在概念教学中促进学生数学思维的发展

【摘要】本文基于概念学习的本质，以课例研究的方式，探讨通过课前梳理明晰概念“身世”、通过操作体验溯源概念本质、通过多元建构深化概念体悟、通过深度思考丰富概念内涵、基于综合运用延伸概念关联的概念教学五大策略，促进学生数学思维的发展，培养学生“用数学的思维思考现实世界”的核心素养。

【关键词】概念教学 数学思维 问题串

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2022）16-0042-04

数学为人们提供了一种理解和解释现实世界的思考方式。《义务教育数学课程标准（2022年版）》把“会用数学的思维思考现实世界”作为数学课程要培养的学生核心素养的一个重要方面，认为在义务教育阶段，数学思维主要表现为运算能力、推理意识或推理能力;而运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感知，推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力。下面笔者以人教版数学二年级下册“平均分”教学为例，谈谈在概念教学中促进学生数学思维发展的做法。

一、课前梳理，明晰概念“身世”

数学是逻辑性很强的学科，小学数学学习涉及众多的数学概念，包括数的概念、运算的概念、常见的量的概念、图形的概念、图形运动的概念、式与方程的概念、正比例和反比例的概念、统计图表的概念等。每个数学概念都不是独立存在的，许多数学概念之间隐含着千丝万缕的联系，构成线性或网格式的概念群。教师沿着“教什么”“为什么教”“怎样教”的路径进行教学思考，必须确立“以学生为中心”的教学观，在进行概念教学准备时，务必帮助学生厘清概念的“身世”，包括其“前世”“来生”，为学生正确地认识和理解概念打下坚实的基础。

美国著名认知心理学家约翰·安德森（John R.Anderson）提出：新的知识是需要学习者自我建构的，然而学习者不是简单地将新知存储在大脑中，而是必须将新知与自己的旧知建立关系，这个建立关系的过程就是学习的本质。基于约翰·安德森的学习观，教师在课堂教学中要善于利用学生已有的数学知识与学习经验，创设贴近学生学习需求的教学情境，激发学生学习的内驱力。

针对本课教学，教师要让学生明白：在学习新课之前，他们对“平均分”的数学知识是有所了解和感知的，这便是“平均分”的前概念，或者说是“平均分”概念的“前世”。比如：在“数的分与合”的操作中“似曾相识”地体验过“平均分”，知道2可以分成1和1，4可以分成2和2;在解决实际问题“3个同学一起折小星星，每人折了6个，一共折了多少个？”“女孩剪了8个窗花，男孩剪的窗花和女孩一样多，男孩和女孩一共剪了多少个窗花？”的过程中曾经经历过“每份同样多”。除了“前世”，学生还要对概念的“来生”有所感知。比如，在学完“平均分”之后，他们便可以学习“除法的认识”“分数的认识”“倍的认识”“按比例分配”等新知识了。

二、操作体验，溯源概念本质

概念教学中，对于教材中完整呈现的数学概念“每份分得同样多，叫平均分”，教师通常用读概念、记概念、用概念的方法推进教学，而有意无意地忽略了概念的形成过程，结果便是学生只知其然而不知其所以然，既不利于学生建构数学知识的前后联系，更不利于促进学生数学思维的发展。

课堂教学“平均分”例1把6颗糖果分成3份的内容，笔者没有直接呈现课本中分糖果的过程和答案，而是对题目稍稍进行了改编，引导学生通过“摆一摆”的操作体验活动，自主探究问题解决的方案。最终学生用交互式电子白板呈现了自己的数学思考和操作结果，总共呈现了三种不同的分法（如图1），且多数学生“喜欢第三种分法，因为这种分法让每人分得的糖果同样多，更公平”。

以此为基础，笔者开始将实物糖果抽象为数学图形“○”，设计了一个更加开放的“分一分”操作活动，引导学生在做中学、做中思、做中悟，进一步发展操作能力、表达能力、概括能力和创新思维能力。

师：老师也喜欢这种“每份分得同样多”的分法。如果老师把糖果换成6个“○”，你还会分吗？（生齐答“会”）那怎样分才能让每份同样多呢？请你和同桌商量一下，再分一分，并把你的分法画下来。

学生完成操作后，汇报交流了三种不同的分法（如图2）。

师：谁来说一说，上面的三种分法有什么相同的地方？

生1：都有6个“○”。

生2：分得的结果都是每份同样多。

师：说得真好，一句话就把三种分法的共同点讲清楚了。像这样每份分得同样多的分法，就叫“平均分”。（板书：每份分得同样多，叫平均分。）

师：你能用“平均分”说一说上面的三种分法吗？

生1：共有6个“○”，每3个“○”为一份，平均分成了2份。

生2：共有6个“○”，每2个“○”为一份，平均分成了3份。

生3：共有6个“○”，每个“○”为一份，平均分成了6份。

师：谁还有不同的说法？

生4：把6个“○”平均分成2份，每份是3个“○”。

生5：把6个“○”平均分成3份，每份是2个“○”。

生6：把6个“○”平均分成6份，每份是1个“○”。

生7：老师，我还有一种分法，就是把6个“○”分成一份，每份还是6个“○”。

师：老师要特别感谢小铭（指生7）的分享，我们一起来看看这种分法是不是“每份分得同样多”。（师在交互式电子白板一边演示一边讲解）把6个“○”分为一份（圈出一份，如图3），还有哪一份跟它一样多？（生齐答“没有”）所以这种分法是不是平均分？（生齐答“不是”）原因在哪里？（生纷纷议论作答）是的，他没有把6个“○”分成几个部分。

