同构法在解题中的应用浅析

⦿安徽省滁州中学 叶建友⦿广西南宁市银海三雅学校 林日官

1 引言

近几年高考和各类模拟题中频频出现“同构”的身影，即通过构造相同的形式，根据相同的格式“脱掉”复杂形式的外壳，露出问题的本质，或是万象归一，化归为更统一的规律，体现数学的对称美，具有一定的美学价值.

2 函数与导数中的同构方法

核心素养下的数学教育更注重数学的内在美与本质的体现，在学习的过程中学生既能够明白相关的数学原理与应用，还能体会到数学中的美，新高考更是在这个方面下足了功夫.我们来看下面几道高考题.

2.1 利用同构获取变元的大小关系

例1(2020年全国Ⅱ卷文理)若2x-2y<3-x-3-y，则( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析：题目中给出的条件为关于两个变元x,y的不等式，直接获得关于y-x的式子并不容易，所以可以考虑构造相同的形式，即由2x-2y<3-x-3-y，得2x-3-x<2y-3-y，不等号两端的形式完全一致，只是对应的变量不同而已，达成了同构.构造函数f(t)=2t-3-t，易知该函数为R上的增函数，由增函数的特点可知x1，所以ln(y-x+1)>0.又因为|x-y|与1的大小不确定，因此选项C，D无法确定.故选：A.

规律总结：数学中有许多形式对称优美的式子，它们遍布在数学的各种定义和性质当中，犹如数学中的瑰宝，给人美不胜收的感觉.在上面的问题中，我们构造函数，知晓了该函数的单调性，从而根据单调性的特点解决了问题.所以这类问题的理论依据是函数的单调性的特点，根据单调性和函数值的大小得到了自变量的大小关系，相当于脱掉了函数对应关系的外壳，直接获得两个变量的大小关系，从而能够更简洁地还原问题本质，简单地解决问题.

熟练应用：

例2(2020全国Ⅰ卷理)若2a+log2a=4b+2log4b，则( ).

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

分析：根据题意可将已知条件整理为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2(2b)-1的形式，则可构造函数f(x)=2x+log2x，易知f(x)为区间(0,+∞)上的增函数，而f(a)=f(2b)-1f(1)，即a>1，此时a>b2.所以a与b2大小不确定.因此选：B.

在我们遇到的问题当中，有时不一定一眼就能看出要构造的函数的形式，而是需要通过变形整理再找到要构造的函数，这样的问题对我们知识的掌握要求较高，更能体现我们对一些数学问题理解的深度，所以构造才是数学魅力的地方之一，有时可以借助于同构获取变元的关系来解决一些取值或不等式的相关问题.

例3解不等式log2(x12+3x10+5x8+3x6+1)>1+log2(x4+1).

例4已知实数x1，x2满足x1ex1=e3，x2(lnx2-2)=e5，则x1x2的值为________.

分析：本题中涉及两个变量，各自满足一个对应的方程，涉及到指数与对数的运算，所以一个角度是采用换元的方式.由于方程首先需要有意义，所以有x1>0,x2>e2.令lnx2-2=t>0,x2=et+2，则第二个方程化为tet=e3.构造函数f(x)=xex(x>0),f′(x)=(x+1)ex>0(x>0)，则知f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.而f(x1)=f(t)=e3，则x1=t=lnx2-2,所以x1x2=x2(lnx2-2)=e5.

另一个角度就是化同构，对第一个方程x1ex1=e3两边取自然对数，得lnx1+x1=3.

对第二个方程x2(lnx2-2)=e5两边取自然对数，得lnx2+ln(lnx2-2)=5.

为使两式结构相同，将上式进一步变形为(lnx2-2)+ln(lnx2-2)=3.

构造f(x)=lnx+x，易知f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则f(x)=3的解只有一个.所以x1=lnx2-2，因此x1x2=(lnx2-2)x2=e5.

2.2 利用同构求参数的取值范围

除了能够根据同构直接获得变元的大小关系外，有时也可以利用同构间接地解决恒成立、参数范围等问题，应用比较广泛.

合并前，两馆都使用《中国图书馆分类法》，但在各自的分编工作中，两馆的分类规则有差别，导致索书号不同，南馆图书使用的索书号是用著者号排序，北馆则使用种次号排序。这两种不同的排序法会造成读者从北馆借阅的书还到南馆后上不了架。由于索书号的取号法、馆藏标记符号等方面存在差异，如何将读者所借的北馆上万册图书归入南馆分类排架系统中，是合并后图书馆所面临的一个迫切任务。

该题将题中复杂的条件同构处理后相当于知道所构造函数的单调性，再利用导数值取值情况来获取参数的范围.

例6(2020山东新高考)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范围.

分析：本题若直接带参讨论，即使用常规处理方法会比较麻烦，而考虑同构处理则会大大简化解题流程，提高效率.由题意知aex-1-lnx+lna≥1，即ex+lna-1+lna-1≥lnx，亦即ex+lna-1+x+lna-1≥x+lnx=lnx+elnx.构造新函数g(x)=x+ex，易知该函数在R上单调递增，则有x+lna-1≥lnx，即lna≥-x+1+lnx.令h(x)=-x+1+lnx，可知其最大值为h(1)=0，所以有lna≥0，因此a≥1.

下面给出同构的一些经典方案：

(1)基本型：

(3)和差型：ea±a>b±lnb.

①可变形为ea±a>elnb±lnb，构造函数f(x)=ex±x；

②也可变形为ea±lnea>b±lnb，构造函数f(x)=x±lnx.

(4)积型：aea≤blnb.

①变形为ealnea≤blnb，构造函数f(x)=xlnx，即有f(ea)≤f(b)；

②变形为aea≤(lnb)elnb，构造函数f(x)=xex，即有f(a)≤f(lnb)；

③两边取对数：a+lna≤lnb+ln(lnb)，构造函数f(x)=x+lnx，即有f(a)≤f(lnb).

③两边取对数变形为a-lna≤lnb-ln(lnb)，构造函数f(x)=x-lnx，即有f(a)≤f(lnb).

同步练习：

练习3：已知对于任意的实数m,n，不等式kmen-1-2n+1+(2n-2m+1)e2n-m≥0恒成立，则实数k的取值范围为________.

3 结束语

数学核心素养的培养与落实往往需要很多具体的材料与媒介，同构的思想就是较好的媒介之一.学生对同构的认知与应用体现了对数学相关概念与思想的理解深度，这也是同构相关的试题越来越多的原因之一.学生需要具有相关的学科视角和对应的学科思想，这是我们当前教育的主旋律，也就是更需要学生能够从整体上认识与把握相关学科，进而在细节的完善中成为一个发展完整的人，才能达成我们的教育目标.函数中的同构联结了其形式与内在的统一，自变量与函数值的依存关系通过同构的转化体现得淋漓尽致，不仅有数学思想的深刻性，也给人以美的感受，是更高的科学追求.当然，同构的思想在其他领域，如解析几何的相关运算中也有很多应用，亟待我们继续发掘和探索.