初中一年级第2试

一、选择题

（A）1999.（B）-1999.

（A）负数.（B）非负数.

（C）正数.（D）非正数.

3.下面四个命题中正确的是（）

（A）相等的两个角是对顶角.

（B）和等于180°的两个角是互为邻补角.

（C）连接两点的最短线是过这两点的直线.

（D）两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直.

4.a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图1所示，则（）

5.7-a的倒数的相反数是-2，那么a=（）

（A）9.（B）7.5.（C）5.（D）6.5.

（A）68°.（B）78°.（C）88°.（D）98°.

（A）1个.（B）2个.（C）3个.（D）4个.

8.不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是（）

（A）3.（B）1.（C）7.（D）9.

（A）1.（B）5.（C）8.（D）3.

10.若n是奇自然数，a₁，a₂，…，a_n是n个互不相同的负整数，则（）

（A）（a₁+1）（a₂+2）…（a_n+n）是正整數.

（B）（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）是正整数.

二、填空题

11.如图2，线段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于________厘米.

13.P是长方形ABCD的对角线BD上的一点，M为线段PC的中点.如果三角形APB的面积是2平方厘米，则三角形BCM的面积等于________平方厘米.

15.如图3，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON=50°，∠BOC=10°，则∠AOD=________.

16.三个不同的质数a，b，c满足ab^bc+a=2000，则a+b+c=________.

17.从0，1，2，3，4，56，7，8，9这十个数中选出五个组成五位数，使得这个五位数能被3，5，7，13整除.这样的五位数中最大的是________.

18.A、B两个港口相距300公里.若甲船顺水自A驶向B，乙船同时自B逆水驶向A，两船在C处相遇.若乙船顺水自A驶向B，甲船同时自B逆水驶向A，则两船于D处相遇，C、D相距30公里.已知甲船速度为27公里/小时，则乙船速度是________公里/小时.

20.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序.在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测.甲猜：乙第三，丙第五;乙猜：戊第四，丁第五;丙猜：甲第一，戊第四;丁猜：丙第一，乙第二;戊猜：甲第三，丁第四.老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是________，第三是________，第五是________.

三、解答题

21.一个长方形如图4所示恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1平方厘米.求这个长方形的面积.

22.已知一组两两不等的四位图数，它们的最大公约数是42，最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个？它们的和是多少？

参考答案

一、选择题

提示

1.根据相反数的定义，

选（C）.

2.由绝对值定义

选（A）.

3.如图5，∠AOC=∠BOC=90°，但∠AOC与∠BOC不是对顶角，排除（A）.

如图6，a∥b，同旁内角∠1+∠2=180°，但∠1与∠2并非互为邻补角，排除（B）.

两点之间最短距离是连接这两点的线段，不能表述为过这两点的直线，排除（C）.因此应选（D）.事实上，（D）正是两条直线互相垂直的定义.

4.由图1可见c

所以0

由②知，应排除（D）.

所以应选（B）.

选（D）.

解得α=78°.

选（B）.

7.由ac<0，可知a≠0，c≠0，a，c符号相反.

因此a²·ac<0.

即ca³<0.

且c²·ac<0，

即c³a<0.

若a=-1，c=1，ac=-1<0，但

a²·c=1>0.

若a=1，c=-1，ac=-1<0，但

a·c²=1>0.

可见，ac²<0，a²c<0不一定成立.

选（C）.

8.不超过100的所有质数中包含质数2与5，所以不超过100的所有质数的乘积个位数字是0.不超过60的个位数字是7的质数只有7，17，37，47四个，其乘积的末位数字是1，所以，不超过100的所有质数的乘积减去不超过60的个位数字为7的所有质数的乘积所得差的个位数字为9.

选（D）.

9.①当0≤a≤2时，

②当2

③当3

=2a-5≤2×4-5=3.

当a=4时，达到最大值3.

选（B）.

10.a₁，a₂，…，a_n是n个互不相同的负整数，其中n是奇自然数.

若a₁=-1，（a₁+1）=0，则（a₁+1）（a₂+2）…（a_n+n）=0排除（A）.

若a₁=-1，a₂=-2，a₃=-3，…，a_n=-n时，

（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）

=（-2）（-4）（-6）…（-2n）

=（-1）ⁿ2×4×6×…×（2n）<0

（因为n是奇数）.

故排除（B）.

事实上，若a₁<0，a₂<0，…，a_n<0，则

因此选（D）.

二、填空题

提示

11.图7中，

长为1厘米的线段共4条，

长为2厘米的线段共3条，

长为3厘米的线段共2条，

长为4厘米的线段仅1条.

图7中所有线段长度之和为

1×4+2×3+3×2+4×1=20（厘米）.

