Hayward黑洞的李雅普诺夫指数与混沌边界的研究

张是浩，程 龙

(浙江理工大学理学院，浙江 杭州 310018)

随着非线性动力学的发展，在初值敏感的动力学系统研究中发现了混沌现象.混沌是运动学中的不稳定现象，其不稳定体现在相轨道随时间演化以指数速率分离上.混沌现象具有与线性动力系统不同的特性，在数学、气象学、生态学、经济学等领域引起了广泛的关注.黑洞是引力理论的研究对象之一，并且是量子热力学系统，该系统被认为具有混沌现象，如特定的黑洞与特定的粒子形成的系统，粒子轨道将会出现混沌[1-2].

全息对偶领域中引力全息原理表明，在给定的体空间中，例如反德西特(antide sitter,AdS)时空，用引力理论描述一个系统，再在此空间的边界上用一个共形场论去描述同一个系统，两者是等价的.Maldacena、Shenker等[3-5]在该理论的框架下发现了Maldacena-Shenker-Stanford(MSS)边界，即衡量量子多体系统的混沌的李雅普诺夫指数不能大于系统中黑洞的表面引力.由于该结论是在边界上使用量子场论语言得出的，为了验证各种黑洞的混沌是否满足MSS边界，近年来的研究致力于在体空间中用引力理论对其进行检验[6-11].

已有研究表明，黑洞自身携带的角动量以及特殊的混沌源会导致对MSS边界的违反，即求得的李雅普诺夫指数大于黑洞的表面引力.如Hashimoto等[6]研究了静止球对称黑洞系统中的混沌现象，并且指出此类黑洞在高自旋力下会出现违反MSS边界的情况.Dalui等[7]研究了无质量和无电荷粒子在球对称黑洞和稳态轴对称黑洞的近视界区域运动的混沌现象，发现旋转黑洞会导致混沌现象更加明显.Zhao等[8]研究了带电球对称黑洞，以及带有宇宙常数的带电球对称黑洞，发现了宇宙常数导致对MSS边界的违反.Lei等[9]使用粒子径向动量与复杂度的对偶关系来研究AdS黑洞.Kan等[10]研究了四维时空中的旋转带电黑洞，得出了黑洞携带的角动量会导致对MSS边界的违反.Giataganas[11]证明了黑洞的李雅普诺夫指数在最大混沌处和宇宙学视界间是等价的.

值得注意的是，上述工作研究的黑洞均为传统黑洞解.传统黑洞解存在坐标和时空的发散问题，发散的数学结果在物理上是没有研究意义的[12].为了避免传统黑洞解的最大问题时空发散性，Bardden[13]提出了正规(regular)黑洞解.正规黑洞解与传统黑洞解的区别在于，通过将引力源视为奇异场，使其不会出现坐标和时空的发散，即非奇异解.这样的黑洞是在能够形成视界并且避免获得非物理模型的情况下，尽可能地违反奇点定理而得到的解[14-15].2006年，为了解决正规解能够满足场方程的问题，Hayward得到一种消除了坐标与时空发散的正规黑洞解，即Hayward黑洞解[12]，而胡冀万等[16]完成了Hayward黑洞的经典检验.

综上所述，目前已有的研究对正规黑洞是否满足MSS边界是未知的，需要进一步研究正规黑洞的李雅普诺夫指数在MSS边界上的情况并与传统黑洞形成对比.Hayward黑洞作为一种较为简单的正规黑洞，先对其研究有助于为研究更复杂的正规黑洞提供参考，并且Hayward黑洞能够退化为传统的施瓦西黑洞，有利于与传统黑洞的研究形成对照.本文通过数值研究，求出粒子在具有特殊线性势的Hayward黑洞附近运动的李雅普诺夫指数，研究Hayward黑洞是否满足混沌边界，并与施瓦西黑洞进行比较.该研究可为使用数值方法计算正规黑洞的混沌边界提供实例，为进一步探索更多种类黑洞的混沌边界提供参考.

1 理论基础与计算过程

通过定义粒子在具有特殊线性势的Hayward黑洞外视界以外的有效势，研究粒子的有效势是否具有不稳定极大值，再从粒子的运动方程中求出李雅普诺夫指数，将其与MSS边界比较，判断Hayward黑洞是否违反MSS边界.

1.1 Hayward黑洞理论模型

Hayward黑洞的度规为[12]：

(1)

按照求解视界的办法，此度规会产生3个解，舍弃负根，剩下的两个正实根即为黑洞的内外视界，其中外视界为：

(2)

Hayward黑洞的表面引力为

(3)

式中：l为与黑洞中心能量密度有关的自由参数，一般假设它是大于零的.

1.2 MSS边界

一个量子多体系统的李雅普诺夫指数满足MSS边界：

(4)

式中：T表示黑洞的温度；λ表示系统的李雅普诺夫指数；ћ为约化普朗克常数.

李雅普诺夫指数是用以描述运动系统混沌程度的参数，它的本质是运动轨道的分离率，因此若一个系统的李雅普诺夫指数大于零，说明此系统是混沌的.

