利用勾股定理求几何体表面两点之间的最短距离

魏建辉

【摘要】在勾股定理的运用中有一类题型，那就是利用勾股定理求几何体表面两点之间的最短距離，常见的几何体有圆柱体（有盖或无盖）和长方体（或正方体）等.如何解决这一类问题呢？下面结合几道例题对它的步骤进行说明.

【关键词】勾股定理;平面几何;解题思路

例1 在底面周长为8cm、高为5cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从点A至点C按如图1所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm.

解 由图1可以得到，丝带从A开始缠绕到C结束，一共缠绕了1.5圈.把该圆柱侧面裁剪并展开得到图2，按照“两点之间，线段最短”可以得到丝带缠绕的路线其实就是线段AC，即AC的长度就是丝带的长度.

如图2所示，在Rt△AEC中，∠E=90°，

AE=1.5×8=12cm，而CE=5cm，由勾股定理可得：AE2+CE2=AC2.

所以，AC2=122+52=169，因为AC>0，所以AC=13cm.

评析 本题中需注意的是，丝带在圆柱体侧面一共缠绕了1.5圈，而不是2圈或3圈.所以，AE的长是圆柱底面周长的1.5倍.

例2 如图3所示，有一块长方体砖块，它的长是6cm、宽是4cm、高是3cm.在A处有一只闲着的蚂蚁，B处是一滴蜂蜜，蚂蚁沿着砖块表面爬行准备去吃蜂蜜，那么它爬行种最短路程的平方是.

解 观察图3不难看出，这只蚂蚁如果从A爬到B，至少需要爬过两个面，所以这里应该有三种不同的情况.先将每种情况的两个面展开在同一个平面中，然后借助“两点之间，线段最短”可以得到每种情况中的最短路线，并通过勾股定理计算出AB的长，最后对这几种情况的AB线段长进行对比得到这只蚂蚁所爬行的最短路线.这三种情况分别如图4中（1）、（2）、（3）所示.

（1）将前面和上面展开如图4（1）所示，此时构造的直角三角形的两直角边分别为4cm和9cm，所以AB2=42+92=97;

（2）将左面和上面展开如图4（2）所示，此时构造的直角三角形的两直角边分别为6cm和7cm，所以AB2=62+72=85;

（3）将前面和右面展开如图4（3）所示，此时构造的直角三角形的两直角边分别为10cm和3cm，所以AB2=102+32=109.

评析 该类问题通常有三种不同的展开方法，但是只有一种是最短路线.最短路线的选择方法，只需看哪个直角三角形的两直角边的差的绝对值最小.由此可得本题图（2）应是最短路线.

例3 图5是一个楼梯的一部分，共三级.这个楼梯的每一级台阶的长、宽、高都分别是20分米、3分米、2分米.在这个楼梯的一端A处有一只蚂蚁，B端是食物，蚂蚁沿着台阶表面去吃食物的最短路程是分米.

解析 这个台阶一共三级，要求蚂蚁爬的最短路程，需要先将三级台阶展开成平面图形，如图6所示，就得到一个长为20分米、宽为15分米的长方形.然后，将A和B两点连接起来，就根据“两点之间，线段最短”得到了蚂蚁爬行最短路程的最短路线AB.接着将AB放入一个直角三角形中，利用勾股定理计算出AB的长，即AB2=202+152，因为AB>0，所以AB=25分米，即蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是25分米.

评析 利用勾股定理求几何体表面两点之间的最短距离，首先将圆柱的侧面展开，然后确定相应点的位置，接着连接相应点，构造直角三角形，最后利用勾股定理求解.如果是正方体或其他的图形，也是如此先展开，然后构造直角三角形用勾股定理求解.

例4 如图7所示，有一个无盖的圆柱形玻璃杯，杯高14cm，底面周长约为32cm.

在玻璃杯内壁B处有一滴蜂蜜，且蜂蜜距离杯底5cm.在玻璃杯外壁A处有一只饥饿的蚂蚁，且它距离杯口仅3cm.如果蚂蚁闻到了蜂蜜，并准备沿着杯子去吃蜂蜜.那么蚂蚁行进的最短距离为cm（杯壁厚度不计）.

解 如图8所示，作A点关于直线GF的对称点E，并连接BE，那么BE就是蚂蚁爬行的最短路径.

过B点作AE与BC互相垂直，垂足为C，那么△ECB为直角三角形.

在Rt△ECB中，BC=12GF=12×32=16（cm），CE=14+3-5=12（cm）.根据勾股定理可列式：EB2=EC2+BC2.

代入相关数值，解得BE=20（cm）.

评析 本题和前三道题既有相似之处，又有不同之处，解决这道题要用到三个技巧：首先，把立体图展开;其次，借助轴对称转化为两点之间线段最短的问题;最后，构造直角三角形用勾股定理列方程.

例5 如图9所示，一根枯木上缠绕着一圈又一圈的葛藤.现在知道枯木的高是20尺，腰粗3尺，且葛藤一共绕了5圈.假如把枯木近似的看成一个圆柱，且枯木每个部分的粗细相同.求葛藤的长度.

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解 将圆柱体侧面展开后如图10所示，这时易得一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），由勾股定理可得AB2=202+152，因此葛藤长AB=25（尺）.

评析 本题仍然是勾股定理问题，但是在考查时与前面四题稍有不同，因为所绕圈数之多，学生可能难以把握.这时，需要先弄清绕了几圈，然后转化成相应的平面展开图.