基于Copula理论的成都各区房屋价格关联分析

(四川大学，四川 成都 610065)

1 引言

一个区域房价的暴涨或暴跌，往往会呈现星星之火可以燎原的势态向周边区域波及，进而可能引发全局性的房价同步调涨跌。若无法宏观把控这种房价运动的规律和溢出效应，即使某个区域房价已发出明显的涨跌信号，仍无法将信息效益最大化，难以预判即将到来的房价的整体性震荡趋势。此外，基于我国土地财政目前高杠杆、高负债的特点，将房价区域关联规律边缘化会加剧地方财政收入、银行贷款投放以及居民偿债能力中潜在的风险，甚至会构成严重的系统性风险和社会性危害。“十三五”规划布局也明确指出政府部门对于房价的干预和调控需要特别考虑房价的区域关联和溢出效应。因此，发掘各个区域房地产价格变化的内在关联规律尤为重要，这样才能更好地预估房价变化，对老百姓消费与投资进行引导。

对于房价联动关系和Copula理论，研究者已经留下了大量的学术成果，具有丰富的研究价值，下面将综述国内外学者有关房价变化的研究及Copula理论的发展情况。

1.1 国外的研究近况

Meen最早提出了“波纹效应”，认为一个区域房价的波动会在空间上扩散传导到周围区域，引起周边房价的波动。Holmes使用时间序列和截面两个维度的样本数据进行单位根检验，结果表明在“波纹效应”下，从长期来看各地区的房价将逐渐收敛。纵观Copula理论的发展，著名的Sklar引理为日后连接函数理论打下了理论根基。Deheuvels给出了查验不同Copula模型拟合优度的标尺。Rodriguez指出房价在急剧上升或下降时对周围地区的影响较大，此时相关性较显著。Zimmer使用Clayton-Gumbel Copula发现美国四个州房价的上尾相关性比下尾相关性更强。

1.2 国内的研究近况

中国房地产与发达国家相比起步较晚，对房价的研究更多局限于单一区域。梁云芳、高铁梅研究发现我国房价波动强度存在区域性差异，或许有从东部传播到中西部的“波纹效应”。余华义和黄燕芬分析了我国不同城市房价溢出效应的强度，GVAR模型的结果表明一线城市最强、东部地区减弱、西部地区最弱。张衔、林仁达使用向量误差分析模型发现我国房价存在短期“波纹效应”，表现为依赖型和独立型。

2 Copula相关理论原理

2.1 Copula函数的定义

N

元Copula函数是具有以下性质的函数

C

(

u

,

u

,…,

u

):自变量取值范围是[0,1]；

C

(

u

,

u

,…,

u

)有零基面，且为

N

维增函数；

C

(

u

,

u

,…,

u

)有边缘分布函数

C

(

u

)，(

i

=1,2,…，

N

)，并且有

C

(

u

)=

C

(1,…,1,

u

,1,…,1)=

u

，其中，

u

∈[0,1]，

i

∈(1,2,…,

N

)。Copula理论的核心结论是Sklar引理，它揭示了Copula理论的基本原理：令

F

(

x

,

x

,…,

x

)是

N

元联合分布函数，对应的边缘分布为

F

(

x

),…,

F

(

x

)，则存在一个Copula函数

C

(

u

,

u

,…,

u

)，满足：

F

(

x

,

x

,…,

x

)=

C

[

F

(

x

),

F

(

x

),…,

F

(

x

)]

(1)

特别地，边缘分布的连续性可以保证Copula函数的唯一性；相反，给定N个边缘分布函数和一个Copula函数，则由式(1)可以确定一个N元联合分布函数。该定理指明Copula函数决定了由边缘分布到联合分布以及由联合分布到边缘分布的转换桥梁。联合分布函数的拆解是随机性和耦合性的剥离，随机性由对应的边缘分布刻画，耦合性则由Copula函数来描述，不同的耦合方式对应不同的联合分布，但这种耦合并不会改变耦合体与边缘分布之间的对应关系，对联合分布函数的求解可以转化为求Copula函数。基于此双向粘合的性质，Copula函数又被称作连接函数。

2.2 常用的Copula函数

2.2.1 正态Copula函数

N

元正态(或高斯Gauss)Copula分布函数表达式是：

C

(

u

,

u

,…,

u

;

ρ

)=

φ

(

φ

(

u

),

φ

(

u

),…,

φ

(

u

))

(2)

式中，

ρ

是

N

阶对称正定矩阵，

φ

为

N

元标准正态分布的分布函数，且对应的

N

维随机变量的相关系数矩阵为

ρ

，它的对角元都为1，其他元素是不同变量间的协方差，

φ

表示一元标准正态分布函数的逆函数。

2.2.2 t-Copula函数

N

元t-Copula分布函数是：

(3)

式中，

t

,为协方差矩阵是

ρ

、自由度是

k

的

N

元标准

t

分布的分布函数，表示自由度为

k

的

t

分布的分布函数的逆函数。对于二元情形，自由度为

k

的二元

t

-Copula分布函数可以写作：

(4)

2.2.3 阿基米德Copula函数

阿基米德Copula函数是由其生成元唯一确定，可以分为对称型和非对称型，常见的二元Copula函数有Gumbel Copula函数、Clayton Copula函数、Frank Copula函数，都为对称型，非对称型更适用于三维以上变量间的耦合。二元情况下，Copula分布函数的参数只有一个：

Gumbel Copula：

C

(

u

,

v

;

α

)=

(5)

(6)

Frank Copula：

C

(

u

,

v

;

λ

)=

(7)

