换元法思想在初中数学教学中的应用

李光寰

（甘肃省庄浪县南湖中学，甘肃庄浪 744603）

换元法是初中数学常用的思想方法，能够降低数学知识的难度，强化学生的数学逻辑思维，提高解决数学问题的能力。在新课程背景下，初中数学教学迎来了新的机遇，换元法的应用范围更加广泛，给学生提供了更快捷的解题思路，有利于数学综合素养的培养。但是在实际运用过程中还存在着一些误区，有的教师设元不准确，有的教师忽视新变量的取值范围，还有的教师只讲述换元理论却忽视实际训练，阻碍了学生的思维发散，需要引起高度重视。在实际教学中，初中数学教师应该从学生实际出发积极培养学生的转化以及化归思想，设计多样化的数学实践活动，将换元法思想融入课堂教学的各个环节，指导学生灵活解决各种数学问题，强化学习的主动性和自觉性，使学生学会辩证地看待数学问题。

一、换元法的应用原则

（一）注意应用性

换元法在应用的时候需要注意场合，并不是每一个数学题都适合换元，有时候学生会出现盲目性，随意进行换元，从而影响解题效果。在日常学习中，因式分解、不等式证明和求值问题通常会用到换元法，基本思路就是将原有的变量用新的变量替换，使数学问题迎刃而解。在课堂授课时，教师可以灵活使用换元法思想展开教学，逐步渗透换元的理念，使学生掌握换元法的使用技巧，学会将复杂的问题进行合理的分解和转化，将其变为简易题目。随着教育体制改革的深入，中考试卷中的数学题考查范围更加宽泛，其中有很多题型用到换元法，因此教师要指导学生进行归纳和整合，较好地形成数学能力，实现素质教育的目标。

（二）注重结构性

换元法是一种重要的解题方法，在实际运用的时候要注重结构性，任何一道数学题都有其内在结构，只有把握数学问题的规律，才能够正确地运用换元法，达到事半功倍的效果。根据数学知识的结构特征，可以通过整体换元法、三角换元法、均值换元法来解题，在不同的题型中具有不同的作用。比如，在遇到根号问题的时候，我们可以选择三角换元法，将其转化为三角函数的最值问题。但是当遇到定义域或者奇偶性问题的时候就不适合运用换元法，因为换元会改变原函数的自变量。通常情况下，运用换元法分为四个步骤：第一是设新元，引进适当的辅助元作为新元；第二是换元，用新元代替原问题中的旧元；第三是求解新元，使数量关系形象化；第四是求解原问题的未知元，提高解决问题的能力。

（三）注重等价性

在解决数学问题时，要善于利用变量替换展现出数学知识的本质特征。数学教师要注重等价性，准确把握学生经常犯的错误，新变量的允许值和原变量的可取值范围之间保持等价，否则就会出现偏差，从而影响解题效率。因此，在日常训练中可以加入针对性的练习，引导学生自主换元和等价转换，并且说出自己的想法，然后教师做出相应的指导和纠正，这样有利于学生快速找到问题的突破口，开拓学生的创新思维。等价思想是贯穿整个数学体系的一种重要思想，数学中特别重视等价关系，教师要指导学生用等价思想来解决数学题，从不同的侧面去接触事物的本质，渗透等价的渐进性和长期性。

二、换元法在初中数学教学中的应用策略

（一）高次向低次的换元

方程是中考必考的内容，初中阶段接触到的方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程组等，牢固掌握这些内容将会极大地提高学生的学习效率。但是有时为了考查学生的数学思维，在试题中会出现求解高次方程的问题，虽然数学教材中没有涉及，但是只要学生认真思考和尝试就可以通过换元法进行解答。运用所学数学知识将高次方程转化为低次方程，这正是换元法的完美体现，有利于学生提高做题的准确率，享受到数学运算的乐趣。在证明不等式的时候也会涉及换元，有时候甚至会联系到三角函数，但是学生需要注意题目中的陷阱，避免出现错误换元，耽误学生的解题进度。当遇到求方程的根之间的关系时，学生可以利用韦达定理进行换元，把握好题目中的各个条件就很容易找出它们之间的关系。换元的关键是设元，设元要根据具体问题而定，学生需要先观察数学算式，用另一个未知数替换原题中相同的未知数，从而顺利地计算出算式的答案。在实际教学中经常会发现有的学生死记硬背换元法，遇到问题只知道套用学过的换元策略，不会去寻找新的换元方案，阻碍了学生的思维。所以，初中数学教师要指导学生抓住关键点进行设元，使问题中的隐蔽条件明显化，让每一次换元都能够启发学生的思维，把换元法的思想理解透彻，进而在考试时做到运用自如。

