谈新课程背景下高中生数学直观想象素养的培养

⦿福建省德化第一中学 张福庆

1 引言

数学直观想象素养是《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“课程标准”)提出的六大核心素养之一，高考数学命题逐渐由“能力立意”向“素养立意”转变，数学直观更加受到重视，高中生数学直观想象素养的培养成为数学教学的一项重要任务.如何培养高中生数学直观想象素养？笔者做如下几点思考.

2 强化高中生对直观想象素养的认知

数学直观想象素养一方面在其它核心素养的培养中起到桥梁纽带作用，另一方面又对人认识事物产生较大的影响.培养高中生对数学直观想象素养的认知，可以促使他们在心理上重视数学直观想象素养，主动接纳数学直观想象思维，积极参与相关训练.首先要引导学生认识直观想象素养在其他核心素养形成的桥梁作用，激发他们对直观想象素养培养的重视.直观想象是数学抽象或数学建模的基础，是逻辑推理或数学运算的铺垫，是数据分析的载体等.其次是引导学生认识直观想象素养对事物认知的影响，促进他们对直观想象的认同感.数学直观想象促进人们用数学直观的眼光看待世界，认知事物本质，数学直观想象素养能促进形成对事物直观的洞察力，从而增强学生对数学直观想象的认同感.

3 数学直观想象素养培养的方法

数学直观想象着重从几何直观的视角引导学生感知事物的形态和变化，但数学直观想象不能局限于“数形结合”.史宁中教授曾指出：“在大多数的情况下，数学的结果是‘看’出来的而不是‘证’出来的.”“看”是一种直觉判断能力，“看”在一定程度上体现了数学直观想象.如何培养高中生数学直观想象素养？

3.1 动手实践是提高直观想象意识的源泉

直观想象是直观的延伸，是发现问题和解决问题的重要手段，人类认识世界是从实践和直观想象开始的.数学理论来源于实践又指导实践.引导学生自己动手实践，在实践中获取数学感知，抽象数学原理，从而强化直观想象意识，这是课堂引入、应用教学环节的重要内容.

例如，在“指数级增长”知识点教学中，给学生每人一张A4纸，让他们不断对折，学生前6次对折都能轻松完成，第7次对折就很难完成了，这就让学生对“指数级增长”有一个初步的认识，然后就适时抛出问题“如果一张普通A4纸的厚度是0.088 mm，对折10次后有多厚？对折20次呢？对折42次呢？”学生计算对折10次后的厚度约为9.0 cm(人手拇食指自然张开的跨度)，对折20次后的厚度约为92.3 m(30层楼高)，对折42次后的厚度约为387028.093 km(超过地球与月球之间的距离)，通过这样的折纸操作学生惊诧于数据跃升的同时对“指数级增长”有了直观而深刻的认知.

又如不少学生对“长方体中，侧面的对角线和与该侧面相交的棱互相垂直”,即如右图所示，对“长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面的对角线AD1和与侧面ADD1A1相交的棱AB互相垂直”认知有困难.教学中笔者课前制作好长方体模型，让两名学生借助模型上台演示.其中一名学生拿着长方体模型，另一位学生拿着细绳给长方体的一个面拉上对角线，让学生观察、梳理该对角线与各棱的关系，一目了然地展现这种垂直关系.

列宁认为：“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践，这就是认识真理、认识客观实在的辩证途径.”人们认识事物是一个从实践到认识，再从认识到实践的过程.很多数学理论都是历代数学家们通过实践、实验领悟出来的，动手实践是提高学生直观想象意识的源泉.因此在高中数学教学过程中，要有意识地设置一些让学生动手实践的内容，促进学生明白，生活中许多看似复杂的事物，有时用直观的方法和思维去认知就变得简单明了，动手实践是人类认识世界的重要手段.

3.2 数学软件是提供直观想象思维的载体

适当以数学软件为载体进行辅助教学，对学生数学直观想象素养的培养有很好的促进作用.

