基于异质预期的量子伯川德博弈复杂动力机制分析
2022-07-15张新立田英楠王嘉琪
张新立, 田英楠, 王嘉琪
(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 116029)
0 引言
量子博弈论是以量子信息论为主要工具研究博弈论的一门新兴交叉学科[1]。该理论兴起于上世纪末期[2,3]，此后得到了迅速发展。这是因为量子博弈能为合作行为、消除困境、改变纳什均衡策略等提供了一种新方法，并被成功运用到经济学[4]、信息科学[5]、系统决策[6]等领域。我们知道，寡头垄断已成为现实经济领域普遍存在的一种市场形态，古诺与伯川德寡头则是市场上最为基本的两种模型。Li等[7]最先用量子博弈论成功解决了连续性变量的古诺双寡头垄断模型的悖论问题，后续学者根据其研究思路对不同寡头模型进行了分析研究。譬如，Khan与Ramzan[8]分析了当纠缠度最大时，量子伯川德模型有唯一纳什均衡，且利润达到最大；Sun等[9]研究了多人量子伯川德博弈问题，发现纠缠度越大利润就越髙；Frackiewicz和Sadkowski[10]用两种量子化方法探讨了伯川德模型的均衡解。
在现实经济中，由于企业采取完全理性行为是很难实现的，很多学者又从放松理性假设角度对伯川德模型进行了分析研究。常见理性行为假设主要有：基本有限理性行为、适应性有限理性行为、天真预期行为[11]及延迟有限理性行为[12]等。Ma与Si[13]对延迟有限理性行为的伯川德模型进行了研究，分析了影响动力机制因素；Iskhakov等[14]对生产成本降低的伯川德模型的动态性进行了分析；Demuynck等[15]对非对称边际成本的同质伯川德模型的纳什均衡点的稳定性进行了研究；Sarafopoulos和Papadopoulos[16]对非线性成本函数的古诺伯川德混合模型均衡点的稳定性进行了研究。
通过对上述文献梳理不难发现还存在以下不足。一方面，上述文献虽利用量子博弈理论对伯川德寡头博弈模型进行了分析，但是建立在完全理性假设基础之上的，对模型进行都是静态分析。我们知道，由于人们认知的局限，参与人不可能做出完全理性决策，而必须考虑决策可能会受到很多暂时性的非理性因素的干扰，这种暂时性的干扰可能会破坏其他参与人对该参与人的理性预期，参与人在现实中一般都无法满足完全理性的要求。另一方面，在已有上述非线性经典伯川德动态博弈研究文献中，虽然放松了参与人的完全理性假设，从参与人不同有限理性视角对经典模型进行了动态分析，但却存在着均衡解不稳定性问题，均衡解的稳定性问题仍然是亟待解决的主要问题，而量子博弈可以为解决此问题提供一个有效思路。因为在量子博弈中，量子纠缠是量子博弈论中理性选择基础，它的大小直接决定着博弈参与人的理性程度，它蕴含着经典博弈描述所无法满足的信息。鉴于此，本文在现有文献研究基础上，把量子博弈与非线性动力系统理论有效地结合起来，利用量子博弈理论，构建了一个基于异质预期的量子伯川德博弈模型，分析该系统均衡解的稳定性及动态复杂性，并进一步讨论了量子纠缠对其造成的影响，为控制该系统出现混沌现象提供一个有效的方法。
1 量子伯川德寡头博弈模型
设两寡头企业共同控制着某一产品市场，产品具有同质性与替代性，产品的市场价格由逆需求函数qi=a-bpi+dpj,i,j=1,2,i≠j,确定。其中pi(i=1,2)表示产品价格，qi代表产量，a表示产品在市场上最高产量，0
Ui(p1,p2)=qi(pi-c)
=(a-bpi+dpj)(pi-c),i,j=1,2,i≠j
(1)
易得，两企业的最优纳什均衡价格为
(2)
(3)
代入(1)式，得到两企业的量子利润为
(4)
于是两企业的边际利润为
(5)
求解可得到量子纳什均衡为
(6)
2 异质预期的量子伯川德博弈动态模型及均衡解分析
由于寡头垄断市场信息不完全性，每个企业掌握市场信息并不充分，只可能做出有限理性决策。不失一般性，假设第一个企业是有限理性的，即利用边际利润与本期价格来调整下一期的价格。当本期边际利润为正(负)数时，它将在下一期提高(降低)价格以获得更高利润，其价格决策模型可表示为
(7)
其中α>0，表示价格调整速度。
第二个企业具有天真预期，根据自身边际利润反应函数进行价格决策，即其下期价格是基于本期对其他企业价格最优反应，其在时期t+1的价格决策模型为
(8)
于是两寡头根据不同理性决策行为，形成价格博弈二维离散复杂动态系统为
(9)
我们可以通过求解动态系统(9)相对应的非线性代数系统求其量子均衡解，在均衡点处xi(t+1)=xi(t)=xi，可得到复杂动态系统(9)的代数系统为
(10)
