思维导图在高三数学复习中的应用探究

袁晓明 陈建华

(1.江苏省扬州大学数学科学学院,225002) 2.江苏省如皋市搬经中学,226500)

一、问题背景

随着基础教育课程改革的深入,倡导从知识学习走向“着力发展学生的核心素养”．相应地,高考以“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”为考查内容,评价考生素质内涵;以“基础性、综合性、应用性、创新性”为考查要求,评价学生素养达成度．

新高考试题基本上是在知识点的交汇点上命题,综合性更加明显,数学理解、数学能力和数学素养等要求提高．高考中,学生暴露出很多问题:题量大,做题时间来不及;题目长,阅读理解有困难;立体多,空间想象要求高．如此等等,对高三数学课程复习提出挑战,有效学习成为高三数学复习教学的追求．那么,有效教学是取决于积极的态度,行动的效率,认知的策略,结构化的意义建构,还是有意义的情境、资源和工具呢?本文从图式可视化的角度做一些探索．

二、工具策略

从普通高中数学课程标准理念和考试说明看，高三数学复习需要我们将知识的积累作为素养发展的基础,素养的提升作为知识学习的归宿．高三数学复习在观念上将结果取向与过程取向相结合:回归教学的完整过程;在方法和措施上将接受学习与探究学习相互补充,构筑教学的进阶路径．在传统复习授课的基础上,可以引入思维导图的方式,优化过程设计,提高复习的质量和效果．

1. 思维导图

思维导图是表达发散性思维的有效图形思维工具．作为认知工具,思维导图利用图形、颜色、关键词、公式、字母、线条等将复习课中大量的知识点整体呈现出来,把复杂的数学简单化、可视化．作为组织工具,思维导图有许多表现形式,每一种形式起到的思维功能各有侧重．比如,辐射形的思维导图可用于头脑风暴,帮助分类、分解等;链形思维导图有利于事件顺序、表达因果联系等线性思维．

2. 策略分析

在思维导图中,思考的中心可以是一个主题、议题或问题．运用思维导图可以促进学生理清知识结构体系,巩固旧知识,探索新知识．高三数学复习通常会关注某一个主题知识和相关习题,因此,思维导图更适合复习阶段使用．思维导图通过分层、分类,借助于直观图形将知识系统化,提高大脑组织、提取和应用信息的效率;通过图形在发散与聚合,逻辑与想象之间获得问题求解的思路、思考问题的技巧;通过可视化的方式提高我们的注意力,协助记忆．具体有如下几点:

第一,基于问题,积极理性认识思维导图

老师通过思维导图的制作,展示如何探索和多元思考,如何寻找到问题的突破点,来充分暴露自己的思维过程．

第二,根据需要,选择类型绘制思维导图

通过具体数学问题,师生讨论,交流,分析如何确定思维导图的类型．在问题解决时,学生不仅熟悉题型,还构建了相对完整的知识体系,提高了学习的质量和效率．

第三,样例示范,鼓励学生绘制思维导图

老师向学生呈现一批优质的思维导图,学生通过学习和分析,再尝试实践,最终形成自己的图式．在绘制思维导图、形成知识架构的过程中,进行自我评价、自我检测．

三、应用举例

1.借助思维导图帮助学生理清知识结构,形成宏观分析体系

数列是高中数学的核心内容之一,也是高考命题的热点之一．传统高三复习做法是按照知识点的章节顺序制作活动单,帮助学生回顾总结所学知识点,查漏补缺．通过活动单上的例题、错题重现,唤醒学生记忆,再通过专题和综合试卷的形式,进行题组训练．这样复习周期长,知识遗忘快,学习效率低,解题突破问题仍不易解决．因此在教学中,尝试采用思维导图工具归纳和整理数列考查的知识点.

如图1,使用XMind绘制的思维导图，四个分支直观地呈现了数列中的常见知识点．碎片化的知识经过组织,有利于学生系统梳理旧知,促进对知识的记忆与理解，改变了以往复习重练习轻反思的现状．除了用思维导图进行知识点总结外,还可以用思维导图的形式帮助学生总结提炼数列问题的关键几个模块(如图2)．

图2思维导图的绘制,将数列单元的题型、思想方法和复习经验等集中化和可视化,通过精心梳理总结,学生学习目标更加明确,复习方向更加精准．每位学生还可以根据自身复习的心得体会不断完善思维导图,弥补传统复习单一化、流水式复习的不足,使复习变得更加高效．