以上“分一分”活动，进一步激发了学生探究新知的欲望;在直观形象、生動具体的学习情境中，学生明白了“平均分”中隐含了“分成几个部分”且“每个部分一样多”的真正含义。以上活动设计，超越了教材“比一比哪种分法是平均分”的思维局限，引导学生通过画图操作、多重对比、反复思辨，牢牢地抓住了“平均分”的本质“每份分得同样多”，促进了学生对概念的深度理解。

三、多元建构，强化概念体悟

皮亚杰的建构主义理论强调，学习是积极主动的意义建构过程。小学数学每一个新概念的学习过程对学生来说都是一次知识再造的过程。

在本课中，当学生在“摆一摆”的活动中初步认识了“平均分”的本意，在“分一分”的活动中加深了对“平均分”概念本质的理解之后，笔者紧接着创设了一个“画一画，圈一圈，说一说”的系列活动，让学生手、脑、眼、嘴、耳多种感官同步参与学习探究活动，强化学生对“平均分”概念的讨论和个性化体悟。

师：学校大队部开展“学雷锋”志愿服务活动，准备把12个垃圾铲平均分给各中队，你知道可以分给几个中队、每个中队分得几个吗？请大家试着画一画、分一分。

生1：我用小棒表示垃圾铲，如果2个2个分，可以分给6个中队;6个6个分，可以分给2个中队;4个4个分，可以分给3个中队;3个3个分，可以分给4个中队;1个1个分，可以分给12个中队。（师课件呈现学生的画法、分法，如图4）

生2：我也是这样分的，还记下了每次分得的份数。

生3：我用不同颜色的彩铅圈出不同的分法，可以看得更清楚。（师课件呈现学生的画法、分法，如图5）

师：老师赞同大家的分法。不过，老师只画了一幅图，大家想看看吗？（生齐答“想”，师课件出示图6）

生4：老师，还可以用乘法口诀来分，比如，二六十二，可以是2个一份，也可以是6个一份;三四十二，可以是3个一份，也可以是4个一份。

师：你真会联想，在“画一画”的过程中居然想到了学过的乘法口诀！老师给你点个赞！

在“画一画、圈一圈、说一说”的系列活动中，学生经历了操作、表达、说理的过程，结合图示表达自己对平均分的认识、理解和应用，深刻体悟“每份分得同样多就是平均分”的概念，主动建构一个数里包含有几个几的“包含分”的意义，促进了数学思维的发展。

四、深度思考，丰富概念内涵

苏霍姆林斯基曾说：学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心创造与体验的方法来学习数学。教材中的内容相对来说是线性发展的，通常是按照一定的规则由问题推导出结果，而忽视了学生个体不同的理解水平。如果换成由小学生自主推导，这个过程中极有可能出现“非正常”的结果。为此，笔者再次改编了教材内容的呈现方式，针对例2教学，通过设置有效的“问题串”，促进学生的数学思考，引导学生通过细思慢学、层层递进，最终实现对“等分”意义的深度理解。

问题1：把18个桔子平均分到6个盘子里，每个盘子里放几个？先说说你打算怎样分，再画出你的分法。

生1：我1个1个地分，边分边数，直到分完为止。最后发现，每个盘子里可以放3个桔子。（师课件展示该生的分法，如图7）

生2：我先2个2个地分，再1个1个地分，也是每个盘子放3个桔子。

师：谁还有不同的分法？

生3：我是这样想的，因为有6个盘子，乘法口诀三六十八，每个盘子直接就分3个桔子，18÷6=3。

师：先想乘法口诀再分，能分得更快。老师还没教除法，你就会用除法算式表示了，真厉害！

师：同学们再想一想，是不是每次都能用乘法口诀来分呢？如果老师现在拿走一个盘子，剩5个盘子，18个桔子还可以平均分吗？（课件呈现“问题2”）

问题2：18个桔子能平均分到5个盘子里吗？说说你是怎么想的。

生4：我认为不能进行平均分了，因为我1个1个地分，分完之后有的盘子分得4个桔子，有的盘子分得3个桔子。

师：还有不同的分法和想法吗？

生5：我认为每个盘子可以分得一样多，都放3个，还剩下3个不用分，课本后面“有余数的除法”就是这样分的。

师：你的自学能力太强了，真是出乎老师的意料！给你点两个赞！

师：在日常生活中，当我们“平均分”物品的时候，可能刚好能够“分得完”，也可能“分不完”、有剩余。大家再想一想，要把18个桔子全部平均分到盘子里，应该准备几个盘子才合适呢？（课件出示“问题3”，要求学生以四人小组为单位合作完成如表1所示学习单）