为使量子均衡点有经济意义，参数应满足如下条件
(12)
为研究量子均衡点的局部稳定性，我们首先求出动态系统(9)的雅克比矩阵，即
其中
根据系统均衡点的稳定性条件，当且仅当对应雅克比矩阵的所有特征值|λi|<1，i=1,2时，均衡点才是稳定的。对于量子均衡点E1，有下述结论成立：
定理1量子边界均衡点E1是不稳定的。
也就是说，不管市场上产品的最高产量a，需求对自身价格弹性b，两企业产品相互替代率d，边际成本c及量子纠缠度γ如何变化，量子边界均衡点E1都是不稳定的。
对量子纳什均衡点E2，其局部稳定性有下述结论成立。
定理2量子纳什均衡点E2是局部稳定的充要条件是
显然，此结论给出了量子纳什均衡点E2的一个稳定区域，E2在定理2描述的区域内是稳定的。如果价格调整速度α的取值范围超出了这个区域，E2将变得不稳定，导致系统出现分岔混沌现象。
3 数值模拟分析
由于量子伯川德博弈离散动态系统的两企业都是基于有限理性而做出的决策，两企业的产品价格博弈不可能瞬时就能达到量子纳什均衡状态，而是需要进行反复博弈，最终才能达到量子均衡状态。因此，对于离散动态系统的动力学行为往往需要通过数值模拟方式来直观地解释。本节将通过数值模拟来展示价格调整速度与纠缠度等参变量对系统稳定性及动态行为的影响。为了实现这一目标，用到的方法有单参数分叉图、最大李雅普诺夫指数、奇怪吸引子、初始条件敏感性及分形维数等。在使用Matlab 2018.b作为数值模拟工具编程中取两企业的初始价格为x1(0)=x2(0)=6.0，在满足式(12)条件下给出系统其他参数赋值分别为a=10，c=3，b=0.8，d=0,1。
3.1 分岔与混沌分析
图1是当纠缠度分别选取γ=0.0，0.4时，两企业价格关于价格调整速度的动态演化图。当γ=0.0时，α满足0≤α≤0.1376时，量子均衡点E2(8.857,8.857)是局部稳定的，当α>0.1376时系统出现倍周期分岔，当α>0.1794时出现混沌行为。γ=0.4时，也有相似的结论。由图1不难看出，随着纠缠度的增大，价格调整速度对市场价格的灵敏度影响就越小，系统(9)的稳定性就越高，出现分岔与混沌的可能性就越低，但两企业的量子纳什均衡价格却下降了。
李雅普诺夫指数是系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率，是衡量系统是否存在混沌的一个重要指标。系统是否存在混沌现象，可以从最大李雅普诺夫指数是否大于零非常直观地判断出来。图2表示的是与图1相对应的最大李雅普诺夫指数。容易看出，最大李雅普诺夫指数大于0与纠缠度呈现明显的正相关性。因此，纠缠度能增强系统(9)的稳定性，可以有效地控制系统分岔与混沌的出现，与延迟反馈控制法有异曲同工之妙。
奇怪吸引子是指时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道在其内部一个集合。图3描述了不同纠缠度条件下，经过迭代2000次对应图1混沌现象的奇怪吸引子，显示了α=0.2与0.27时的分形结构。
图4展示了当α=0.15，γ=0.0，0.2，其他参数不变时，价格替代弹性d对两企业产品价格的动态演化过程。两企业的产品价格与替代弹性呈现明显的正相关性。随着替代弹性的增加，企业产品价格会从稳定进入不稳定状态，增大纠缠度有利于价格替代弹性b控制企业出现分岔与混沌，使系统处于稳定性状态。
3.2 初始条件敏感性分析
为探究不同纠缠度下系统状态对初始条件敏感性的影响，设两企业的初始点为C0(x1(0),x2(0))=C0(6.0,6.0)和相对微小变动初始点C1(x1(0)+0.0001,x2(0))及C2(x1(0),x2(0)+0.0001)。图5、图6分别画出了在不同纠缠度下，两企业价格随时间变化的演进过程。初始值与微小变动初始值对应的两条曲线在初期系统动态演化都是无序状态且无明显显著差异，随着时间增加，价格变动的差异就越来越明显。在相同初始值下，企业1比企业2价格的变动振幅大。随着纠缠度增加，价格变化较为平稳，对初始值敏感性较弱，纠缠度控制着初始条件的敏感性。
3.3 动态系统的分形维数
4 结束语
针对量子博弈与非线性动力系统理论各自研究伯川德模型存在的不足，本文利用量子博弈相关理论，建立了一个基于异质理性预期条件下的量子伯川德博弈模型，并对模型进行了复杂性分析与数值仿真。仿真结果表明：经典伯川德动态博弈模型实际上是量子博弈模型的一种特殊情形，量子纠缠度的引入增加了量子纳什均衡点的稳定性，企业的价格调整速度上升到某一阀值时，系统会进入一个不可预测的混沌状态，量子纠缠度对控制系统的混沌状态起着重要的促进作用。
