基于深度学习的高中数学建模教学实践与思考

摘要：《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》指出，当今教育背景下，高中教师要转变传统“知识主导”的教学架构，明确数学建模能力对学生思维、素养提升的重要意义。深度学习理念作为新课标的内在要求，不仅要求教师重新审视教学与育人工作的关系，还应秉持“以生为本”的教育方针，深度解读教学内容、课程标准，将数学建模能力作为学生核心素养提升的关键。基于此，文章立足深度学习理念，分析数学建模能力内涵及应用价值，并从内容、方式等层面给予渗透，提升课堂深度与广度的同时，强化学生知识运用能力，以此推动我国高中数学教育事业的蓬勃发展。

关键词：高中数学;深度学习;数学建模;应用价值;融合策略

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8918（2022）24-0086-04

一、 引言

随着高中新课标的实施，数学建模在高中课程设置中的要求的逐渐加强，数学建模素养作为数学六大素养的重要组成部分，它是基于数学学科的知识技能而形成的重要的思维品质和关键能力。如何更好地在高中实施数学建模，是当下教师教学工作开展的重要课题。为此，一线教师纷纷展开探索，从其内容、原则、教学方式等层面进行解读。然而，在实际教学过程中，由于教学内容、教师能力等因素的限制，使得成效难以达到预期，加之数学知识的抽象性与复杂性，导致教学方案缺乏趣味性与针对性，学生难以明确其本质。深度学习作为当下重要的教育理念，其体现在学生自主思考、自我反思两个基本环节，将其融入数学建模教学中，能够很好地弥补传统教学存在的短板，促进学生能力、素养的协同发展。对此，文章将从以下几个方面进行阐述。

二、 深度学习概念

深度学习源于人工智能，起初是对机器学习样本数据的内在规律和表示层次的综合概括。随着技术、手段的日渐成熟，使得深度学习开始向各个领域渗透。教育界中，许多学者发现了深度学习的逻辑关系与教学工作的出发点、落脚点存在一定联系，并开始探索其与教育工作的契合点。大多数学者认为，深度学习的主要作用对象为学生，重在引导学生结合已学知识构建特定的思维框架，通过这种方式也能使学生将各个知识点按照某一线索串联起来，在此基础上也能使自身的思维由浅层向深层过渡。从本质上看，深度学习重在引导学生深度挖掘知识的形成过程，在此基础上深化对学科概念、知识的理解，进而形成完整的知识框架，促进学生综合学习能力提升。同时，深度学习还注重鼓励学生主动构建知识网，同时还要促进自身价值观的形成，激发学生攻克难关的决心，进而向高阶思维迈进。总之，深度学习是一个接收、反思、批判的过程，学生既要做到“学”与“知”，又要明确学习的本质及目的，以此进一步完善自身知识建构，建立良好的知识互通关系。

三、 高中数學深度学习特征

（一）注重思维传递

深度学习在各个教学环节中均有所体现，不仅能培养学生良好的自主思考、自主探究能力，而且能唤醒他们的学习热情，使其主动参与到学习活动中。同时，深度学习能够促进学生个体间思维的交互与传递，弥补传统学习模式存在的短板，提高学习成效。

（二）鼓励深度参与

高中阶段数学知识内容繁多、逻辑性强，对学生思维、认知等方面的提升有着十分重要的现实意义。在实际教学中，教师不仅要注重知识的简化，而且也要贯彻素质教育的基本要求，从多个角度进行有效切入，确保学生能够通过深度学习整合教学知识。同时，当学生遇到困难时，教师要扮演好“领路人”这一角色，通过情境、问题的追问，鼓励学生深度参与，提高课堂主体地位的同时，促进核心素养的培育与形成。

（三）主张知识建构

当下高中学生面临高考的压力，学业任务繁忙，多数学生难以抽出时间思考、理解知识背后的核心思想。为此，为了促进学生能力、思维的全面发展，教师必须转变传统“知识主导”的教学架构，注重数学思维的培养，并通过实际案例、教学情境的引导，提高他们知识获取、知识运用的基本能力，以此最大限度地发挥深度学习的优势。

四、 数学建模的含义与价值

（一）数学建模的含义

数学源于生活，用于生活，在对问题进行分析、思考的过程中，就是数学模型构建的过程。从古希腊“地心说”与“日心说”之争到如今的人工智能，数学建模都发挥了十分重要的角色地位。一些数学家认为，数学建模是对现实问题进行抽象，用数学的语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题。它是处理各种实际问题的一般方法。

