用待定系数法求二次函数的解析式

赵漫莉

【摘要】 根据表格信息选用三种方法求二次函数的解析式.

【关键词】 二次函数;解析式;平移;灵活

待定系数法求二次函数解析式是初中数学的重点内容，由于二次函数解析式不同于一次函数和反比例函数解析式，它有三种表达形式，选择何种形式会影响到是我们是否能快捷、准确的求出关系式.

例 根据表格信息求二次函数解析式.

x…-4-3-2-1…

y…-15-24-27-24…

方法1 利用一般式求解

分析 把表格中的点都作为一般的点，建立三元一次方程组，求出待定系数.

解 设y=ax2+bx+c，把（-4，-15），（-3，-24），（-2，-27）代入，得

-15=16a-4b+c，-24=9a-3b+c，-27=4a-2b+c，

解得a=3，b=12，c=-15，

所以解析式为

y=3x2+12x-15.

注 知道三个点或者是三条信息，我们就可以设二次函数的一般式，列出三个关于a，b，c的方程，得出解析式.

方法2 利用顶点式求解

分析 通过仔细观察表格我们可以发现（-3，-24），（-1，-24）纵坐标相同，那么这两个点是对称点，这两点到对称轴的距离相同，所以对称轴为直线x=-2，从表格中我们还可以找到顶点（-2，-27）.因此我们可以用顶点式求解.

解 设y=a（x-h）2+k，把顶点（-2，-27）代入，得

y=a（x+2）2-27，

把（-3，-24）代入，得

-24=a（-3+2）2-27，

解得a=3，

所以解析式為y=3（x+2）2-27，

即y=3x2+12x-15.

注 知道对称轴、顶点坐标或对称点时，用顶点式求二次函数关系式比较简单.

方法3 利用交点式求解

利用交点式求解析式关键是要知道抛物线与x轴的交点坐标，我们结合“平移”的知识可以得到抛物线与x轴的交点.

解 把表格中得到的各点向上平移24个单位得到

x…-4-3-2-1…

y…90-30…

我们可以得到平移后的抛物线与x轴的交点为（-3，0），（-1，0），

设抛物线解析式为

y=a（x+3）（x+1），

把（-4，9）代入，得

9=a（-4+3）（-4+1），

解得a=3，

所以解析式为y=3（x+3）（x+1），

即y=3x2+12x+9，

把图象向下平移24个单位得到所求二次函数的解析式为

y=3x2+12x-15.

注 知道或是能够推导出抛物线与x轴的交点时可以用交点式求解析式.

这个例题通过一题多解，可以帮助我们更深刻地理解如何灵活选择合适的关系式求二次函数的表达式.