三步到位学好二元一次方程组的解法

宋万民

【摘要】 二元一次方程组是初中数学“数与代数”中的重要内容之一，握其解法是学好本部分的基础.解二元一次方程组的基本思想是“消元”——化“二元”为“一元”，化“未知（学）”为“已知（学）”.常用方法有两种：一是代入消元法，一是加减消元法.

【关键词】 代入消元法：直接代入，转化代入，整体代入

加减消元法：直接加减，倍数加减，公倍数加减

正文：二元一次方程组是初中数学“数与代数”中的重要内容之一，掌握其解法是学好本部分的基础。解二元一次方程组的基本思想是“消元”——化“二元”为“一元”，化“未知（学）”为“已知（学）”.常用具体方法有两种：一是代入消元法，一是加减消元法.

1 代入消元法

方法回顾：代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，从两个方程中选择一个系数比较简单的方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程，求出另一个未知数的值.

1.1 直接代入

例1 解方程组：3x+2y=14，x=y+3.①②

分析 方程②已经是用含y的代数式表示x的形式，可直接将②代入①消去x.

解 将②代入①，得

3（y+3）+2y=14.

解得y=1.

把y=1代入②，得x=4.

所以原方程组的解为x=4，y=1.

1.2 转化代入

例2 解方程组：x+y=8，5x+3y=34.①②

分析 方程①的系数简单，易于变形，方程②中y的系数比x的系数小，故将方程①变形为y=8-x，代入方程②.

解 由①得 y=8-x，③

将③代入②，得 5x+3（8-x）=34.

解得x=5.

把x=5代入③，得 y=3.

所以原方程组的解为x=5，y=3.

1.3 整体代入

例3 解方程组：3x+5y=21，2x-5y=-11.①②

分析 方程①和②中y的系数都是5，可把5y当做整体进行变形.

解 由②得 5y=2x+11，③

将③代入①，得 3x+（2x+11）=21，

解得x=2.

把x=2代入③，得y=3.

所以方程组的解为x=2，y=3.

步骤总结：代入消元法解方程组的步骤：

第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.

第二步：把此代数式代入没有变形的另一個方程中，可得一个一元一次方程.

第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.

第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程（一般代入变形后的方程），求得另一个未知数的值.

第五步：把方程组的解表示出来.

第六步：检验（口算或笔算在草稿纸上进行），即把求得的解代入每一个方程看是否成立.

2 加减消元法

方法回顾：加减消元法也是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求两个方程中必须有某一个未知数的系数的绝对值相等（或利用等式的基本性质在方程两边同时乘以一个适当的不为0的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等），然后利用等式的基本性质在方程两边同时相加或相减消元.

2.1 直接加减

例4 解方程组：

（1）2x-5y=7，2x+3y=-1.①②

（2）10x+3y=17，8x-3y=1.①②

分析 观察到方程组（1）中方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x;而方程组（2）中方程①、②中未知数y的系数互为相反数，可以利用两个方程相加消去未知数y.

解 （1）②-①，得8y=-8，

解得y=-1，

把y=-1代入①，得2x+5=7，

解得x=1，

所以方程组的解为x=1，y=-1.

（2）①+②，得18x=18，

解得x=1，

把x=1代入①，得10+3y=17，

解得y=73，

所以方程组的解为x=1，y=73.

2.2 倍数加减

例5 解方程组：5x+2y=25，3x+4y=15.①②

分析 因为上述方程组中x，y的系数既不相同也不是相反数，没有办法直接用加减消元法. 但仔细观察却发现方程②中y的系数是方程①中y的系数的两倍，所以只要将方程①中的各个系数同时乘以2就可以转化为y的系数相同的情形，从而就可以用减法消去y.

解 5x+2y=25，3x+4y=15.①②

①×2，得10x+4y=50，③

③-②，得7x=35，

解得x=5.

把x=5代入①得 25+2y=25，

解得y=0.

所以原方程组的解为x=5，y=0.

2.3 公倍数加减

例6 解方程组：2x+3y=12，3x+4y=17.①②

分析 上述方程组中x，y的系数既不相同也不是相反数，没有办法直接用加减消元法;也无法用倍数加减法，否则就会出现分数反而增加计算的难度.对于上述方程组我们可以找x的系数2和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，在方程②两边同乘以2，再用加减法消元.

解 ①×3，得6x+9y=36，③

②×2，得6x+8y=34，④

③-④，得y=2.

将y=2代入①，得x=3.

所以原方程组的解是x=3，y=2.

步骤总结：我们遇到的往往就是例6这样的方程组，要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：

①变形——找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数.

②加减消元，得到一个一元一次方程.

③解一元一次方程.

④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解.

练习

1.解方程组：2x+3y=16，x+4y=13.

2.解方程组：

（1）2x+3y=14，2x-2y=4;（2）u+v=10，3u-2v=5;

（3）3x-2y=6，2x+3y=17.

答案

1.x=5，y=2.

2.（1）x=4，y=2;（2）u=5，v=5;（3）x=4，y=3.