大概念：数学理解与教学的基点<br/>——以“平面”一课为例

大概念：数学理解与教学的基点
——以“平面”一课为例

2022-07-06吕增锋

中小学教师培训 2022年7期

吕增锋

（浙江省象山县第二中学，浙江宁波 315731）

数学理解是正确、有效教学的基础，也是指导学生学会学习的基础，更是激发学生学习兴趣与减轻学生学习负担的基础。教师只有真正地理解数学，才有可能把知识教“活”而不是教“死”［1］。虽然，“为理解而教，为理解而学”已经成为广大一线教师的共识，但要达成真正“理解”却并非易事。

一、教学问题剖析

最近，象山县举行了教坛新秀课堂教学评比活动，上课的主题是人教A版必修第二册立体几何初步中的“8.4.1 平面”，由于参赛的6 位教师“理解”得不够到位，导致教学中出现一系列问题。

1.教学结构“碎片化”

“平面”这节课内容看似简单，但其中涉及的知识点却比较多，有平面的基本特征、平面的画法、平面的表示、三个基本事实、三个推论、实际应用等。6 位教师教学虽然都按照“定义—表示—基本事实—概念辨析”的逻辑顺序展开，但由于没有厘清知识之间的关联性，比如，三个基本事实与“平面”基本特征存在什么关系、三个基本事实之间又有什么联系，从而导致课堂教学结构松散，呈现出“碎片化”状态。

2.教学难度“随意化”

在这6 节课中，有些课无视学生已经学过平面几何与空间简单几何体的事实，生怕学生学不会，所有的知识点都事无巨细地向学生解释一遍；有些课无视“用符号语言表示点、线、面简单位置关系”的教学要求，竟然把空间中的平行、垂直等复杂关系的符号表示也纳入进来，甚至还要求学生运用基本事实与推论来证明空间中比较复杂的共线、共面问题。教学难度设置“随意化”，使得教学与学生的实际认知水平相脱离。

3.教学手段“无效化”

在本节课中，三个基本事实的获得是公认的难点，有教师就借助数学实验这个手段来进行：给学生发放用纸卷起来的小棍，要求学生用最少数量的小棍把卡纸支撑起来，其初衷是为了让学生发现“三点支撑”具有“稳定性”，从而获得“不共线的三点确定一个平面”的基本事实。但在操作中，有学生用1 根小棍，即“1 点”就把卡纸立起来了，也有学生用了2 根小棍把卡纸支撑起来了，结果不仅没有收到预期的效果还引发了不必要的争论。究其原因，就是物理的“稳定性”与“平面的确定性”并不是两个等价概念，要达到稳定并非要形成确定的平面，而平面也并非意味着稳定，而且纸棍有粗细、卡片有厚度与宽度，这更增加了结论的不确定性。

二、大概念的内涵及分类

那么，有没有促使“理解”的办法？那就是站在数学学科大概念的高度开展数学理解。大概念可以被界定为反映专家思维方式的概念、观念或论题，它具有生活价值［2］，是“居于学科基本结构的核心概念或若干居于课程核心位置的抽象概念整合相关知识、原理、技能、活动等课程内容要素，形成有关联的课程内容组块”［3］。大概念能够解释较大范围内的一系列相关现象、事实以及相互关系；能将较大范围内分散的知识和事实联结为有结构、有系统的整体；能作为一种解释模型，赋予个别的、具体的事实以深层的意义。

按照大概念所在的层级，由高到低可以被细分为课程大概念、单元大概念、章节大概念、课时大概念。课程大概念处顶尖位置，其下面的三个“大概念”相对于它来说就成了“小概念”或者“次要概念”；同样，课时大概念、章节大概念，相对于单元大概念来说，也是“小概念”“次要概念”，这也说明了大概念的“大”具有相对性，在每个层级中都有处于统摄地位的“大”概念。对于本节课而言，“几何学是认识现实世界的基石”是其中的一个课程大概念，“立体几何是研究空间中数量与位置关系的科学”是其中的一个单元大概念，“点、线、面的位置关系”是其中的一个章节大概念，“平面的无线延展与平的特性”是其中一个课时大概念。

按照大概念的教学功能来分，可以被分为指向“数学是什么”“数学如何学”“数学有什么用”“数学怎样才算学得好”的大概念。当然这些指向有的是“明指”，有的是“暗指”。比如，“几何学是认识现实世界的基石”明指“几何学是基石”，暗指“几何学在数学中的基石作用”；又比如，“平面的无线延展与平的特性”明指“平面具有的特性”，暗指“学习平面应该知道平面的这些特性”。