（二）未知向已知的换元

数学中的转化比比皆是，为了化繁为简，初中数学教师要指导学生将未知量转化为已知量，熟练地运用等价代换，有助于学生更好地把握题意，找到熟悉的解题方向。当遇到难以解决的数学难题时，学生可以转变思路，将其转化成若干个自己学过的新题，这样就可以轻松解答、活跃思维，同时也降低解题失误的概率。当学生掌握了这种未知转化为已知的方法，教师可以为学生提供系统化和层次化的训练，夯实学生数学基础，促使学生做到举一反三、触类旁通。

数学主要研究对象是数量关系和空间形式，学生在现实生活中遇到未知量和已知量关系错综复杂时可以考虑运用换元法进行求解，抓住“不变量”，根据对应关系找到解题的线索。学生在审题的时候需要找出能够表示题目中的相等关系，也就是等量关系，将具体事例转化成数学问题。有的学生看到数学题目过长或者过于复杂就会出现抵触心理，缺乏学习的毅力和耐心，这时初中数学教师要做好学生的心理疏导工作，多与学生交流，倾听学生对换元法思想的认识，从而使学生掌握运用换元法的规律。

换元法并不是孤立存在的，有时候需要与数形结合、分类讨论、配方法等结合起来，实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系，每次解题都能够给学生带来新鲜感，从而激发他们的求知欲和上进心。教师要为学生设计不同类型的数学习题训练他们灵活换元的能力，使学生逐步树立换元意识，并通过不懈努力最终掌握不同的换元技巧，优化解题的效果。

（三）正向向逆向的换元

受到传统观念的影响，学生已经习惯了运用固定的思维去解题，一旦遇到新的题型就无从入手，很难找到解决问题的办法。此时，初中数学教师就可以提倡学生转换思维方式，打破定式思维的束缚，学会运用逆向思维去解题，使学生豁然开朗，锻炼思维的严谨性与周密性。尤其是在求取值范围问题的时候，如果从正面难以找到突破口，就可以从相反的方向进行验证，丰富学生的认识，增强思维的双向性和灵活性。学生可以建立一个错题本，将平时遇到的逆向换元的题型记录下来，通过不断积累和复习使自己的数学水平更上一层楼。另外，求函数值域的时候也可以运用换元法。值域是函数的三大要素之一，它是由函数的定义域及对应法则唯一确定的，因此学生要提高重视，在解题的过程中从多个方向进行思考，从而更好地挖掘题目中的隐含条件。

在新课程背景下，适时地进行逆向思维的训练是十分必要的，不仅能加深学生对新概念的了解，对整体教材的把握，更有利于对学生思维的启迪和疑难问题的解决。在代数训练中可以渗透逆向思维和换元思想，常规的解法就是求出未知数的值，然后将其带入未知式，最终求出答案。这种方式不但浪费时间，而且非常烦琐，如果从反方向进行求解将会节省很多时间。在几何证明题中可以渗透逆向思维和换元思想，在解题时需要注重题型的变化，打破思维限制和理解壁垒，理解它们的互逆关系，灵活地解决问题，强化学生解题的信心。

（四）数值向图形的换元

在初中数学教学中经常会遇到图形题，这类题型有一定的难度，需要学生具备丰富的数学知识和熟练的解题技巧，在数值和图形之间进行合理的转化，从而使抽象的问题简单化，掌握换元的精髓。“以形助数”和“以数辅形”是常用的解题方法，初中数学教师要利用多媒体技术制作适合学生的电子课件，指导学生构造图形等辅助元素，改变题目的形式，有效提高数学成绩和综合素养。例如，在教学抛物线知识的过程中会涉及数形换元，教师可以给学生列举数学真题或者历史名题，加深学生的印象。当考试中遇到此类题时能够巧妙换元，根据已知数量关系很快找出位置条件，避免解题上的偏差。初中数学教师可以开展专题训练，给学生带来数值和图形转化的各类题型，引导学生把抽象的数学理论知识进行图形化的处理。在这个过程中，学生要逐渐形成正确的解题观念，提高自身的思维能力。