相加得2s=1+2+3+4+…+49

又2s=49+48+47+46+…+1

相加得4s=50×49=2450

所以s=612.5

13.根据题意画图，如图8所示.连接AC交BD于O，则△ABO的面积等于△CBO的面积.△APO的面积等于△CPO的面积.因此，△ABP的面积等于△CBP的面积，所以由△APB面积是2平方厘米，可知△CBP面积是2平方厘米.而BM是△CBP的一条中线，三角形中线平分三角形的面积，所以△BCM的面积等于1平方厘米.

试除知231×230=53130

231×231=53361

231×232=53592

231×233=53823

231×234=54054

可见x=2，y=3.

x²-y²=4-9=-5.

15.如图9，∠AOD

=∠AOB+∠BOC+∠COD

=2∠MOB+∠BOC+2∠CON

=2（∠MOB+∠BOC+∠CON）-∠BOC

=2∠MON-∠BOC

=2×50°-10°=90°.

16.易知a（b^bc+1）=2000=2⁴×5³

若a=5，则b^bc+1=400，

所以b^bc=399=3×133=3×7×19.

无论c=3、7或19都不能求得质数b，故a≠5.

只能取a=2，此时b^bc+1=1000.

所以b^bc=999=3³×37，

則b=3，c=37.

因此，a+b+c=2+3+37=42.

17.所求五位数能被3、5、7、13整除，当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除.即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数.

通过除法，可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645.

但99645的五个数码中有两个9，不合题意要求.可依次算出

72×1365=98280（两个8重复，不合要求）.

71×1365=96915（两个9重复，不合要求）.

70×1365=95550（三个5重复，不合要求）.

69×1365=94185（五个数码不同）.

因此，所求的五位数最大的是94185.

18.已知A、B两港相距300公里，甲船速为27公里/小时.设乙船速为v公里/小时，水流速为x公里/小时，则甲船顺水速为（27+x）公里/小时，逆水速为（27-x）公里/小时.

乙船顺水速为（v+x）公里/小时，

逆水速为（v-x）公里/小时.

甲船自A顺水，乙船自B逆水同时相向而行，相遇在C处时间为

同理，乙船自A顺水，甲船自B逆水同时相向而行，相遇在D处所需时间为

可见，两个时间相等.

10v-270=27+v，

9v=297，v=33（公里/小时）.

270-10v=27+v，11v=243，

19.由观察可知，当x≥1时，

4x²-5x+9>0

x²+2x+2>0.

所以，当x=1999时，

原式=4x²-5x+9-4（x²+2x+2）+3x+7

=-13x+9-8+3x+7

=-10x+8，

将x=1999代入，

原式的值=-19990+8=-19982.

20.将每人猜测的出赛顺序列如下表：

由于每人的出赛顺序至少被一人猜中，戊被猜测的两个顺序号都是第四，故可确定戊是第四位出赛.这时丁不能第四位出赛，而丁的顺序至少被一人猜中，所以丁应第五位出赛.顺序推得丙只能第一位出赛，甲第三位出赛，乙第二位出赛.

答：出赛顺序第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁.

三、解答题

21.图12中的正方形分别标以A，B，C，D，E，F，显然最小的正方形A的面积是1平方厘米，它的边长为1厘米.

设最大正方形B的边长为x厘米，则C的边长为（x-1）厘米，D的边长为（x-2）厘米，E的边长为（x-3）厘米，F的边长也为（x- 3）厘米.

根据矩形对边相等，得

2（x-3）+（x-2）=x+（x-1）

即3x-8=2x-1，

所以x=7，（厘米）

于是，C的边长为6厘米，D的边长为5厘米，E和F的边长均为4厘米.

长方形的面积为

（7+6）×（7+4）=13×11=143（平方厘米）.

22.①设这组四位数共n个，分别为

a₁=42x₁，a₂=42x₂，…，a=42x_n.

其中的每个a_i=42x_i是四位数，

所以1000≤42x_i<10000

②由题设知

90090=[a₁，a₂，…，a_n]

=[42x₁，42x₂，…，42x_n]

=42[x₁，x₂，…，x_n]

其中23i<239（*）

可知x_i是由3，5，11，13每个至多用一次组合成的在23和239之間的自然数，并且两两不同.其中两个质因数组合且满足（*）式者，只有33，39，55，65，143，三个质因数组合且满足（*）式者，有165和195，一个质因数以及多于三个质因数的积，都不能满足（*）式.因此最多产生7个两两不同的四位数：

a₁=42×33=1386，

a₂=42×39=1638，

a₃=42×55=2310，

a₄=42×65=2730，

a₅=42×143=6006，

a₆=42×165=6930，

a₇=42×195=8190.

它们的和等于

42×（33+39+55+65+143+165+195）

=42×695

=29190.

答：这组两两不同的四位数最多是7个，它们的和是29190.