正常固结饱和黏性土的三剪次加载面模型

蔡晓锋，李春博，路祥，胡小荣

(南昌大学工程建设学院，江西 南昌 330031)

饱和黏性土在循环荷载作用下都会产生塑性变形[1]，为此，许多学者都提出了与之相应的弹塑性本构模型，如多面模型[2]、两面模型[3]、边界面模型[4]和次加载模型[5]等。其中，多面模型不能很好地反映棘轮效应(塑性应变的累积特性)；两面模型不能体现曼辛效应(滞回特性)且所预测的棘轮效应过大；边界面模型则需要判断应力是否位于当前屈服面上，塑性模量只能通过插值法确定，且没有对应的显式屈服面[6]。Hashiguchi等[7-10]在金属材料次加载面模型的基础上，又提出了适用于土体的次加载面模型。由于模型能够很好地满足土体在循环荷载作用下所具有的变形非线性和光滑特性，还能较好地反映曼辛效应和棘轮效应，目前已得到一定应用[11-18]。其中，Zhou等[16]在次加载面模型和修正Druker-Prager屈服准则的基础上提出了于岩石的动本构模型，但该准则不能反映岩土的拉压差效应；孔亮等[17]基于广义塑性力学，将双屈服面模型和次加载面理论结合提出了适用于土体的动本构模型，但无法很好地反映土体的多样性；Xu等[18]采用反向的子弹状屈服面，提出了适用于循环加载下的砂土次加载面模型，因仍沿用修正剑桥模型的破坏应力比，故不能考虑中间主应力影响。研究者多是通过p′-q平面上的临界状态椭圆形屈服面方程来建立土体的本构模型，而破坏应力比M作为关键参数，一般是通过土的强度准则来确定。目前，针对土体的强度准则有Druker-Prager准则、Mohr-Coulomb准则、Lade准则、SMP准则、双剪统一屈服准则和临界状态椭圆屈服准则等。这些准则各有各的不足，例如Mohr-Coulomb准则不能反映中间主应力效应，Lade准则不能反映土体拉压差效应。现有真三轴试验表明，饱和黏性土的力学特性在很大程度上取决于中间主应力[19]。而三剪统一强度准则可体现土体强度的区间效应、拉压差效应和中间主应力效应[20-21]，并且通过改变中主应力影响系数可对其他任何准则作非线性逼近。三剪统一强度准则已被应用于分析单调加载作用下的不同土体的力学特性分析[22-24]，还与边界面模型理论相结合应用于单调、循环荷载力学特性分析[25-26]。

本文采用三剪统一强度准则和坐标平移法推导出了能够反映饱和黏性土的中间主应力效应、拉压差效应和区间效应的三剪破坏应力比，并通过替换修正剑桥模型的原本破坏应力比得到正常固结饱和黏性土的三剪统一弹塑性本构模型，结合次加载面理论，得到适用于分析循环荷载条件下的正常固结饱和黏性土力学特性的三剪次加载面本构模型。对本文模型的3个材料参数进行敏感性分析。将饱和Kaolin黏性土和Newfield 黏性土的固结不排水动三轴试验结果、饱和Kaolin黏性土的双面模型计算结果与本文模型的数值模拟结果分别做了对比，验证所提三剪次加载面模型的适用性，并对所建立的本构模型做了真三轴模拟对比分析。

1 三剪次加载面模型

1.1 三剪破坏应力比

三剪统一强度准则[20-21]为

(1)

q=Ap′sinφ′+Ac′cosφ′

(2)

其中，

修正剑桥模型的M为定值，在受力过程中不能很好地反映黏聚力对饱和黏性土的变形特性、中间主应力效应、应力区间效应和拉压差效应，故采用三剪统一强度极限线和坐标平移法来确定破坏应力比。坐标平移法如图1所示。

图1 坐标平移及其破坏应力比Fig.1 Stress ratio of coordinate translation and extension failure

(3)

三剪破坏应力比为

(4)

