搭思维支架 构数学概念

李鑫 文斌

【摘 要】 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的基础，是数学核心素养的重要构成要素.科学合理的数学概念生成过程是发展学生数学抽象最好时机之一.基于有效教学的过程属性，以思维型课堂教学理论为指导，构建 以“引发冲突-生成需要-自主建构-形成概念-类化规则”为核心的数学概念教学模式，旨在帮助学生顺利构建数学概念，提升数学抽象能力.

【关键词】 数学抽象;支架式教学;思维阶梯

数学抽象是数学核心素养的重要构成要素，学生的抽象思维发展影响其理性思维发展与逻辑推理能力水平.普通高中课程标准（2017年版2020年修订，以下简称新课标）指出“数学抽象是从数量或图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，并用数学语言予以表征……数学抽象主要表现之一為获得数学概念和规则[1].”这既是对数学抽象之重要性的肯定，又为数学教学培养学生的抽象能力指明方向.然而，高中数学繁、杂、难的特征使得数学课堂过于追求高分数结果的落实，忽视了学生抽象能力的发展，特别是学生数学概念的生成过程被虚化.而数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，是培养学生数学抽象的最好时机之一.因此，探索如何提升数学概念教学质量，践行注重概念生成过程和学生抽象能力发展的教学道路，是数学教育中值得关注的问题.

1 有效教学的过程性阐释

杜威在其教育无目的论中提到“教育的过程，在它自身以外没有目的，它就是自己的目的”，这是一种实在的教育过程论[2].也就是说，离开了教育过程，就无法存在真实意义上的教育目的，过程是教育活动的存在方式和展开形式，故过程性是教育的基本属性.教学作为教育的主要手段，其是教师的教和学生的学所构成的人类特有的人才培养活动，故教学也是一种人为的过程性存在[3].要知道教学结果“是什么”，或要实现“是什么”的目标，就必须历经结果是“如何生成的”的过程.

数学概念是人脑对现实对象数量关系和空间形式的本质特征的思维形式，是构成数学知识体系的“细胞”，是建立数学理论的基础.数学概念的生成过程是学生调动抽象思维，概括事物共同属性、抽象本质特征的过程，是发展学生数学抽象能力的契机.从结果上看，数学概念虽是对本质特征“是什么”的阐释，但这一结果应由生成过程获得.因此，在数学概念教学中，学生的数学抽象能力的发展只能在教学过程中实现，而非教学结果，教学过程比教学结果更具有价值.

2 重过程的数学概念教学探索

思维型课堂教学理论中指出思维活动是课堂教学的核心活动，并提出“认知冲突”、“自主建构”、“自我监控”、“应用迁移”四个基本原理[4].该理论是经过各学科教学实践证明了的能够有效提升学生思维能力的课堂教学理论.因此，基于思维型课堂教学理论，提出以“引发冲突-生成需要-自主建构-形成概念-类化规则”为核心的支架式概念教学，如图1所示.

引发冲突是支架式概念教学的起始阶段.依据思维型课堂教学理论，引发认知冲突是指学生在认知发展过程中，因原有认知结构与现实情境不相符而在心理上所产生的冲突或矛盾[5].这是一种内部矛盾或内部动机，促使学生进行积极思维和主动思考，是学生数学抽象能力发展的动力.因此，在数学概念教学中，为学生搭建“引发冲突”的支架，创设能够产生学生认知冲突或与已有经验和现实生活相矛盾的情境，激发学生学习新概念、参与思维活动的欲望.

恩格斯曾说：“数学像所有其他的科学一样，起因于人们的需要.”新课标将数学文化融入到课程内容中，提出数学文化包含“数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展…… ”等多方面的内涵.因此，在引发学生认知冲突的基础之上，为学生搭建“生成需要”的思维支架，激发学生对数学家发现真理历程的思考.一个数学概念不会凭空产生，其一定是来源于现实社会生活的思考与需要，当现实生活与未来应然生活之间产生不满足感、欠缺感，于是需要便产生了.在数学概念教学中，以数学概念的起源激发学生对概念生成的需要，引导学生像科学家一样思考，是数学概念习得的关键，也是对新课标对学生提出的要求的落实.

自主建构是支架式概念教学的核心阶段，也是学生数学抽象能力得以锻炼的关键阶段.建构主义理论认为学习是学生从已有知识结构出发，进行自主建构知识体系的过程;知识建构与思维建构同步进行，且只有知识的建构和思维的建构协同发展，知识才会被接受、理解、内化为能力.在数学概念教学中，为学生搭建“自主建构”的支架，目的是让学生的思维从形象思维向抽象思维过渡，引导其概括感性材料的共同属性、抽象出所学概念的本质特征.基于数学概念自身的特殊性，即大都有抽象的文字符号构成，因此，引导学生主动将符号转化为图像等具体的易于理解的思维形式至关重要.

形成概念是学生完成对感性材料的抽象过程，发现问题的本质，形成对先前矛盾或冲突的正确解释，并用准确简练的文字或符号化语言表达.在此阶段，学生已经通过分析、抽象、概括、综合等思维品质经历如何得出这个数学概念的过程，进而得出这个概念是什么的结果.除此之外，教师也应该在此阶段引导学生回顾探究概念的过程，回答三个问题：（1）为什么要引入这一概念;（2）怎么样生成这一概念;（3）概念在学科结构中的地位或作用是什么.这是引导学生反省总结得出这一概念的思想方法，将内隐的思维过程外显化，同时为概念的迁移应用打下思维基础.