表面引力是物体静止在黑洞视界上所受的引力场强，它与温度间有关系式2πT/ћ=κ，故MSS边界式(4)实际上可以写成λ≤κ.κ为黑洞的表面引力.这条不等式意味着在体空间中，一个由黑洞组成的系统，它的李雅普诺夫指数不能大于其表面引力.

假设一个有质量的粒子绕着黑洞外视界运动，但是受到额外线性势的影响(如电磁势)而不落入黑洞，于是可以根据此粒子的拉格朗日量来求出运动方程，再根据运动方程来研究它是否具有混沌，一旦发现它具有混沌现象，则求出它的李雅普诺夫指数，再与系统中黑洞的表面引力比较，就可以判断此系统是否满足MSS边界式(4).

1.3 计算方法与过程

1.3.1 等效势的定义与极值

假设一个单位质量的粒子，考虑到粒子绕着Hayward黑洞的外视界运动，为避免粒子落入黑洞视界内，引入额外的线性势V(x).

(5)

从式(5)可知，粒子的拉格朗日量与φ无关，因此具有一个守恒量——粒子的轨道角动量：

(6)

定义

(7)

可得

(8)

式中：Veff为有效势，表示将粒子动能项扣除以后，系统拉格朗日量中其他所有的项之和.令x=r-r+，则V(r)=V(x)=V1x，f(r)=f(x)=f1x，其中V1为线性势系数，f1为f(x)在r=r+上的一阶泰勒展开系数.随后可以将有效势改写为：

(9)

得到有效势式(9)后，需要研究等效势是否具有不稳定极大值点r0.并且由于粒子一旦落入视界内，则外界观测者将无从观测系统行为，因此需要极值点位于外视界以外.

通过求解方程dVeff/dr=0，若此方程有解，则得到的解即为不稳定极大值r0，并且需要满足r0> r+.

1.3.2 不同参数下的等效势

等效势式(9)若具有位于外视界以外的不稳定极大值r0，则需要研究不同参数对等效势的影响，需固定M与V1不变，将不同的L代入式(9)，作出图即可.

1.3.3 李雅普诺夫指数的求解

在求解等效势的不稳定极大值后，需要求出粒子的运动方程以便求出李雅普诺夫指数.现将有效势在不稳定极大值点r0上泰勒展开，展开到二阶项：

(10)

令ε=r-r0为径向坐标与径向极大值点的差值，略去常数项和高阶项后，可以将拉格朗日量改写成：

(11)

随后对拉格朗日量求变分，得到粒子的运动方程：

(12)

这是一个反谐振子运动方程，文献[17]已经证明此种系统具有混沌行为，并且其通解：ε=Aeλ+Be-λ也出现指数增长行为，通解中的λ就是此系统的李雅普诺夫指数.而其中：

(13)

进一步分析，某些情况下这里可能出现λ2小于零的情况，对于这种情况，λ2就不能再作为系统的李雅普诺夫指数，而在后续的计算中，将要保证λ2大于零.

1.3.4 对混沌边界的验证

得到李雅普诺夫指数λ2后，直观的方法是利用数值作图，作出λ2-κ2曲线，观察其是否出现大于零的部分，即可知此系统是否对MSS边界式(4)产生违反.

2 Hayward黑洞与施瓦西黑洞的计算结果与分析

2.1 Hayward解

在计算中，为了计算简便以及图像行为更加显著，取黑洞的ADM质量设为1，线性势系数设为0.4.由于反三角函数的定义域限制，为了保证外视界式(2)存在，选取参数时应满足约束条件l小于0.769 8，且l不为零.

作出l=0.7时Hayward黑洞的有效势Veff，如图1所示.随着L的增大，有效势的值越小，图像越远离Veff=0，同时不稳定极大值r0或者说x0也在增大.这是因为粒子角动量越大，将会越来越远离黑洞，反之将会不断地靠近黑洞直至落入黑洞的外视界.考虑到极大值点存在且式(13)必须大于零，因此L不能小于2.23.由图1的L=1对应的Veff曲线可知，其曲线甚至不存在极值，这也说明L=1的轨道不满足极值点位于视界外的要求.

图1 Hayward黑洞在固定参数下不同的L对应的有效势Veff图像Fig.1 Veff for Hayward black hole with different values of L under fixed parameters

为了突出不同的L与l对λ2-κ2的影响，使用式(3)与式(13)来作出λ2-κ2曲线，具体的λ2-κ2曲线行为如图2所示.从图2可知，对于Hayward黑洞，在选取特定的参数时，其李雅普诺夫指数出现了违反MSS边界式(4)的行为，如l=0.5与l=0.7，即在允许的角动量取值区间上λ2-κ2大于0.并且随着l的增大，κ2显示出下降趋势，最终导致λ2-κ2越来越接近λ2，并且随着L的增长，λ2-κ2的值也体现出先增大后减小的趋势，这种趋势主要是由于λ2随着L的增长也是增大后减小的趋势.这说明系统的混沌随着粒子角动量的增长，先变得越来越大，随后开始减小.但由图2可知，对于l=0.3，其λ2是满足MSS边界式(4)的，这说明不同的l对应的Hayward黑洞对MSS边界式(4)具有不同的结果.此外，从图2还可知，l值的选取对λ2-κ2曲线影响较大，例如对于l=0.3与l=0.5来说，l只改变了0.2，但是整个系统对于MSS边界式(4)就从满足到出现违反.通过以上分析，对于l=0.5与l=0.7，Hayward黑洞违反MSS边界.

