一类三阶微分方程特殊正解的存在性

赵玉萍，傅 华

(1.青海民族大学数学与统计学院，青海 西宁 810007；2.福建警察学院计算机与信息安全管理系，福建 福州 350007)

0 引言

微分方程在计算机科学、经济学、生物数学等领域有着广泛应用，微分方程的渐近性和正解存在性问题越来越受到人们的重视.关于二阶微分方程的渐近性和正解存在性问题的研究成果较多[1-8]，对高阶和分数阶微分方程解的振动性、渐近性的研究引起了国内外学者的广泛关注[9-16]，但是对高阶微分方程正解的存在性问题研究较少.文献[9]只研究了三阶非线性微分方程

解振动的充分条件，并没有考虑解的存在性和渐近性问题.文献[11]研究了一类三阶拟线性微分方程

(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′′+b(t)|x(t)|β-1x(t)=0

正解的存在性.

受前述工作启发，本文研究三阶非线性微分方程

(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′′+b(t)f(x(t))=0，0

(1)

(2)

1 基本引理

引理1 设条件(2)成立，x(t)是方程(1)的正解，则x(t)只有下面两种可能，即存在T≥t0，使得当t≥T时，有：

x(t)>0，x′(t)>0，(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′>0；

(3)

x(t)>0，x′(t)<0，(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′>0.

(4)

证明这个引理的证明过程与文献[6]引理1与引理2证明类似，此处省略.

当条件(2)成立时，如果x(t)是方程(1)的正解，由引理得

(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′>0，

则存在T，当t>T时，

a(t)|x′(t)|α-1x′(t)≥a(T)|x′(T)|α-1x′(T)=c>0.

将上式两边从T到t积分，得

则存在k1>0，使得

那么当(2)式成立时，如果x(t)满足条件(3)且

(5)

则称x(t)是方程(1)满足条件(3)的正解中的最小解.

当条件(2)成立时，如果x(t)是方程(1)的正解，由方程(1)得

(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))″=-b(t)f(x(t))<0.

因此

(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′≤(a(T)|x′(T)|α-1x′(T))′=b>0，t≥T.

将上式两边从T到t积分两次，得

其中b1=a(T)|x′(T)|α-1x′(T).则存在k2>0使得

那么当(2)式成立时，如果x(t)满足条件(3)且

(6)

则称x(t)是方程(1)满足条件(3)的正解中的最大解.

本文主要讨论在满足条件(3)的情形下，方程(1)正解中最小解与最大解存在的充分和必要条件.

2 主要结果

定理1 设条件(2)成立，x(t)是方程(1)满足条件(3)的正解中的最小解，则

(7)

证明设x(t)是方程(1)满足条件(3)的正解中的最小解，则存在T≥t0，使得

(8)

当t>T时，必有

a(t)|x′(t)|α-1x′(t)<(3k)α.

若不然，则

x′(t)≥3k(1/a(t))1/α.

将上式从T到t积分，得

这与(8)式矛盾.说明0

将方程(1)从t到T积分，令T→∞得

将上式从t到τ积分有

而a(t)|x′(t)|α-1x′(t)有界，所以

由已知有

再由(8)式得

因此

从而(7)式得证.

定理2 设条件(2)成立，且

(9)

则方程(1)存在满足条件(3)的正解中的最小解.

证明假设(9)式成立，令T≥t0，存在常数ρ>0，使得

(10)

假设x(t)是方程(1)的正解中的最小解，则

令I=[T，∞)，C[T，∞)是X:I→R上所有连续函数构成的空间，并且所有连续函数具有一致收敛于[T，∞)的紧致子区间的拓扑性质.定义C[T，∞)上子集合X满足

集合X是定义在C[T，∞)上的闭凸子集，定义映射ψ:X→C[T，∞)，满足

应用Schauder-Tychonoff不动点定理证明ψ有不动点x(t)，使得

x(t)=(ψx)(t)，t≥T.

(1)ψ是X到X上的映射.令x∈X，

由已知得

记ρ=f(x(T))，由(10)式有

从而ψx∈X.

|(ψxn)(t)-(ψx)(t)|≤

其中

进而有|(ψxn)(t)-(ψx)(t)|→0 (n→∞)在[T，T*]⊂I上一致成立，则ψ是X上的连续映射.

(3)ψx是相对紧的.令T*>T相对固定，则有

所以ψx在[T，T*]上一致有界，进而ψx在I上等度连续，由Ascoli-Arzela定理，得ψx是C[T，∞)相对紧子集.

因此，对映射ψ:X→C[T，∞)，应用Schauder-Tychonoff不动点定理，存在不动点x(t)∈X，当t≥T时，x(t)=(ψx)(t)，且x(t)∈X是方程(1)满足条件(3)的正解中的最小解.

定理3 设条件(2)成立，x(t)是方程(1)满足条件(3)的正解中的最大解，则

(11)

证明设x(t)是方程(1)满足条件(3)的正解中的最大解，则存在T≥t0，使得

将(1)式从t到τ积分，由引理1得

而(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′有界，则有

从而(11)式得证.定理3证毕.

定理4 设条件(2)成立，且

(12)

则方程(1)存在满足条件(3)的正解中的最大解.

证明假设(12)式成立，令T≥t0，存在常数ρ>0，使得

记

令A=[T，∞)，C[T，∞)是X:A→上所有连续函数所构成的空间，并且所有连续函数具有一致收敛[T，∞)的紧致子区间的拓扑性质，定义C[T，∞)上子集合X满足

X={x∈C[T，∞)|kW(t，T)≤x(t)≤2kW(t，T)}.

集合X是定义在C[T，∞)上的闭凸子集，定义映射φ:X→C[T，∞)，满足：

类似定理2的证明，可以验证:

(1)φ是X到X上的映射；

(2)φ是X上的连续映射；

(3)φx是相对紧的.

因此，对映射φ:X→C[T，∞)，应用Schauder-Tychonoff不动点定理，存在x(t)∈X，当t≥T时，x(t)=(φx)(t)，且x(t)∈X是方程(1)满足条件(3)的正解中的最大解.证毕.

特别地，若方程(1)中的常数α和函数f(u)的性质稍做改动，则有下面的结论：

(13)

对上式从t到∞积分，有

对上式从t2到∞积分，有

后续工作中，可以进一步讨论当条件(4)成立时，方程(1)正解中最小解与最大解存在的充分和必要条件.