

根据题意可画出如图3所示的二次函数图象的草图.

根据二次函数的图象，有

Δ=b2-20c≥0，-1<-b2×5<0，f（-1）=5-b+c>0，f（0）=c>0，

即b2≥20c，0<b<10，b<5+c，c>0，①②③④

因为b，c 都是正整数，

所以由（1）得b≥25c，⑤

由②，⑤得25c<10，

所以c<5，

所以正整数c只能取1，2.

当c=1时，满足条件①，②，③的正整数b=5.

当c=2时，不存在满足条件①，②，③的正整数b.

故b=5，c=1.

例3 设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1

（A）-27<a<25.（B）a>25.

（C）a<-27.（D）-211<a<0.

解 因为a≠0，

所以可将原方程化为x2+a+2ax+9=0.图4

设y=f（x）

=x2+a+2ax+9.

根据题意可画出如图4所示的二次函数图象的草图.

根据函数的图象，有

f（1）=12+a+2a·1+9<0.

解得-211

故应选（D）.

例4 方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0（k是常数）有两实根α，β，且0<α<1，1<β<2.那么，k的取值范围是（）

（A）-2

（B）3

（C）-2

（D）无解.

解 设y=f（x）

=7x2-（k+13）x+

k2-k-2.

根据题意可画出如图5所示的二次函数图象的草图.

根据函数的图象，有

f（0）=k2-k-2>0，f（1）=7-（k+13）+k2-k-2<0，f（2）=28-2（k+13）+k2-k-2>0.

解得-2

故应选（A）.

例5 方程x2+（2m-1）x+（m-6）=0，有一根不大于-1，另一根不小于1.求m的取值范围.

解 设y=f（x）=x2+（2m-1）x+（m-6）.

根据题意可画出如图6所示的二次函数图象的草图.

根据二次函数的图象，有

f（-1）=1-（2m-1）+（m-6）≤0，f（1）=1+（2m-1）+（m-6）≤0.

解得-4≤m≤2.

利用二次函数图象，解决一些二次方程的根的分布问题时，一定要考虑根所在范围的端点的函数值，有些题还要考虑判别式和对称轴（如两根在同一范围内的情形：引例、例1、例2），有些题则不要考虑判别式和对称轴（如两根分别在两个给定的不同范围的情形：例3、例4、例5）.