一道难题

单 墫

(南京师范大学数学科学学院,210023)

一位名叫李雨航的朋友问下面的问题有无好的解法:

问题已知正实数a,b,c满足

(1)

(2)

这道题的确不太容易.我请了几位朋友做,所提供的解法(包括李雨航提供的解),或者看不明白,或者怀疑有疏漏,没有看到我满意的.

哪位朋友有好的解法?

我也做了一个解,稍后提供(如有比我好的,我就藏拙了).

已有一种解法(见附页),这是计神的风格,一个式子就可解决问题.但怎么能想到?太复杂了,我连验证都头痛,但相信它是对的,谁有兴趣谁验证.仍欢迎其它解法,我的也将发表.又有一位网友发表精彩的解法.

(2)若xyz<1,且x+y+z≤3,则注意到xy+yz+zx≥2+xyz⟺(xy+yz+zx)(x2+y2+z2)≥(2+xyz)(x2+y2+z2)=2(x2y2+y2z2+z2x2)+xyz(x2+y2+z2)⟺xy(x-y)2+yz(y-z)2+zx(z-x)2+xyz(x+y+z)≥xyz(x2+y2+z2),这等价于

①

≥x2+y2+z2-(x+y+z),

故① 式成立.

(3)若xyz<1,且x+y+z>3,则由x2+y2+z2=x2y2+y2z2+z2x2,知[(xy+yz+zx)+1]2=(x+y+z)2+2xyz(x+y+z)+1>10+6xyz>(xyz+3)2,开方即得证.

(后续)