数学大概念的内涵、提取途径及其理解维度

卜梦丹，唐恒钧

（浙江师范大学教师教育学院，浙江 金华 321004）

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》（以下简称《标准2017》）中指出“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化”［1］。近年来，数学学科作为培养人的理性和思维的学科，其指向大概念的研究受到了学者们的广泛关注，那什么是数学大概念？如何提取数学大概念？数学大概念如何理解？这些问题对于如何利用大概念优化课程与教学，乃至培养学生的数学大概念都极为重要。

一、数学大概念的内涵及层次

大概念作为《标准2017》提出的教育理念，为新时期引领基础教育课程改革提供了一个重要抓手。信息时代背景下，知识呈现指数式增长，教学应该关注学科和重大问题最为基本的理解，提升到更高的抽象度（大概念）上。综合分析国内外学者对大概念的界定不难发现大概念与问题解决、迁移能力、普适性、统摄性、抽象性等关键词联系密切，这也意味着大概念并不像教材中的某些概念一样只限定于特定的情境、具体的时间中，它是跨文化、情境以及时间存在的，具有非常强的生活价值和迁移价值。数学大概念是大概念理念在数学学科中的具体表达和综合运用，它是基于数学学科本质和数学核心内容提取出来的具有统摄性的表达，需具备以下特征：能够帮助学生理解数学的本质；能够赋予学生参与数学探究的能力；支持数学与其他学科、学生生活产生联系，它可以表述为一个词语、一个短句或者是一个问题。

数学大概念在知识体系中处于上位，其获得需要经过长时间的理解和概括，所以在教学中需要以单元为载体，这是由数学大概念的核心特征所决定的，但它也是一个相对概念，即存在层级之分。单元大概念是对单元知识内容的抽象概括，它给了教师一个更高位的视角去看待本单元的学习，但单元大概念并不能直接教给学生，数学教学是以课为单位，因此单元内的每节课要选取一个具有高度统摄性的课时大概念［2］。课时大概念一方面指向每一节课中的具体的知识和问题，有利于学生的理解，另一方面它指向单元大概念的获得，学生在学习每一课时大概念的过程中逐步深化以得到单元大概念。综上，数学大概念存在单元大概念和课时大概念两个层级，但在数学教学中选择大概念并不是抛弃基础概念和相关核心概念的学习，而是通过大概念把基础概念和核心概念更好地统摄起来，它们作为获得大概念的必经途径，对于数学学习具有非常重要的意义。经分析数学大概念层级金字塔（如图1所示），塔尖是本单元所涉及的学科核心素养、新课标对本单元要求实现的关键能力等；第二层是本单元所指的单元大概念；第三层是本单元的课时大概念，单元大概念和课时大概念联系紧密，相辅相成；第四层是本单元的核心概念，一般为大概念的概念派生，以及单元重要的数学思想方法、重要的学习内容等；塔底是本单元的基础概念和重要内容，它支撑着大概念的形成，有助于教学目标的实现。

图1 数学大概念层级金字塔

二、数学大概念的提取路径

结合我国的教育现状，刘徽总结了大概念提取的八条路径，前四种是自上而下提取的，包括课程标准、学科核心素养、专家思维、概念派生；后四种是自下而上提取的，包括生活价值、知能目标、学习难点、评价标准［3］。李刚、吕立杰两位学者指出学科大概念遴选的有效策略包括标准演绎、归纳生成两种方式，这两种不是各自独立的，而是相辅相成共同作用的［4］。综上大概念的提取路径有两条：一种是自上而下的标准演绎式，即从课程标准、学科核心素养、重要的数学思维、数学思想方法中等提取出来；另外一种是自下而上的归纳生成式，即从教学或学习的重难点、生活中的实际问题、事实性知识等抽象概括而来。依据数学大概念进行单元—课时教学，首先需要提取出单元大概念和课时大概念，笔者认为，单元大概念应采取自上而下的标准演绎式，再采取自下而上的方式进行论证；课时大概念应采取自下而上的归纳生成式，再采取自上而下的方式进行论证，整个提取过程中应充分考虑大概念之间、大概念与小概念之间的密切关联。根据数学大概念金字塔层级图，以“函数”单元和“指数函数”课时为例，说明具体提取方法。

（一）单元大概念的提取途径

单元大概念给教师更高的视角去思考单元—课时教学，单元大概念既是学生单元学习的最终目标，也是教师思考整个单元教学的逻辑起点，因此单元大概念的提取需立足于整个单元的思考，其具体提取方法如下。

第一，研读新课标、教师指导用书等相关材料，明确本单元的教学目标，主要包括学生经过本单元的学习需要获得掌握哪些基本知识、数学能力和发展什么样的数学核心素养。在函数单元中，学生需要从变量依赖、集合对应、函数图象等多个角度理解函数的概念，理解函数的基本性质，掌握一些基本函数类的背景、概念和性质。在此基础上，学生需提升两方面的能力：一是从函数视角解决方程问题和不等式问题的能力，二是在面临实际问题时，选择合适的函数模型进行表征进而解决问题的能力。从本质上看，第一种能力也是第二种能力的一类具体表现。本单元的学习重点是提升学生数学建模、数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养。