3 实证研究

将成都市成华区、武侯区、青羊区和锦江区四个区域2016—2020年的月度房价平均增长率，作为房价的代理变量，研究房价增速的相关程度，每个区域的有效样本数据为60个，其时间跨度和样本量足以保证研究的有效性。

3.1 边缘分布的建立

常用的正态检验方法都存在不同的瑕疵，本节综合运用Jarque-Bera检验、Kolmogorov检验和Lilliefors检验三种方法对变量的正态性加以验证。

在常用的刻画变量分布的方法中，有参数法和非参数法，运用参数法的前提是假定变量服从某已知分布，采用样本观测值来估计分布中的参数；但如果变量呈现尖峰、厚尾等非正态特征，就无法预判其分布形式，对于这种情况应使用非参数法。

3.1.1 正态性检验

Jarque-Bera法是以建立的统计量所呈现的观测值大小为标准来做出是否拒绝变量服从正态分布原假设的决定。因为正态分布的偏度为0，峰度为3，若样本服从正态分布，则样本偏度和峰度也应分别接近0和3。

Kolmogorov-Smirnov检验的核心是判断样本变量的分布是否与一个已知分布相同，原假设为分布相同。采用方法是判断样本变量的经验分布函数与已知分布函数的距离大小，距离越大，认为两分布相差越远，当超过给定的阈值时，拒绝原假设。

Lilliefors检验是对KS检验的发展和修正，根据观测值来估计变量的均值和方差，算出分布函数和经验分布函数的最大差值，而对于差值是否足够大的评估，这一过程比KS检验更加复杂。

根据检验结果，这三个区房价增速序列非正态，因此使用非参数法求解其分布。

3.1.2 非参数法求解边缘分布

非参数法核密度估计法的核心原理是对于任意一点

x

处的密度函数估计值的大小与该点邻域内样本点的稠密程度有关，分布越密集，该点的密度函数估计值越高，并按照样本点与

x

的距离大小分配权重，权重函数为

K

(

x

,

x

)，即核函数。核函数可以有各样的形式，但共同点是一定为某个分布的密度函数，取不同的核函数对最终结果影响差异性不大。

3.2 二元Copula函数的估计

得到了边缘分布之后，对于相关性的探究就转化为Copula函数的估计，它体现着这些边缘分布之间的相依结构，加之它对于边缘分布没有特殊要求，在揭示尾部相关上有良好的性质，对房价之间的关联有精准的刻画。

若两区域的房价增速在较大值和较小值处分布相对对称，则可以选用具有对称厚尾的

t

-Copula来描述其相关结构，而 Frank Copula、Gauss Copula尾部渐进独立，无法捕捉尾部相关，对于重视尾部风险的房价相关性来说不是很好的选择；若尾部不对称，则选用阿基米德人工合成的Copula模型，比如 Clayton Copula对下尾相关更敏感而上尾独立， Gumbel Copula对边缘分布的上尾粘合效果更好但无法描述下尾相关性。

此处采用的拟合手段是调用copulafit函数计算相应Copula函数的参数。

3.3 模型评价

至此，得到了区域之间房价的Copula函数的参数，对于最优Copula函数的选取，评价依据是：所求的Copula函数与样本经验Copula函数偏差越小，则认为拟合效果更佳。使用样本数据拟合对应的样本经验Copula函数

C

(

u

,

v

)，在多维空间中分别比较样本经验函数与这五种Copula函数的综合距离的平方：

(8)

可以得出成华青羊、成华锦江、武侯锦江选取Gumbel Copula，成华武侯、青羊武侯、青羊锦江选用

t

-Copula，

t

-Copula与Gumbel Copula的密度函数通式分别见式(4)和式(5)，相应参数见表1。

成华青羊成华武侯成华锦江青羊武侯青羊锦江武侯锦江tρ0.81640.70070.7336k2.02611.00001.3652Gumbel3.04432.38912.2087

3.4 模型结论和购房建议

3.4.1 模型结论

根据计算结果发现，四个区域房价整体上存在较高的上尾部相关，即当出现或严重通货膨胀等极端状况时，房价往往表现出同涨同跌的趋势。成华武侯、青羊武侯、青羊锦江尾部结构是对称的，成华与青羊、成华与锦江、青羊与锦江之间，房价同时上升时两者同向运动的态势要强于房价同时下降时两者同向运动的态势。但除去极端情况后，一般情况下房价间的非线性相关结构格外复杂，并无固定规律可循，宏观政策的调控可能对彼此产生正向影响或负向影响。作为成都市的主城区，由于经济联系紧密，整体房价涨跌联系也是十分密切的。由于成都向东向南的发展趋势，尽管这四个区都地处“中优”，但相较青羊区，剩下三区会更加被发展大潮流带动，因此，未来这三个区域房价的联系可能会更加密切。

但成都主城区的这种完善和成熟，也导致当地房地产行业趋于饱和，规模效应大不如周边的发展中区域，房子的增值空间更易被压缩。而在不成熟的区域，如果规划政策足够优质，房价涨幅可能会较大，甚至成为领涨区；但对于这些成熟区域而言，难有大的规划利好刺激，也不太会出现领涨的区域。

3.4.2 购房建议

在房住不炒的背景下，现阶段成都的楼市一般来说不会出现某个区域房价大幅度上涨的情况，只要有异常高涨的苗头，就逃不脱当地调控政策的精准打击。因此在选择这四个区域购房时，没有所谓的方向论，不存在不能买的区域，只存在不能买的价格。对区域的选择，购房者要根据自身的不同需求做出具体选择；对楼市的判断，则要细分到板块、精确到小区甚至是楼层户型。不同区域的每个方向，都有值得购买的小区，同样也有不划算的房源，因为每个小区在所处板块的定位不同，具体情况不同，其增值潜力上的情况也大不相同。