例如，在引导学生认识长方体及其特殊分割几何体在中国古代数学典籍中的名称，我们借助GeoGebra数学学习软件展示矩体(长方体)的分割过程，首先沿长方体对角面分割得到两个堑堵(底面为直角三角形的直三棱柱)，然后进一步以底面的一个直角顶点及其对棱所在平面分割得到一个阳马(底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥)和一个鳖臑(四个面都是直角三角形的四面体).紧接着又指导学生在电脑上用GeoGebra学习软件自主操作完成以上过程，使学生更加直观地领悟相关的分割过程与分割所得到的几何体.

在数学课堂教学中，GeoGebra、几何画板、数学画板等数学软件的应用可以直观展示数学知识的生成过程，如果能教会学生亲自动手操作数学软件，直观体验效果将更加明显，原来枯燥生涩的数学知识也变得灵动起来，不那么面目可憎了，激发了学生学习的兴趣，体现了学生学习的主体地位.因此，在教学中适当应用多媒体辅助平台，对培养学生数学直观想象素养能起到事半功倍的效果.

3.3 情景引入是提升直观想象效果的手段

课堂引入是数学课堂教学的重要组成部分，精彩直观的课堂引入往往是学生直观理解教学内容的重要铺垫，对教学起到画龙点睛的作用.

例如，研究函数极值，以爬山为引，先上山再下山是翻过山顶，先下山再上山是穿过山谷，学生想象着，延绵起伏的群山，交替出现的山峰和山谷，直观理解了函数极值的概念.研究函数零点存在性定理，即如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.

讲解定理时我们可以以穿越小路为引，即一个人开始时在小路的一侧，而在下一个时间节点他还在同一侧，那我们就不清楚他在这段时间内是否穿越小路.但如果他在第二个时间节点出现在小路的另一侧，那我们就可以断定他穿越了小路，但其间穿越了多少次却是未知的，引导学生将“穿越小路”的情景与函数零点存在性定理的表述进行比较，定理就直观地呈现在学生的面前.不管是函数的极值还是零点问题，对许多学生来说都是较为抽象难懂的概念，但通过直观形象的情景引入，就变得直观易懂起来.

别把数学理论教得太死板，一个直观有趣的情景引入能回报你一个精彩的课堂.一方面学生对数学知识有了最直接快捷的理解，增强学生对数学问题理解的直观性，是提高数学直观想象素养的重要手段.另一方面，学生亲眼目睹了数学直观想象素养的魅力，促使他们真正重视直观想象素养的培养.

3.4 精准练习是落实直观想象实践的途径

数学离不开解题，直观想象作为数学学科核心素养之一，也必然是高考重点考查的内容，落实直观想象实践，做好精准练习，是高中生数学直观想象素养培养的主要过程.

精选或原创相关习题强化实践训练.首先要对高考在“直观想象素养”考查的方向与题型有清楚的认知，例如数形结合题型、创新直观题型、空间直观想象类题型等，然后我们才能立足高考对“直观想象素养”的考查特点精选或原创习题，落实“直观想象素养”实践训练.

该例题对直观想象素养的考查是数形结合思想，思维的难点与关键在于如何把握图形的变化规律及图形背后所蕴含的数量关系，借助几何直观形成解题思路.通过适量的针对性训练，促使学生重视数学直观想象素养的自我培养，理解数学直观思维，掌握应用数学直观想象解决问题的能力.当然数学直观并不等同于“数形结合”，要把握高考“直观想象素养”考查模式，做到有的放矢地训练.

4 结语

数学直观想象是通过数学的眼光观察世界来建立数学直觉的基本方法，是发现和提出数学命题、理解数学问题、梳理论证思路和运算的辅助工具，也是进行逻辑论证、数学推理、数学建模的思维基础.同时，数学直观想象素养培养的过程中也在培养学生面对人生抉择时能静下心来，用最直接的方式做出选择的良好品质.