类化规则是支架式概念教学的最后阶段.“类化”依据心理学生的解释为：“概括当前问题与原有知识的共同本质特征，将所要解决的问题纳入到原有的同类知识结构中去，将问题加以解决.”在其他学科教学中，类化通常是在概念得出之前，使学生易于对新概念的理解，将新概念与学生认知结构中已有的旧概念进行类化.而在支架式概念教学过程中，最后为学生搭建“类化规则”阶梯，其原因是数学概念是数学运算与应用的基础，在学生习得概念之后，引导学生对概念进行运算规律或命题等进行类化.

3 支架式概念教学的实践——以《复数的概念》为例

支架式概念教学细化了学生构建数学概念的过程，将有效教学的理念由重结果转向重过程，促进学生数学抽象能力的发展，可实现教育的过程价值.复数是一类重要的运算对象，相较于实数是一个较抽象的概念，让学生理解引入复数的必要性、了解数系的扩充进而掌握复数的概念需要经历思维的加工过程.因此，基于支架式概念教学，以《复数的概念》为例展开教学实践.

【引发冲突】

师 先让学生求解方程1：x2=1;后求解方程2：x2=-1.

生 对于方程1可以轻易说出答案，而对于方程2的求解“举棋不定”，有的人认为无解，有的人认为答案是……

师 继续抛出问题：两根之和为10，两根之积为40，那么这两个数、分别是多少呢？

生 顺利列出方程组，但因根的判别式而无法求解.

设计意图 巧设两个问题，超出学生的认知范围，但又在“最近发展区”之内.其中，第一个问题是根据数学家欧若拉在其《代数基础》中提到的以负数的平方根引入虚数概念;第二个问题是根据五百多年前意大利数学家卡尔丹的“分十”问题设置[6].重现经典数学史问题，产生思想碰撞，激发学生的认知冲突，使学生带着疑问与目标学习.

【生成需要】

师 从求解方程的视角，板书帮助学生回顾认知结构中已有的数域的扩张过程，如图2所示.

生 回顾数域扩充的过程.

设计意图 通过回顾数系的扩充过程，使学生生成进一步扩充数系、引入新的数学概念的需要，同时，从求解方程的视角，运用类比思想，清晰地呈现了数系的扩充规则.这一阶段是培养学生的逻辑推理、数学抽象能力的契机.

【自主建构】

师  呈现本节课目标，即解决两个“？”的问题.

生 引入的新数，使得这个数的平方和是1.

师  提出虚数单位，是数学家欧拉引入并使为的解.

生 习得新数.（解决第一个“？”）

师 引导学生运用类比思想，将实数系的运算方法与虚数单位相结合.并完成实数与虚数的组合问题：（1）实数：-1、0、2、5 ;（2）新数.

生 自由组合出多个数：-1+2、-1+5、5-、5+2、2、0……

师 引导学生寻找规律，将组合的数写成统一的数学表达式.

生 小组讨论，各组展示答案.

设计意图 学生对本节课的目标已经非常清晰明朗.通过引入新数解决无解的问题，再通过学生对实数与虚数单位的任意组合，为学生创造积极思考、主动探索的空间.对自由组合数进行形式的统一概括，为建构“复数”概念提供支撑，培养学生数学归纳与数学抽象能力.

【形成概念】

生 确定组合数的统一形式：.

师 对同学的回答进行补充与规范，引出复数的概念：形如的数叫做复数，复数通常用字母表示.

生 阅读教材，自主探究复数的虚部和实部，形成概念结构图，如图3所示.

师  向学生提出三个问题：（1）复数是什么？（2）为什么引入复数？（3）如何引入复数的？

生  小组讨论交流三个问题.

设计意图 对学生的探究结果予以肯定的同时，进行补充，形成最终复数的概念.将新的复数概念纳入到原有认知体系中，产生有意义联系使得学生的所学概念不再是孤立的，形成完整的知识体系.最后引导学生回顾概念引入的作用与生成过程.

【类化规则】

师  引出下一节内容，引导学生进行填写复数运算方法和运算规律的表格，如表1所示.

生 根据类比规律填写表格.

师 答案将在下一节课揭晓，鼓励学生做好预习.

设计意图 自然引出下节课对复数运算方法与运算规律的探究，既给学生预留足够的时间对新概念进行迁移应用，又对下一节内容留足悬念.从原有认知结构出发，再一次鼓励学生进行知识的类比与方法的迁移.

4 总结

教学既是一门科学，又是一门艺术.支架式概念教学依照学生的认知发展规律，将概念教学细节化、过程化，以搭建支架式的方式授之学生以“渔”.从慢节奏的概念引入，引发认知冲突、生成对概念学习的需要，到以学生的原有认知结构为脚手架，进行主动建构概念，最终习得概念.同时，支架式概念教学以数学概念“是什么”为目标，以数学概念“如何生成”为过程，培养学生的数学抽象能力，落实数学学科核心素养的提升.

【基金项目：1.2020年黑龙江省高等教育教学改革项目《高校数学课程教学与“思政教育”有机融合研究与实践》（SJGY20200694）;2.2020年佳木斯大学教育教学改革研究项目《高校数学课程教学与“思政教育”有机融合研究与实践（2020JY1-04）】

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]郭元祥.论教育的过程属性和过程价值——生成性思维视域中的教育过程观[J].教育研究，2005（09）：3-8.

[3]罗祖兵.有效教学的过程性阐释[J].教育研究，2017，38（09）：99-105.

[4]林崇德，胡卫平.思维型课堂教学的理论与实践[J].北京师范大学学报（社会科学版），2010（01）：29-36.

[5] 狄邁，汪晓勤.美英早期代数教科书中的复数引入方式[J].数学教学，2021（05）：1-6.