一道双根式和的最值问题与变式拓展

杜海洋

(四川省成都经济技术开发区实验中学校，610100)

一、问题及解答

问题已知a,b,c为正实数，求

的最小值.

这是数学通讯2021年第8期上半月征解问题506,是一道双根式和的最值问题.笔者经过深入探究,给出其解法和变式拓展,供大家学习交流.

解法2由条件及柯西不等式和基本不等式,可得

等号当且仅当c=2b=4a时成立，故M的最小值为8.

二、变式拓展

变式1已知a,b,c为正实数,求

的最小值.

解由条件及基本不等式,可得

变式2已知a,b,c为正实数,求

的最小值.

解由条件及基本不等式,可得

变式3已知a,b,c为正实数,求

的最小值.

解由条件结合基本不等式,可得

≥5,

等号当且仅当b2=ac,a=4c时成立.故M的最小值为5.

变式4已知a,b,c为正实数,求

的最小值.

解由条件及柯西不等式和基本不等式,同原问题解法2可得

三、 推广

推广1已知a,b,c为正实数,则

推广2已知a,b,c为正实数,则

以上两个推广，有兴趣的读者可自行完成.