问题3：把18个桔子平均分到盘子里，要求全部分完，准备几个盘子合适？

生6：我们小组有4个解决方案。方案一，准备6个盘子，每个盘子分得3个桔子;方案二，准备3个盘子，每个盘子分得6个桔子。方案一和方案二用的都是乘法口诀“三六十八”。方案三，准备2个盘子，每个盘子分得9个桔子;方案四，准备9个盘子，每个盘子分得2个桔子。后两个方案用的都是乘法口诀“二九十八”。

生7：我们小组补充方案五，准备18个盘子，每个盘子分得1个桔子。

生8：我补充意见，以上方案都可以用除法算式表示，18÷6=3，18÷3=6，18÷2=9，18÷9=2，18÷18=1。

师：看来，大家对“平均分”的真面目认识得越来越清晰了，平均分就是——（生答）每份分得同样多。

像这样“细思慢学”，不仅关注学生获取数学知识的结果，更重视学生进行数学思考、获取数学知识的过程。如图9所示，“想、画、数、听、说”都紧紧围绕核心问题串展开，3个核心问题对应3个不同层次的操作活动，着眼于平均分概念本质“每份分得同样多”不同层面的理解，有效促进了学生数学思维的发展。

师：刚才我们是用什么方法解决分糖果、分圆片、分垃圾铲、分桔子的问题的？

生：画图和列表的方法。

師：画图、列表都是学习数学的好方法。现在谁来说说你眼中的“平均分”是什么样子的？

生1：平均分就是分东西的时候，每份分得同样多。

生2：平均分有时候正好分得完，有时候会有剩余。

生3：可以用乘法口诀来做平均分的题目。

生4：还能用除法算式表示平均分。

以上教学过程，通过创设适合的学习情境、思考路径、表达环境，引导学生运用适合的方法学习、理解和解决“平均分”的问题，实现了“三个转化”，即数学知识学习转化为学生内心的创造和体验，动态操作转化为静态留痕，具体事物（糖果、垃圾铲、桔子）转化为抽象的几何图形（“○”“|”）。整节课围绕三次“画平均分”展开，学生画一次解决一个关键知识点，有效的操作活动逐渐掀开“平均分”的面纱，形成了“分成几部分，各部分一样多”→“包含分”→“等分（正好分完或分后有剩余）”的完整学习链条，让学生准确、完整地建构起“平均分”的概念，既知其然又知其所以然。

五、综合运用，延伸概念关联

数学概念之间联系紧密，层层推进，通常前一个概念是后一个概念学习的基础，而后一个概念又是前一个概念的扩展、升级、完善，最终形成纵横交错、密切关联的知识网络。概念教学一向具有承前启后的作用。“平均分”的学习是为除法和分数的学习做准备的，课堂中的平均分案例都是对多个物品或图形的平均分，为了延伸概念关联，增强学生对数学知识的过程性、关联性、整体性和发展性的体悟过程，笔者设计了下面的实践操作练习：要把一根彩带平均分给四个小朋友，你打算怎么做？同时为每一个学生准备了一张20厘米长的纸条，引导学生在综合运用知识解决问题的过程中修改、完善操作方案，发展对“平均分”概念的认知，强化对该概念全面而深刻的理解，以及长久的记忆。

在接下来的学习成果展示活动中，生1“把纸条对折再对折，得到了4个大小一样的长方形并把它们裁开分给了四个小朋友”，笔者引导学生思考“她的办法是不是平均分，为什么”，学生能够基于自身对概念的理解进行解答“是平均分，因為每份分得同样多”。最后笔者进行小结：生活中我们可以把几个物体平均分，也可以把一个物体平均分，只要每份分得同样多就是平均分。

本课教学秉持“向学而教，以学定教，为学善教”的教学理念，运用学生喜闻乐见的“画概念”学习方式，让学生在不同层面的操作活动中积极思考、动手实践、自主探索、合作交流，在操作体验中积累数学活动经验，在观察比较中发展数学思维，在课堂讨论中培育思辨能力，有效发展了学生的运算能力、推理意识和推理能力，促进了学生数学思维的发展。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：8-9.

[2]陈沙沙，蔡金法.合作学习中的问题提出助力概念理解：“周长”教学实践与思考[J].小学数学教师，2020（2）：17-21.

[3]王永春.小学数学核心素养教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2019.

作者简介：黄凤扬（1974— ），广西德保人，高级教师，广西特级教师，主要研究方向为数学教育和教育管理。

（责编 白聪敏）