2.借助思维导图帮助学生形成解题思路,明确解题方向

数学知识的习得,数学学科核心素养的达成必然诉诸解题,解题能为学生运用数学、形成品质打好基础．以解析几何的复习为例,学生的难点往往不在于解析几何知识本身,而在于解析几何与其他知识的综合;不在于运算技巧与方法,而在于思维,在于如何寻找合理的运算思路与方法;不在于运算的难与繁,而在于学生对 “难与繁”的心理预期．常态化的老师讲解、学生板演;多媒体投影关键步骤,老师口述解题思路;典型题的重复模仿训练等复习过后,解题突破口的寻找、计算中的推理依然是独立解题的困难所在．思维导图是思维的工具,它的意义在于激活思维、整理思维、提升思维．

图3是教学中提供给学生的解析几何一般思路的思维导图．它通过研究探索解析几何问题中的核心思想、思维特征、核心方法等几个部分的内容,加深学生对解析几何整体的理解与分析,对学生综合运用知识、合理选择方法、拓宽思维通道有很好的启发作用．比如下面是学生练习中的一道解析几何题,由于方法或引入变量的方式的差异,学生可绘制多种解题流程,再由学生动手演算,比较各个方向的异同,确定问题一般的解决方法．

分析若假设存在点P,使得四边形APQM为梯形,显然AM,PQ不平行,所以AP和MQ平行,即kAP=kMQ.接下来通过思维导图(如图4)分别给出设点法、设线法和几何法的解题思路．

教学实施中,面对问题首先明确研究对象的几何特征,然后需要用到哪些代数条件将几何问题代数化,最后根据题设条件,研究解决转化之后的代数问题．思维导图改变了以往杂乱无章的思维方式,帮助学生梳理归纳出解题思路,提示学生梯形的几何特征之后,很容易转化为AP与MQ平行,接下来就是思考如何利用题设条件,给出解题过程．通过整体与部分的关系阐释,学生对于一类题型的掌握更加系统全面．当有了解题方向之后,学生就可以动手实践运算了．图4的鱼骨图表达简洁,脉络清晰,有效解决了传统复习过程中学生思维表达受阻、问题解决怕难怕繁等等问题,它清晰展示了解题流程以及逻辑关系,不仅避免了大量演算带来的时间消耗,节约了时间,而且主次分明,重点突出,更有利于学生前后思维的衔接．

3.借助思维导图帮助学生进行分类讨论,培养逻辑思维

函数是高中数学核心内容之一．作为贯穿高中课程的主线,函数的观点和思想方法支撑了高中数学的知识体系.然而在复习过程中,学生遇到了很多困难,尤其是在含参函数的极值最值、单调性讨论方面,虽然学生清楚问题考查涉及的知识点与解题方向,但是很多学生在分类讨论的过程中要么思维混乱、书写无序,要么思维不严谨,过程重复或遗漏．移到“师生讨论”之后，比如可以利用思维导图中的组织流程图,探讨一类含参二次函数的导函数．通过绘制思维导图,归纳总结这类题型分类讨论的方向,由因到果,层层提炼,最终形成学生自己的思维导图．

案例2讨论函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x的单调性.

师:解决函数问题首先要关注什么?

生:定义域,本题的定义域是(0,+∞).

生:应该将函数表达式通分?

师:好的,通分后我们发现导函数的分子是含参二次函数,接下来如何判断呢?

生:对参数进行讨论.

师:好的,进入到本题的关键部分——分类讨论阶段了．我们必须清楚参数对函数有哪些影响,这里我们可以参考图5的组织流程图进行思考．

生:交流讨论中……

师:好的,现在有了分类讨论的方向了吗?

生:本题当二次项参数为零时,分子是一次函数,可以直接判断正负．当二次项参数不为零时,可以进行因式分解,当确定好开口方向之后,再比较两根的大小和根与区间端点的大小．

师:好的,每个人在刚才分析交流的基础上,绘制本题的思维导图(示例略)．

四、结语

思维导图的本质是一种学习笔记.由于它能以直观形象的方式表征知识,有效呈现知识的关联,体现思维过程,教师可通过思维导图以图形化的方式把题目中所给的信息结构化，把解题思维过程及方法的形成过程呈现给学生，这有利于学生更好地分析、理解、联想、整合并产生新的想法[3].在实际教学过程的很多环节运用思维导图,可以帮助学生梳理知识要点、建构知识网络;梳理解题思路、形成方法体系;进行分类讨论、培养逻辑思维等等．