在新时期，换元法思想与初中数学的结合备受关注，成为当前初中数学教学的热点话题。教师可以利用自习时间或者课后时间开展交流会，组织学生共同探讨换元法解题的优势和注意事项，这不仅实现了知识的共享，而且还锻炼了学生的系统性思维能力。当学生遇到较为复杂的数学题时，教师可以开展小组合作学习，发挥集体的力量，以便击破难题，解出答案。然后，教师可以对小组表现进行综合性评价，便于今后更好地开展小组合作，帮助学生树立自信心。

（五）多元向一元的换元

在求解方程组的时候，体现较多的就是多元向一元的转化。常见的就是将三元一次方程组变为二元一次方程组，再变为一元一次方程，从而使解题过程变得清晰明了。众所周知，思想方法才是数学的精髓，是联系各类数学知识的纽带，初中数学教师要秉持新课改的精神，通过例题讲解的方式呈现数学思路，消除学生的畏难情绪，强化理解运用能力。方程组的学习具有承前启后的作用，为学习函数打下基础，因此必须指导学生快速梳理有用的数学信息，优化数学解题思维，逐步降低难度系数，巧妙解决方程问题，使换元法发挥出实践价值。

初中数学教师还要引入一元一次与多元一次方程经典题目，让学生挖掘其中的关系和区别，再分析如何巧妙换元，使学生能够轻松地接受、完善数学知识体系。教师还可以给学生分享一些奥数竞赛题——如何通过换元巧妙求解多元不定方程组，让学生思考不同的换元方法，以此激发学生的创新思维，使数学课堂产生强大的吸引力和凝聚力。

换元法降低了方程的难度，符合学生的理解范围，确保计算变得更为简便与快捷，进一步启发学生的变通思维。分式方程属于初中教学中的难点，许多学生在处理问题时表现出陌生感，在处理问题时难以灵活应对。为了让学生更好地掌握分式方程的解题方法，教师要指导学生将分式方程转化为整式方程，提升数学实践能力。在求解应用题的过程中，检验最终答案要从两方面入手，一个是检验是否是分式方程的解，另一个是检验是否符合实际情况。

（六）空间向平面的换元

学生的空间思维和抽象思维还不成熟，在分析问题的时候容易出现漏洞，因此教师要善于运用换元法辅助教学，指导学生将空间问题转化为平面问题，从而巧妙地替换未知量，确保立体几何问题得到有效处理。初中数学教材中有多处体现空间和平面的转化，教师要深入研究教材，总结转化的形式和规律，逐步开发学生的空间观念，实现科学简化操作，增强数学综合能力。

培养换元思维有助于丰富学生的思维方式，初中数学教师要通过信息技术给学生展示三维立体图形的变换过程，充分考虑不同学生的感受，开发学生的换元思维及创新能力，有助于学生全方面发展。初中数学教师应该从实际学情入手，指导学生观察几何体的结构特征，学会选择合适的变量去换元，强化空间想象能力，有意识地去发现事物之间的本质联系，从而更好地学习数学。在日常教学中，有些学生已经能够将空间问题转化为平面问题，但是转化之后却不知道应该如何运算，最终仍然无法顺利解答。这就需要学生发散思维，灵活运用三角函数法、均值不等式、坐标法、导数等等，找到解决问题的最终办法。换元法思想有多维度、反复性的特征，要求学生多思考、多探究、多尝试，学会“小题大做”和“大题小做”的解题方法，进行有深度的思考活动，达到深化理解、发展能力的目的。

三、结语

总而言之，换元法思想在初中数学教学中占据重要地位，能将数学知识简单化，使学生更容易解决数学问题。初中数学教师要勇于创新，引导学生学习和运用换元法，树立起基本的数学解题思路，并且不断积累数学经验，逐步提高数学综合能力。还要积极探索换元法的应用场景，更好地应对多样化的数学问题，激发学生的解题兴趣，为长远发展奠定基础。