坐标平移前后压缩指数分别为

则有

即p′取何值，均有

(5)

其中

(6)

1.2 三剪次加载面模型各面方程

次加载面模型涉及3个重要的面：正常屈服面、次加载面(次屈服面)和相似中心面，当前应力点σ总是位于次加载面上，且在演化过程中次加载面与正常屈服面保持相似构型，两者具有一个相似中心S，该相似中心总是位于正常屈服面内侧。

1.2.1 三剪正常屈服面方程

正常屈服面方程

f(σy)=F(H)

(7)

式中：σy为当前应力状态σ在正常屈服面上的对偶应力；H为各向同性硬化变量；F为加载屈服面；f(σy)为屈服函数。根据临界状态土力学，正常固结饱和黏性土的正常屈服面方程f(σy)为

(8)

(9)

1.2.2 三剪次加载面方程

由于次加载面和正常屈服面保持几何相似，故次加载面表达式为

(10)

(11)

1.2.3 三剪相似中心面方程及相似中心演化

相似中心面方程为[7]

(12)

(13)

并结合三剪屈服面函数，可得相似中心的演化方程为

(14)

式中：C为次加载面的材料常数，且C≥0；χ为次加载面的材料常数，且0≤χ<1，且为相似中心比RS的最大值；dεp为塑性应变增量。

1.3 模型加卸载准则及相似比R的确定

按照是否发生塑性变形，次加载面模型的加卸载准则[27]如下。

(1)加载(dεp≠0)：

(15)

此时，次加载面在加载过程中不断接近正常屈服面，相似比R也随之增大，根据R应满足如下条件[27]

(16)

采用Hashiguchi等[7-8]提出的相似比演化方程

dR=U‖dεp‖=-ulnR‖dεp‖

(17)

式中：U为关于R的函数；u为次加载面的材料常数。

(2)卸载(dεp=0)：

(18)

此时，次加载面变小，只产生弹性变形，相似比R也随之减小。相似比R由三剪次加载面函数并采用Newton-Raphson法确定。三剪次加载面几何中心表达式为

(19)

将式(35)代入式(12)，可得

(20)

其中，

1.4 弹塑性刚度矩阵

(21)

式(10)和式(21)可进一步推得

(22)

由式(10)和一致性条件可得

(23)

其中，

将式(22)代入到式(23)，并根据一致性条件可得

(24)

(25)

由弹塑性应变的定义有

{dε}={dεe}+{dεp}

(26)

两边同乘以弹性模量[De]{dε}=[De]{dεe}+[De]{dεp}则有

[De]{dε}=[De]{dεe}+[De]{dεp}

(27)

由虎克定律得

{dσ′}=[De]{dεe}

(28)

由塑性位势理论得

(29)

式中：Λ为非负塑性因子。将式(26)和式(29)代入式(28)得

(30)

对屈服函数求微分得

(31)

将式(30)代入式(31)得

(32)

将式(32)代入式(30)，得矩阵形式表示的弹塑性本构关系式为

(33)

式中：Kp为塑性模量。弹塑性刚度矩阵为

(34)

2 模型参数的确定及其影响

正常固结饱和黏性土的三剪次加载面本构模型共有9个模型参数：E，ν，c′，φ′，θ，b，u，C，χ。前6个参数同时决定了正常屈服面、次加载面和相似中心面的大小和位置变化，控制着模型预测结果的基本走向。后3个参数则是通过控制次加载面和相似中心面的演化速度来描述加卸载过程中的滞回圈大小以及累计塑性应变。其中，传统屈服面的本构模型参数可由常规三轴试验获得，b值可根据中间主应力的影响程度进行确定。次加载面则有u，C，χ3个特有本构模型参数，u是控制次加载面向正常屈服面贴近的速率参数，可由中等变形速率的应力-应变曲线的斜率初步确定，并加以修正。C的大小则影响着滞回曲线的宽度，也控制着曼辛系数的大小。χ是最大相似中心面与正常屈服面的比值，其值不超过1。从增量方程的本质可知各参数间存在一定耦合关系，因此，针对试验结果可选择采用试错法初步确定，再进行调整，直至能合理地拟合土体的应力应变关系。考虑到目前针对正常固结饱和黏性土的次加载面模型理论成果较少，故有必要针对次加载面模型的3个特有参数作进一步分析。