（二）数学建模的价值

建模重在提高学生对知识的归纳整理能力，高中数学教学中，通过引导学生建模能够使学生将琐碎的知识串联起来，同时也能有效串联学生碎片化的学习时间，使学生把握学习主旨，在此基础上开展高效的学习活动。同时，通过建模，能够提升学生用数学语言表达生活中的数学的愿望，也能使学生置身于实际的生活情境中，在生活中发现并解决问题，拉近数学与生活之间的关系，发现生活中的数学，进而提高自身的实践能力。同时，学生也要善于寻找模型中的多个相关关系，并发挥模型的知识整合作用，逐步攻克数学学习中的难题。

（三）数学建模素养的含义

数学建模素养能够间接体现学生的数学思维，通过这一素养的提升，学生能够更好地理解抽象的数学知识，进而了解数学符号的妙用。学生结合相关内容搭建相应的数学框架也能从一定程度上简化数学问题，从未知到已知，逐步挖掘题目中的隐含信息，将复杂的知识简单化，通过这种方式也能强化自身的知识应用能力。此外，数学建模素养聚焦学生四项关键能力的培养，第一种能力为问题转化能力，第二种能力为知识应用能力，第三种能力为创新能力，第四种能力为合作能力。

（四）数学建模素养的特征

数学建模素养具有引导性，能够引导学生深入思考学习内容，进而获得良好的学习体验。同时，该素养还具有探究性，注重引导学生探究知识的关联点，从实际问题入手，探讨解决问题的对策，同时也强调学生要运用数学语言、数学思维解决实际问题。

五、 当下教学中数学建模素养的培养情况

采用“板书+习题+测验”的方式进行授课，枯燥乏味的教学氛围阻碍了学生学习兴趣的养成，对数学建模的认知流于表面，难以运用到实际中。同时，学业的繁重，使学生难以抽出时间进行建模研究，进而导致学生数学建模能力薄弱。对此，培养学生的数学建模素养尤为必要。

六、 基于深度学习的高中数学建模教学策略

（一）在建模活动中培养数学建模素养

为进一步培养学生数学建模素养，教师要注重教学方式的转变，全面解读教材内容，创设有效情境进行建模活动教学，引导学生深度学习。

以“必修一中的数学建模专题：茶水最佳饮用问题”为例，针对问题特点，教师可围绕“家乡茶文化”进行情境创设，为学生介绍茶叶的六个类型，同时让学生思考“泡好一杯茶，等多久喝口感最好？”。随后，教师可从室内温度、茶叶冲泡温度等方面设置不同导学问题，并根据牛顿冷却模型，设置思考任务，鼓励学生设计相应的实验方案与流程，并通过模型建立与分析，完成实验报告。这样一来，在问题的引导下，学生既掌握了问题发现、问题分析的基本能力，又熟悉了数学建模的一般步骤，促进了数学建模核心素养的培育。

（二）优化课堂教学过程，提升数学建模素养

1. 在新课讲授环节中渗透建模思想

数学概念、定理、公式是学习的基础，但由于这些内容的枯燥乏味，多数学生难以快速融入课堂学习中。为此，教师可针对不同教学内容，通过情境、问题的双重引导，建立相应的数学模型，帮助学生更好地理解概念、定理、公式的内涵，渗透数学建模思想。

以“几何概型”为例，开展教学前，教师可结合已学的古典概型的相关知识，通过对其特点的总结，明确其与几何概型的区别与联系。在讲解过程中，教师可引入截竹竿（准备一根长度固定的竹竿，随机截取，试求截出的两段长度不小于竹竿长度1/3的概率）;取水（已知容量为1升的水杯中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取0.1升的水，求小杯水中含有这个细菌的概率）等问题，并通过动画演示，辅助学生思考，培养其从特殊到一般的认知方法，进一步感受数学建模思想的应用。

2. 在习题讲授环节中渗透建模思想

深度学习视角下，习题讲授既是促进学生知识深化、能力提升的关键环节，也是培育数学建模素养的摇篮。在实际教学中，教师要精选典型例题，提高学生数学建模能力。

对此，教师可引入2021年新高考Ⅰ卷的16题：某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸张的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次一共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次一共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推。则对折4次一共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次，那么∑nk=1Sk=dm2。

引导学生：（1）找出重要变量及其关系：长方形的长与宽，面积=长×宽;

（2）将实际问题转化成数学问题：

设长方形纸的规格xdm，ydm对应点（xn，yn），其中x0=20，y0=12。

起始状态，P（20，12）;对折1次，P1（10，12），P1（20，6）;对折2次，P2（5，12），P2（10，6），P2（20，3）;对折3次，P3（2.5，12），P3（5，6），P3（10，3），P3（20，1.5）。

