围绕“大观念”的教材设计——以《大观念数学》（Big Ideas Math）小学数学教材为例

石雯雯

（华东师范大学课程与教学系，上海 200062）

在以发展学生核心素养为导向的教学改革中，核心素养的落实成为最重要的课题。大观念（Big Ideas，亦可译作“大概念”），因对其的理解和运用体现出核心素养的本质要求，且具有促进学习迁移的作用，从而成为落实核心素养的重要工具。简单地讲，大观念是一个“相互关联的概念网络”，有助于全面地提高技能和知识的获取，因为围绕关键概念组织信息可以最大限度地提高学生的学习效率［1-3］。《普通高中课程方案（2017年版）》指出，课程标准重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了各学科围绕的“核心概念”，其本质亦相当于“大观念”。各国在课程改革中，最新的教材也多围绕学科的大观念进行设计。那么何为大观念？基于大观念理念的教材有哪些优势？如何进行围绕大观念的教材设计编写？本文将以美国一教改教材《大观念数学》（Big Ideas Math）小学数学教材为例，对这些问题进行剖析。

一、大观念与数学教材编写

大观念的内涵最早可溯源至20世纪60年代布鲁纳（J.S.Bruner）提出的学科结构运动，即所有学科都拥有一个基本结构，需要以允许许多事物有意义且相互关联的方式来理解这个学科［4］。埃里克森（H.L.Erickson）在1998 年明确提出了大观念的定义，它是一种抽象概括，是在事实基础上产生的深层次的、可迁移的观念，是对概念之间关系的表述，具有概括性、抽象性、永恒性、普遍性的特征［5］。哈伦（W.Harlen）在2010 年指出，能够分解出更小概念的概念都可称为大观念，一个可以被称为大观念的概念需要符合以下几个条件：可以被普遍运用，能通过不同内容展开，可以应用于新的情境［6］。每位学者对于大观念的阐述可能各异，但我们可以理解的是，大观念位于学科的中心位置，主要指可适用于较大范围的概念，可以有多种表现形式。

查尔斯（R. I. Charles）认为，在数学教学中，大观念是对数学学习的核心概念的陈述，它将许多数学理解联系成一个连贯的整体［7］。美国国家数学教师委员会（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）在2006年指出，大观念是为每个年级的所有学生提供数学经验关注点的一些重要数学主题，是将来为建立理解、永久学习以及促进在高等数学中成功的相关概念、观念、技能和过程［8］。它们是培养解决问题、推理和批判性思维技能必不可少的要素，而这些技能对所有数学学习都很重要。2010年，美国全国州长协会和首席州立学校官员理事会联合发布了《数学共同核心学习标准》，该标准吸收了NCTM 的观点，但转向了“更大的关注点和连贯性”，他们指出，教授什么和如何教授学生，不仅应反映属于某一学科的主题，还应反映决定该学科知识如何组织和生成的关键思想［9］。根据澳大利亚数学教师协会（Australian Association of Mathematics Teachers，AAMT）2009 年的表述，大观念是连接数学各个方面的关键，包括数学概念和数学行为之间及内部，它们既不是“概念”也不是“行为”的总体思想。大多数大观念渗透在数学的许多概念领域，并提供它们之间的联系［10］。我国《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出了十大“核心概念”，其本质也对应于“大观念”的提法。我国学者对“核心概念”的阐释是，它并不是指具体的概念本身，而是指所反映的基本思想和思维方式，以及数学学习中的理解、认识、意识以及能力［11］。一个数学概念是否能成为“核心概念”或“大观念”，取决于以下几个问题：（1）是否是重要的、在数学本身中占据主导地位；（2）是否在学生认知结构中占有重要的、不可或缺的、基础的地位；（3）是否为数学概念逻辑链中的“自然联系”，是否适合学生的思维发展，是否能够为学生所接受［12］。

