线圈在通电直导线旁平移过程中磁通量的变化量求解

王伟民

摘要：分析线圈穿越通电直导線的“理想”过程中，穿过线圈磁通量的变化量为无穷大的原因;对三角形线圈在无线长通电直导线产生磁场中沿确定方向平移运动一段确定距离（但没有穿过通电直导线）的过程中穿过线圈磁通量的变化量进行求解.

关键词：线圈;磁通量;微元;平移;磁场强度

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0115-03

例1如图1所示，无限长绝缘直导线L通入的电流为I，与边长为a的正△ABC线圈共面，且BC∥L，线圈沿其所在的平面按垂直于直导线的方向向上运动.求从线圈顶点A刚接触直导线L到BC边离开直导线L的过程中，穿过正△ABC线圈磁通量的变化量.

上面这道题目是早前有老师在某个物理QQ群内询问的一个问题，我们尝试分析一下可否求解.

△ABC线圈穿越通电直导线L某一时刻的情形如图2所示，设此时顶点A到直导线L的距离为x，因为在线圈按题目要求向上平移穿越通电直导线的过程中，其平移运动方向的变化不影响穿过线圈磁通量的变化量，所以，为便于分析，我们可以按线圈沿AB边所在直线的方向平移进行求解.

图2中，线圈斜向上运动一个竖直微元距离dx达到△A′B′C′位置，由于通电直导线L上下两侧的磁场方向相反，所以，若取垂直纸面向外的方向为磁通量的正方向，跟原来处于△ABC位置时穿过线圈的磁通量相比，线圈到达△A′B′C′位置后，穿过线圈磁通量的增量dΦ将等于穿过面S3的磁通量dΦ3减去分别穿过面S1和S2的磁通量dΦ1和dΦ2之和：

dΦ=dΦ3-（dΦ1+dΦ2）

因为空间内到无限长通电直导线距离为r位置点的磁场强度为B=kIr（I为导线中的电流，k为比例系数），所以

dΦ1=S1B1

=a·dx·kI32a-x

=akI32a-xdx.

由于面S2和S3的纵向长度较大，不像S1那样纵向长度是一段微元，而这两个面上到通电直导线L距离不等的点磁场强度不等，所以无法用上述求解dΦ1的方法那样去求解dΦ2和dΦ3.我们不妨将dx视为常量，采用定积分的方法来求解dΦ2和dΦ3

如图3所示，在面S3上到通电直导线L距离为y的位置取一段竖直宽度为dy的微元，则有：

dΦ3=∫32a-x0233dx·dy·kIy

=233kI·dxlny32a-x0

=233kI·dx[ln（32a-x）-ln0]

这里ln0是一个没有意义的数，求解将无法再继续进行下去.那么，问题出在何处？

由无限长通电导线周围空间的磁场强度公式B=kIr可以看出，当三角形线圈上的某点运动到通电导线位置时r=0，则线圈该处的磁场强度B成了一个无穷大的数值了，所以，穿过线圈某一个确定平面的磁通量也将变得无穷大，而ln0虽然没有意义，它却表示负无穷大，所以-ln0表示无穷大.看起来，线圈穿越通电直导线时，穿过线圈的磁通量的变化量为无穷大，这在实际操作中是不可能发生的状况——实际的导线和组成线圈的导线都有一定的粗细，线圈与通电直导线最近的情况也只是线圈导线与通电直导线的侧面相切的情形，此刻它们的轴心有一定的距离，所以，实际情形中是无法完成“线圈穿过通电直导线”这样的“理想”操作的.为使问题有实际意义，我们不放将例题1给出的问题条件适当更改，对题目进行如下改编——

例2如图4所示，边长为a的等边△ABC线圈与无限长通电直导线L共面，L中电流为I，且BC∥L，初始时刻线圈边BC与L间的距离为332a，求将△ABC线圈向上平移32a的过程中穿过线圈磁通量的变化量？

解析无论是倾斜向上平移还是竖着向上平移，在△ABC线圈竖直向上运动同样距离的过程中，穿过三角形线圈磁通量的变化量相同，所以，我们可让线圈沿AB边所在直线斜向上平移进行求解.设平移过程中线圈在某一时刻的位置如图5所示，此时三角形线圈的顶点A到通电直导线L的距离为x，接下来让线圈向上平移一段微元距离dx（dx是线圈倾斜平移过程中在竖直方向运动的微元距离），跟△ABC线圈原来所在位置相比，平移微元距离dx到达△A′B′C′位置之后，穿过线圈磁通量的变化量dΦ等于穿过面S2的磁通量dΦ2与穿过面S1的磁通量dΦ1之差：

dΦ=dΦ2-dΦ1

而dΦ1=S1B1=adx·kIx+32a=akIx+32adx

为表示dΦ2，将x和dx视为常量，在面S2上到线圈顶点A竖直距离为y处取一竖向微元dy，则有：

dΦ2=∫32a0233dx·dy·kIx+y

=233kIdxln（x+y）32a0

=233kI[ln（x+32a）-lnx]dx

∴dΦ=dΦ2-dΦ1

=233kI[ln（x+32a）-lnx]dx-kIax+32adx

=kI[233ln（x+32a）-233lnx-ax+32a]dx

所以，将△ABC线圈向上平移32a过程中穿过线圈磁通量的变化量ΔΦ为：

ΔΦ=∫32a3akI[233ln（x+32a）-233lnx-ax+32a]dx

=kI{233[（x+32a）ln（x+32a）-（x+32a）]

-233[xlnx-x]-aln（x+32a）}32a3a

=kI{233[（3a）ln（3a）-（3a）]-233[32aln32a-32a]-aln（3a）}

-kI{233[（332a）ln（332a）-（332a）]-233[3aln（3a）-3a]-aln（332a）}

=kI[2aln（3a）-2a-aln（32a）+a-aln（3a）]

-kI[3aln（332a）-3a-2aln3a+2a-aln（332a）]

=3kIa[ln（3a）-ln（332a）]

运用上述方法，我们可以对其它具有固定几何形状的平面状线圈，在一条无限长通电直导线产生磁场中沿确定方向平移运动确定距离过程中（平移过程中线圈的任何部位不触碰通电直导线），穿过线圈磁通量的变化量.

参考文献：

[1] 吴秀钦.对高中物理解题思维方法的有效探讨＼[J＼].数理化解题研究，2021（22）：84-85.

[2] 李习凡.例谈数学方法解决高中物理最值问题＼[J＼].中学生数学，2014（5）：45-46.

[责任编辑：李璟]