数学思想在函数解题中的应用
2022-07-23张飞飞
张飞飞
【摘 要】 函数是高中数学的必考知识点，习题情境灵活多变.为更好地提高函数习题解题效率，应在牢固掌握基础知识的基础上做好解题思想的应用总结，更好地找到相关习题的解题思路.本文探讨函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想在函数解题中的应用，以供参考.
【关键词】 数学思想;高中数学;函数解题
数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识.解答函数习题时注重数学思想的应用，可少走弯路，尽快找到解题的突破口，实现解题效率的提升，因此应提高数学思想在解题中的应用意识，并做好数学思想应用的总结，把握相关的应用细节，积累相关的应用经验.
1 函数与方程思想
函数与方程联系紧密.解答相关方程问题时运用函数与方程思想，将方程问题转化为函数问题，借助函数性质可达到事半功倍的良好效果.应用时应具体问题具体分析，有时将方程问题转化为函数与坐标轴的交点问题，有时将方程问题转化为两个函数图像的交点问题.部分函数习题还需要根据给出的方程构造新的函数，借助导数这一工具，研究构造函数的性质，以达到顺利解题的目的.
例如 已知x0是方程x3ex-4+2lnx-4=0的一个根，则e4-x02+2lnx0的值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
解答该题需要认真观察，仔细分析已知条件与要求问题之间的内在联系.运用指数与对数的关系对方程进行巧妙的变形，通过构造新的函数加以解答.
因为x3=e3lnx，所以x3ex-4+2lnx-4=e3lnx+x-4+2lnx-4=0，等式兩边均加上lnx+x，所以e3lnx+x-4+3lnx+x-4=lnx+x=elnx+lnx.构造函数f（x）=ex+x，f′（x）=ex+1>0，函数f（x）单调递增，又因为f（3lnx+x-4）=f（lnx），所以3lnx+x-4=lnx，所以x+2lnx=4，x=e4-x2，所以e4-x02+2lnx0=x0+2lnx0=4，选择B项.
2 数形结合思想
数形结合思想在高中数学中占有重要地位，在函数解题中应用广泛.利用数形结合思想解题时应明确“数”与“形”结合的思路，尤其应注重掌握画陌生函数图象的方法，可通过联系基本函数图象，通过对其进行平移、翻折、对称等，完成整个区间内函数图象.另外，导数以及极限这两个重要的工具，把握陌生函数图像的变化趋势，确保所画图形的正确性，为正确解题做好铺垫.
例如 函数f（x）=ex|ex-2|+2，若函数f（x）在区间[m，n]（m A.[ln2，ln（2+22）] B.（-∞，ln（2+22）） C.（-∞，ln（2+22）] D.（-∞，ln（1+22）] 分析可知需要先取得函数中的绝对值，借助导数画出函数的大致图象，在此基础上找到函数值为2和3对应的自变量，分析m和n的取值范围，问题也就迎刃而解. 图1 因为f（x）=ex|ex-2|+2，所以当x 由图可知，ln2≤n≤ln（1+2），当n=ln（1+2）时，m≤ln2，m+n≤ln2+ln（1+2）=ln（2+22），当ln2≤n 3 分类讨论思想 分类讨论思想是高中数学的重要考点.运用分类讨论思想解答函数具体的关键在于全面的考虑问题，正确找到讨论的分界点，做到讨论的不重不漏，而后针对具体情形进行作答.寻找讨论分界点的思路多种多样，尤其当相关参数不确定、函数图象不确定，函数根的大小关系不确定时，均应进行分类讨论. 例如 若对任意实数x∈（-∞，1），x2-2ax+1ex≥1恒成立，则a的值为（ ） A.-12 B.0 C.12 D.e 该题题干较为简洁.解答时需要对给出的不等式进行变形，运用导数研究函数的单调性.当求导后导函数根的大小不确定时需要进行分类讨论. 令f（x）=x2-2ax+1ex，f′（x） =（1-x）[x-（2a+1）]ex（x≤1）.当2a+1≥1时，此时a≥0，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，f（x）≥f（1）=2-2ae≥1，解得a≤1-e2<0，不符合题意.当2a+1<1时，此时a<0，在（-∞，2a+1）上，f′（x）<0，函数f（x）单调递减.在（2a+1，1]上，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，f（x）min=f（2a+1）=2a+2e2a+1，由题意知2a+2e2a+1≥1，令t=2a+1<1，不等式转化为et-t-1≤0恒成立.令g（t）=et-t-1，则g′（t）=et-1.当t<0时，g′（t）<0，函数g（t）单调递减.当0 4 转化与化归思想 转化与化归思想是解决函数习题的重要思想.转化与化归的方法较多，主要有：等价转化法、换元法、构造法等，不同的方法有着不同的适用题型.但无论使用哪一种方法进行解题，应做到转化与化归前后相关参数的取值范围是相对应的，保证推理的科学性与严谨性. 例如 已知函数f（x）=x2-2x-mlnx（m∈R）存在两个极值点x1，x2（x1 A.-1e2 B.-1e C.1e2 D.1e 解答该题需要采用等价转化法，在确定m取值范围的基础上进行换元，将两个变量转化为一个变量，化难为易，借助函数的单调性进行解答. 因为f（x）=x2-2x-mlnx（m∈R），x>0，f′（x）=2x-2-mx=2x2-2x-mx.因为函数f（x）存在两个极值点，所以当2x2-2x-m=0时应满足：Δ=4+8m>0x1+x2=1>0x1x2=-m2>0，解得-12 5 结语 要想成功地解答相关的函数题，不仅需要牢固掌握函数基础知识，而且需要学习解题中常用的数学思想，把握相关数学思想的特点以及适用题型，尤其应围绕数学思想开展专题训练活动.训练时认真体会数学思想应用过程，不断总结相关应用细节以及注意事项，真正做到融会贯通，灵活应用. 参考文献： [1]邹娇娇.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用[J].数理化解题研究，2021（27）：2-3. [2]刘文娟.探讨分类讨论思想在高中数学函数解题中的应用[J].课堂内外（高中版），2021（35）：21-22. [3]戴阳.数学思想在高中数学教学重难点突破中的应用分析[J].数学学习与研究，2021（16）：39-40. [4]郭以辉.转化思想在高中数学教学中的应用研究[J].中学数学，2021（07）：90-91. [5]李德祥.基于函数思想的高中数学解题研究[J].高考，2021（04）：17-18.