采用Li等[28]所使用的饱和Kaolin黏土土性参数，分别改变次加载面的特有参数u，C，χ值，其原始值分别设为500，100，1。以此来讨论3个模型材料常数对应力应变关系曲线的影响，结果如图2所示。

由图2(a)可知，参数u与饱和黏性土的塑性模量有关，u值越大，塑性模量也随之增大，但u值接近于无穷大时，塑性模量与弹性模量相当，即该模型与传统的弹塑性模量一致；相反，u值越小，塑性模量则越小，产生的累积塑性应变也越大，滞回圈的大小也相应地增大。由图2(b)可知，参数C对塑性模量的影响与u相似，但对于累积塑性应变、滞回圈大小相比于u的影响要小一些。由图2(c)可知，参数χ对饱和黏性土的应力应变关系曲线影响较小，其值越大，对应的累计塑性应变也相对较大一些。

3 动三轴文献试验验证

Li等[28]建立了循环荷载作用下的饱和黏性土两面模型，并做了饱和Kaolin黏土在围压p=450 kPa、动应力幅值qd=116 kPa的常规动三轴固结排水试验验证。为验证所提本构模型的正确性，采用其所得试验结果、双面模型模拟结果与本文模型模拟结果进行对比。对于次加载面模型的3个参数采用试错法，首先根据试验结果的应力-应变关系曲线的斜率初步确定u为300，再对C进行调整，得到拟合较好的应力-应变曲线位置，通过拟合发现C为370时拟合效果较好。通过敏感性分析发现χ的大小关系对循环荷载下的应力应变关系影响并不明显，考虑到相似中心面在实际试验中相比正常屈服面偏小，故设为0.9。对比结果如图3所示。

εq(a) 参数u影响分析

εq(b) 参数C影响分析

εq(c) 参数χ影响分析图2 次加载面模型参数分析Fig.2 Parameter analysis of subloading surface model

由图3(a)可知，本文所提模型的应力应变关系模拟结果与试验结果吻合较好，随着循环次数的不断增加，所建模型的模拟结果不断产生累计塑性应变，且能够形成滞回圈，与双面模型模拟结果相比更接近试验结果。由图3(b)可知，在刚开始循环时模拟结果的孔隙水压力相对试验结果偏小，但随着循环次数的增加，试验结果与模型模拟结果越来越接近，随着循环次数的增加，孔隙水压力不断变大，产生累计孔隙水压力。表明三剪次加载面模型相较于双面模型能更好地预测试验结果，进一步说明了本文模型的优势所在。

εq(a) q-εq

N(b) u-N图3 试验数据、双面模型与本文模型模拟结果对比Fig.3 Experimental data are compared with the simulation results of the model

采用Sangrey等[29]所做的Newfield黏土固结不排水动三轴试验结果与本文所提本构模型进行对比，试验土样孔隙比e0= 0.62，围压p=393 kPa，动应力幅值qd=180 kPa。同理模型参数u，C，χ分别取为80，120，0.9。对比结果如图4所示。

由图4(a)可知，模型模拟结果在初始加载阶段相对试验结果偏大，但随着后续的不断加载卸载，其累积偏应变与剪应力的关系不断接近试验结果，且滞回圈不断变密集，说明本文所提模型能较好地反映饱和黏性土的曼辛效应、棘轮效应以及应力应变曲线的非线性的特点。由图4(b)可知，在刚开始循环时模拟结果的孔隙水压力相对试验结果偏小，但随着循环次数的增加，两者越来越接近。