第二，深入分析单元内容，理解单元概念之间的关联，明晰本单元所涉及的数学思维方法和数学思想方法。在函数这个大单元中，从集合对应的角度重新认识函数是单元学习的基础，研究函数的基本性质—单调性和奇偶性既是为了研究具体函数模型的图像与性质，也为能够用函数模型解决实际问题做铺垫。针对幂函数、指数函数和对数函数的研究都是从相关定义、运算性质、现实背景、图像性质开始，进而拓展到其在生活中的具体应用，学习过程中充满了类比、数形结合等数学思想。总的来说，函数的概念与性质是单元学习的前提，学习具体函数模型既是对函数概念性质的进一步深化，也是函数模型思想的进一步深化，函数的应用是本单元学习的最终指向。

第三，基于分析结果，抽象概括出单元大概念，提取出的单元大概念兼顾单元本质的同时还要言简意赅，随后从单元大概念视角自上而下分析单元知识内容，形成大概念层级金字塔，这个过程中包含了自下而上、自上而下两方面的论证。针对以上分析结果可知函数单元学习的最终目标在于学生能深刻理解函数模型是数学模型中描述客观世界中变量关系和规律最为基本的模型，在未来生活中能够采取合适的函数模型去分析问题、解决问题。因而本单元的大概念为“函数与数学模型”，它统摄了本单元的核心概念和基础概念，且指向了函数的应用。从“函数与数学模型”大概念的角度出发分析单元内容形成本单元的大概念层级金字塔（如图2所示）。塔尖是本单元所涉及的学科核心素养，时刻提示教师教学目标在于学生学科核心素养的落实，学科知识的学习是形成核心素养的途径，新课标指出本单元发展的关键能力已经包含在学科核心素养中；第二层是本单元所指的大概念，经过对新课程标准和教材的分析得出本单元大概念为“函数与数学模型”；第三层是本单元的核心概念，其中幂函数模型、指数函数模型、对数函数模型、三角函数模型是单元大概念的概念派生，也是本单元的重要学习内容，数形结合、函数与方程、类比是本单元在学习过程中所涉及的重要数学思想方法，有利于发展学生的高阶思维；塔底是本单元的基础概念和重要内容，它支撑着大概念的形成，有助于教学目标的实现。值得一提的是课时大概念这一层级需要对每一节课进行具体分析提取出课时大概念后再加入金字塔。

图2 函数单元大概念层级金字塔

（二）课时大概念的提取途径

图3 指数函数课时大概念层级金字塔

针对单元内的每节课提取课时大概念得出课时大概念层级金字塔后，需要和单元大概念金字塔进行合并，在单元大概念层级金字塔加入课时大概念这一层，用各个课时大概念层级金字塔对原来的单元大概念层级金字塔进行补充和论证，从而得到最终的单元大概念层级金字塔。单元大概念指导了课时大概念的形成和理解，课时大概念促进了单元大概念的深化理解。

三、数学大概念的理解维度

在数学教学中，提取出大概念后还需要对其进行理解分析，结合大概念的内涵与特征，可从三个理解维度：意义的丰富性、地位的统摄性、多情境的适用性对提取出的大概念进行论证，以提取出的“函数与数学模型”单元大概念为例进行相关分析。

第一，意义的丰富性。大概念是根据基础概念之间的联系抽象概括而来，体现了知识的整体性，因而具有十分丰富的意义。首先是关联的丰富性，大概念能够唤起概念间的联系，快速在头脑中形成概念框架。比如“函数与数学模型”中包含“函数”和“数学模型”两个关键词，它能唤起学生对函数的概念和基本性质、幂函数模型、指数函数模型、对数函数模型等的理解和记忆。其次是探究的丰富性，学生在面临不同的问题时，大概念提供了数学探究的时间和空间，允许学生建构个人意义以形成更加丰富的理解。最后是概念的丰富性，大概念是上位概念，是需要子概念去“揭示”的，学生对“函数与数学模型”的理解还需要教师通过函数的概念和基本性质、基本初等函数类等的教学来进行“揭示”。

第二，地位的统摄性。大概念地位的统摄性主要包括两个方面：一方面它在知识体系中处于上位，能够诠释小概念的意义，另一方面它就像车辖，处于中心位置，把其他小概念紧紧联系在一起。就“函数与数学模型”大概念来说，它不仅处于上位统摄课时大概念、核心概念等，也处于中心位置把这些概念紧紧围绕环在一起，可谓是“牵一发而动全身”。“函数与数学模型”单元大概念既是“指数（型）函数是刻画指数增长或者指数衰减变化规律的数学模型”课时大概念的上位概念，同时也处于中心位置，和其联系紧密。

第三，多情境的适用性。林恩·埃里克森（Lynn Erickson）提出的“知识的结构”模型很好地解释了大概念为何能在多情境中进行应用，他指出大概念的教学应是从下向上的策略，即教学从主题和事实开始，将它们结合在一起找出重要的相关概念，这些概念又连接在一起形成概念性理解（大概念），并以此为基础促进学生找到更多不同的事实性实例［5］，这样就形成了“具体—抽象—具体”的良性互动，因此多情境的适用性主要体现在来源的多情境和应用的多情境，大概念从多情境中抽象而来，又应用到不同的情境中去。对于函数单元来说，其教学思路一般为从学生熟悉的事例作为问题情境，在此基础上构建相关概念，进而应用概念去解决现实生活中的实际问题，其中蕴含了“具体—抽象—具体”之间的互动，体现了大概念在多情境中的适用性。

数学大概念的内涵和层次、提取策略以及理解维度等的明晰为数学大概念教学设计和教学实施奠定了基础，有助于推进大概念的后续教学。▲