（3）问题情境模型化：每对折一次，可以得到不同规格图形的种数比上一类多一种;设对折k次共可以得到不同规格图形的种数为ak，它们的面积之和为Sk，则得到数列{ak}与{Sk}。

（4）解决问题并加以抽象概括：ak+1=ak+1，{ak}是公差为1的等差数列，因为a0=1，所以ak=k+1，继而利用数列知识求出∑nk=1Sk=2403-n+32n。

这样，学生通过例题学习，经历了“实际问题通过直观想象、数学抽象找出变量，应用数学建模、数据分析转化为数学问题，再经过数学运算、逻辑推理求解问题”的过程，让学生深入思考问题的本质，并在逐步探究过程中提升数学建模能力。

3. 在综合复习环节中渗透建模思想

综合复习环节是学生知识深化、能力提升的重要阶段，教师不仅要对学生整体知识框架进行梳理，而且还要做到查缺补漏，以此保证学生学习效率。

为此，针对复习课的特点，教师可设计以下例题：

小张想用一笔钱投资，现有以下三种方案，

方案一：每天回报20元;

方案二：第一天回报5元，以后每天比前一天多回報5元;

方案三：第一天回报0.4元，以后每一天的回报比前一天翻一倍。

试问，哪种方案利益更大？

讲解过程中，教师要注重问题、情境的引导，鼓励学生利用已学的函数知识进行思考。比如有的学生假设第x天所得回报是y元，整理出三个方案对应的函数关系：

方案一：y=20（x∈N）;

方案二：y=5x（x∈N）;

方案三：y=0.4×2x-1（x∈N）。

教师可借助互联网技术，将学生的函数图像具象化，辅助学生进行模型分析，如下图。

通过图像的观察与数据的计算，学生得出：短期投资（投资天数（x）<7）可以选择方案一;投资天数在7～9时选择方案二;投资天数大于10时选择方案三。这样一来，在函数模型的帮助下，学生既复习了以前的知识，又巩固了自身数学建模能力，而且在对问题分析过程中，学生逐渐掌握了问题分析的流程，实现深度思考的同时，促进了他们数学思维的跃迁与内化。

（三）结合教材进行渗透教学

深度学习视角下，教师要注重教材知识的挖掘，通过对例题的综合分析，提取有效信息，建立相应的数学模型，进一步提升教学成效。

以均值不等式一课为例，教师可引入教材例题：如某同学购买某一物品，购买方式有两种，第一种方式不考虑物品在某一时间段价格变化的影响，且购买定量的物品。第二种情况为支出金额固定，这一期间物品价格可能出现轻微变化。如果两次购买过程中，物品单价均不同，那么哪种购买方式更为划算？

在讲解这类题型前，教师可按照异质成组原则，将学生分成多个小组，并鼓励他们自行探讨、分析例题，把握关键信息。同时，教师可准备不同的数学模型，鼓励学生进行假设推导，并列出具体算式进行说明。比如，有的小组围绕第一种策略，将平均价格作为经济对比，将第一次购物时价格设为p，购物量为m，第二次购物时价格为q，购物量仍为m，根据题意可知：

pm+qm2m=p+q2

有的小组以第二种策略为主，将第一次花n元钱，能够买np个物品，第二次仍花n元钱，

2nnp+nq=21p+1q

之后各小组根据本组自述内容，通过作差法进行经济比较，得出了相关结论：一般情况下，在不考虑物品价格升降的情况下，如果是n次购买同一种物品，每次购买这种物品所花的钱数一定比较经济。

这样，通过不等式模型的建立，学生既深化了已学知识，又能明确数学知识在日常生活中的重要作用。同时，从实际问题中抽象出数学问题，能够进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，使其积极参与，自主思考，促进自身数学建模能力的综合提升。

七、 结语

总之，当今教育背景下，高中数学教师应重新审视教学工作的出发点与落脚点，明确数学建模能力对学生数学思维、核心素养培养的重要价值。同时，在日后教学工作中，教师也要遵循教育规律，立足学生发展实际，以思维养成为根本，丰富教学形态，优化教学手段，重燃学生数学学习热情的同时，使其具备问题分析、模型建立、方法探究的基本学习思维，提高教学工作的深度与广度，促进学生能力、素养的相互渗透与相互转化。

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课题项目：文章系福建省教育科学“十三五”规划2020年度教育教学改革专项课题“指向深度学习的高中数学建模教学实践研究”（立项批准号：Fjjgzx20-055）的研究成果。

作者简介：陶文平（1971～），男，汉族，福建福鼎人，福建省福州第二中学，研究方向：高中数学教学。