4 动真三轴试验模拟

在真三轴压缩条件下，研究饱和黏性土的力学特性，除了可进行真三轴试验外，将被常规三轴试验验证了的本构模型应用于真三轴数值模拟及其影响因素分析也是可行的。模拟应力路径为：(1)固结排水条件下对六面体单元的3个方向同时施加σ3′；(2)固结完成后一个σ3′保持不变，其余方向应力增至σ2′，固结排水；(3)取一个σ2′不变，另一方向应力逐渐增加到σ1′，固结不排水。以振动幅度qd进行循环加卸载模拟。

εq(a) q-εq

εq(b) u-εq图4 试验数据与模型模拟结果对比Fig.4 Experimental data are compared with the simulation results of the model

真三轴循环加载模拟试验取用Li等[28]饱和Kaolin黏性土的土性参数，中间主应力影响系数b=0.5，为便于对比，次加载面理论的特有参数u，C，χ保持不变，即分别为300，0.9，370。真三轴循环加载模拟试验方案见表1。

表1 真三轴循环加载模拟试验方案Tab.1 True triaxial cyclic loading simulation test scheme

根据实验方案进行模拟实验，在单一变量下，考察改变最小主应力、中间主应力，分别会对土体产生何种影响。模拟数值结果如图5和图6所示。

εq(a) (σ1-σ2)-εq

N(b) u-N图5 中间主应力影响Fig.5 Effect of intermediate principal stress

εq(a) (σ1-σ2)-εq

N(b) u-N图6 最小主应力影响Fig.6 Influence of minimum principal stress

由图5和图6可知，正常固结饱和黏性土的塑性偏应变在加载前期发展较快，之后相对减小；单一变量下，分别增大最小主应力和中间主应力，均会增大土体的抗剪强度。局限于模型参数可能并不准确，且由于未调整次加载面参数，所以其滞回圈模拟并不理想。另外，限于试验条件，真三轴条件下的次加载面模型参数的试验研究还需作进一步努力。

5 结论

将三剪破坏应力比替换修正剑桥模型的破坏应力比，从而得到三剪统一弹塑性本构模型。结合次加载面理论，得到适用循环荷载条件下的三剪次加载面模型，对比分析了次加载面的3个模型参数，做了饱和Kaolin黏土和Newfield 黏土的固结不排水动三轴文献试验验证，采用饱和Kaolin黏土进行循环真三轴数值模拟。结果如下：

(1) 所提出的三剪破坏应力比有效克服了原修正剑桥模型中破坏应力比为定值的不足，还能反映饱和黏性土黏聚力与全应力状态下土体的应力应变特性的影响。

(2) 所建立的三剪次加载面模型均能较好反映饱和黏性土的中间主应力效应、拉压差效应和区间效应，可用于饱和黏性土在单调和循环荷载作用下的弹塑性分析。

(3) 以饱和Kaolin黏性土为试验研究对象进行次加载面特有参数影响分析，结果表明模型参数χ基本上不影响饱和黏性土应力应变的加载斜率，只是轻微影响滞回圈的大小及累积塑性应变；参数C影响着饱和黏性土的塑性模量，C值越大，塑性模量越大，但C值接近于无穷大时，该模型与传统的弹塑性模量一致；参数u对塑性模量的影响与参数C类似，只是u的影响比C的影响要大。

(4) 采用饱和Kaolin黏土、双面模型模拟结果和Newfield 黏土固结不排水动三轴试验分别与所建模型进行比较，结果表明本文模型在循环荷载下有较好的预测能力，与文献[28]的双面模型模拟结果相比更接近真实试验数据。随着循环次数的不断增加，所建模型的模拟结果能不断产生累计塑性应变和累积孔隙水压力，且能够形成滞回圈。

(5) 对饱和Kaolin黏土进行循环荷载下真三轴模拟试验验证，结果表明最小主应力或中间主应力均与土体的抗剪强度呈正相关关系。但是孔隙水压力随着最小主应力或中间主应力的增加而减小。