三、大概念引领下的数学理解与教学

从大概念中教师可以获得数学“学什么”“如何学”“学得怎样”等关键信息，因此，立足大概念开展数学理解，不仅可以让教师知道教什么，而且还知道为什么而教；不仅能帮助教师深入理解学生，而且还能深入理解设计——单元设计、活动设计、问题设计等。不仅如此，教师还能用自己丰富的专业知识，借助大概念引领学生像专家那样思考，使学生也成为学习的专家。

1.立足“学什么”的大概念，实现知识结构化

通常情况下，知识点是零碎地分布在教材中，数学理解的第一步就是要厘清这些知识点的内在逻辑联系，寻找统摄整个教学内容的“主线”，把知识点有机地串联起来，形成囊括数学知识与思想方法的网状认知结构，从而为学生提供一个统筹兼顾、整体规划的认知体系。而“主线”往往需要借助“学什么”的大概念来确定。

作为研究空间线面位置关系的起始课，本节课要学习的并不是几个知识点，而是重在体验“研究立体几何的基本套路”，即“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”，这就是这节课“学什么”的大概念。在此基础上，把“基本套路”进一步细化，还可以衍生出一系列的“小套路”。比如，发现公理与定理的套路：生活现象（经验）——数学原理，即通过观察生活现象，联系生活经验，提炼隐藏在其背后的数学原理；又比如，借助新的几何对象来判断空间位置关系的套路：借助“点”是否在平面内来判断线是否在平面上、利用线线平行来判断线面平行等。相比“基本套路”这个大概念，这些“小套路”可以看作“次要概念”“小概念”。大概念就是本节课的教学主线，而这些“次要概念”“小概念”可以作为构建网状结构的节点，具体如图1所示。

图1 大小概念间的网状结构图

2.立足“如何学”的大概念，构建教学过程

数学教学的对象是学生，教学的起始点应基于学情。因此，数学理解的第二步就是从“如何学”的大概念出发，围绕知识层面、思维层面与核心素养层面对学生的学习状态进行详细诊断，即了解学生已经知道了什么、还有什么是不知道的、学习中可能遇到哪些困难等，从而为构建符合学生认知方式的教学过程提供依据。

立体几何是平面几何在三维空间中的拓展与推广，平面几何的学习经验完全可以迁移到立体几何的学习中。因此，“类比平面几何的学习经历”就是这节课其中一个“如何学”的大概念。比如，通过在初中平面几何的学习，学生已经知道“点无大小”“线无粗细”，类比后可获得“平面无厚薄”的结论；学生知道“直线沿两端无限延伸”，类比后可发现“平面向四周无限延伸”；学生知道“动点成线”，类比后发现“动线成面”“动面成体”；学生知道“两点确定一条直线”，类比后可以得出“不共线的三点确定一个平面”；还可以类比直线的表示方法来表示平面……总之，通过类比，几乎可以发现和获得这节课的所有知识内容。

本节课还有一个重要的“如何学”的大概念，就是“动手操作”或者说“数学实验”，它是发现“三个基本事实”的必要手段。虽然学生不乏“数学实验”的经历，但却鲜有对实验方案设计的思考。实验方案的设计取决于实验目的，若目的不明就很容易出现课例中那样的无效实验。从表面上看，发现“三个基本事实”是本次实验的目的，但由于事先不清楚这“三个基本事实”的内在逻辑关系，学生很难从实验现象中提炼出相应的数学原理，最终只能是教师直接给出“希望学生看到的结果”。实际上，“三个基本事实”都是为了说明平面的“平”这一本质属性，即分别用“点”“线”“面”三个几何对象来刻画平面的“平”。因此，“验证平面的平”才是指导本次数学实验的大概念。

在这个大概念的引领下，可以设计这样的三个实验（如图2）：分别用四只脚的凳子、直尺、三角尺来验证地面是否平整，然后对实验现象进行分析，抽象出一般的数学原理。对于第一个实验，如果凳子会摇晃，说明桌子的四只脚不在同一平面内，地面不平。反过来说，如果地面是平的，如果凳子的四只脚中有三只脚在地面上，那么另一只也一定在地面上。把凳脚抽象为点，由此就可以发现“基本事实1”。对于第二个实验，在地面上任意位置放置直尺，如果地面不平，那么直尺应该与地面有缝隙，直尺不能完全落在地面上；反过来说，如果地面是平的，只要保证直尺两端紧贴地面，直尺就贴紧地面。把直尺抽象为直线，由此可以发现“基本事实2”。对于第三个实验，要验证地面平，一种方法是把三角尺平放在地面各处，看看是否有空隙，如果没有就表示平，反之就不平；还有一种方法，就是把三角尺立起来，用其中一个尖角插入到地面（想象地面是软的），如果插口呈现的都是直线的话，说明地面是平的，反之就不平。把三角尺看成平面，由此可以发现“基本事实3”。