图2 Hayward黑洞在不同l时对应的λ2-κ2图像Fig.2 λ2-κ2 for Hayward black hole with different values of l

2.2 施瓦西解

正规解作为消除了时空发散的解，具有能够在渐近无穷远处退化成施瓦西解的特点，为了更好地突出Hayward黑洞混沌性质，将Hayward黑洞与传统的施瓦西黑洞进行对比，后续计算结果表明，施瓦西黑洞是Hayward黑洞退化后的一种特例.

(14)

若M=0，则整体时空又退化成平坦的闵氏时空.

对于施瓦西黑洞，其表面引力为：

(15)

式中，rg=M为施瓦西半径.

同样，引入线性势V(r)，并利用度规式(15)可以写出此系统的拉格朗日量：

(16)

从而得到有效势：

(17)

虽然施瓦西黑洞与Hayward黑洞的有效势Veff相同，但是f(r)是不同的，因此f(r)的一阶展开系数f1也不相同.

为了研究有效势式(17)的不稳定极大值，选取不同参数，研究Veff的行为，如图3所示.图3不同的线形对应不同的L.从图3可知，与Hayward黑洞类似，有效势Veff的值随着L的增大而减小，但是不稳定极大值x0也在增大，说明粒子角动量越大，形成混沌的轨道就越远离黑洞的视界.但当L=1时，有效势没有不稳定极大值，这说明L必须足够大，有效势才会出现不稳定极大值.

图3 施瓦西黑洞在固定参数下不同的L对应的有效势Veff图像Fig.3 Veff for Schwarzschild black hole with different values of L under fixed parameters

最后，本文同样研究了施瓦西黑洞在特定参数下的λ2-κ2曲线行为，这里以粒子的角动量L为自变量，再结合李雅普诺夫指数式(13)与施瓦西黑洞的表面引力式(15)，可以得到特定参数下的λ2-κ2曲线.从图4可知，与Hayward黑洞类似，λ2曲线与λ2-κ2曲线都出现了先增大后减小的趋势，这也说明随着粒子的角动量的增大，系统的混沌也在增大，但是如果角动量过大，则系统混沌将会减小.这是因为当粒子的角动量增大时，能够形成混沌的轨道也越来越远离黑洞视界，当角动量继续增大，黑洞对粒子的影响也会越来越小，所以出现了混沌行为越来越小的趋势.图4选取了与Hayward黑洞相同的参数，发现施瓦西黑洞在此组参数的允许区间上满足MSS边界式(4)，而这一结论也与使用解析方法研究的文献[6]一致，因此施瓦西黑洞与文献[8,10]中的研究对象在所有参数区间上都违反的情况又不相同，这是因为施瓦西黑洞不具有角动量且不带宇宙常数及电荷，因此很难出现全参数区间上的违反行为.上述结果说明，施瓦西黑洞的李雅普诺夫指数在同样的参数下满足MSS边界式(4).

图4 施瓦西黑洞在特定参数下的λ2-κ2图像Fig.4 λ2-κ2 for Schwarzschild black hole under fixed parameters

3 结论

经过研究Hayward黑洞是否满足MSS边界式(4)以及与传统黑洞混沌行为的对比，通过分析粒子的运动方程的稳定性来研究Hayward解与它的渐近无穷远情形——施瓦西解的混沌现象.得出结论如下：

(a) Hayward黑洞在l=0.5与l=0.7时违反了MSS边界式(4)，但是通过改变自由参数l，可以使其满足这样的边界.

(b) 作为Hayward黑洞的渐近无穷远形式——施瓦西黑洞，它在同样的参数下满足MSS边界.

本文的研究表明，Hayward黑洞的混沌现象与文献[8,10]中的情况不同，并没有出现在任何参数区间上都违反MSS边界的情况，而对于特定的l，Hayward黑洞违反MSS边界，但在同样的参数下施瓦西黑洞却满足MSS边界，这样的区别只能来源于正规解与传统解的差异.因此，正规黑洞与传统黑洞相比有不同的混沌行为，但由于正规黑洞存在可调节的自由参数l，在l不断减小时正规黑洞的度规能够近似成传统黑洞的度规，从而使其与传统黑洞的行为越来越一致.并且，与文献[8]中所指出的一样，旋转黑洞对于MSS边界式(4)的违反是由于此类黑洞自身携带的角动量，由于本文研究的Hayward黑洞不携带角动量，因此也就不会出现明显的全参数区间违反行为.