不同国家、不同学者对大观念的选择是不同的，有的是宏观的，有的是微观的。造成这种差异的主要原因在于对数学内容及其教育价值的不同认识。查尔斯（R.I.Charles）提出了21 项数学学科的大观念，包括数字、10进制记数系统、等价、比较、运算意义和关系、属性、基本事实和算法、估计、模式、变量、比例、关系和函数、方程和不等式、形状和实体、方向和位置、变换、测量、数据收集、数据表示、数据分布和机会［13］。AAMT在2009年提出的大观念包括维度、对称、变换、算法、模式、等价性和表示［14］。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了10个核心概念包括数感、符号意识、空间概念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。

从宏观上看，数学核心内容的选择反映了数学发展和学生发展的需要。例如，NCTM 建议列为课程重点的内容必须通过以下三项严格测试：（1）对于进一步学习以及课堂内外的应用是否在数学意义上是重要的？（2）是否符合数学学习的规律？（3）是否与低年级、高年级的数学课程有逻辑联系？［15］尽管不同的环境、国籍、身份和社会发展水平会导致学生发展的差异，但从人类学的角度看，人类的认知发展遵循一般普遍的模式。数学的核心内容是由数学固有的客观规律决定的，因此，通过对国际上数学课程标准和代表性教材的比较研究，确定数学课堂教育的共同核心内容，并以此为基础，设计出符合公众认知发展水平和社会发展要求的数学课程，通常是对于教材编写有重要借鉴意义的方法。而教材围绕大观念对核心内容的组织上一般有两种形式：一种是围绕某一特定主题的大观念来组织课程内容，称为线性方法；另一种是按照各种各样主题的相关大观念群组织课程内容，称为混合方法。

二、围绕“大观念”的教材设计：以《大观念数学》（Big Ideas Math）小学数学教材为例

自从20 世纪80 年代，NCTM 即开始推进数学学科的教改，新版教改教材也随着NCTM课程标准的更新而不断涌现。在强调学生掌握数学大观念的背景下，国家地理学习出版了贯穿K-12的数学教材《大观念数学》（Big Ideas Math）。该教材吸取了教师清晰性（Teacher Clarity）的研究理念，围绕大观念的内涵，用学习目标和成功标准来指导每一章、每一课的学习。这种教师清晰性的理念是使得大观念在教材中落到实处的坚实保障。

小学数学启蒙教育中一个重要的大观念是数感（Number Sense）。沃勒（J.A.Van de Walle）认为有三个大观念蕴含在数感中：（1）计数告诉我们一个集合中有多少事物；（2）数字通过各种数字关系相互联系；（3）数字概念与我们周围的世界紧密相连［16］。我们以其中K年级教材为例，该教材在K 年级设置的主题为：（1）计数与基数。知道数字名称和计数顺序；通过数数知道物体的数量；比较数字。（2）运算与代数思维。理解加法是合并和加上去，理解减法是分解和从中取。（3）十进制数和运算。使用数字11 ～19 获得位值的基础。第一项主题紧扣数感的三个大观念，而后两项主题虽属于运算，但也是和数感相互渗透的。我们可以从前10 章非几何章节的内容安排上可以看出来（参见表1），在第6 章“10 以内加法”和第7 章“10 以内减法”之前，第5 章“10 以内组成和分解”的安排起到了由数感向运算大观念之间的过渡作用。第8 章“表示数字11 ～19”的课时安排中是将计数与理解数字交错进行，将计数的技能与在生活中应用数字的技能反复强化，循序渐进。在第10章“数到100”中，有两节课分别为“逐一计数至100”及“逐10 计数至100”，相互照应将数感与运算的大观念有机融合。

表1 Big Ideas Math教材K年级非几何部分章节安排

我们以K 年级教材第4 章“10 以内数字的比较”为例介绍该教材在内容上的安排，其主要分为以下几个模块。（1）单元学习目标和成功标准：本章节的单元学习目标是理解分类。单元成功标准是“我会配对物体；我会解释如何比较物体的数目；我会将物体分门别类；我能够答出某个类别有多少物体”。（2）词汇：在每章节的开始对该章节将要用到的最重要的数学概念进行解释，采用图片的形式而非文字的形式进行解释，每一个概念的解释也要求学生在观察与思考中理解其数学含义。例如本章节首先回顾“比……更大”（greater than）的数学含义。（3）探索与成长：位于每节课的开始，允许学生研究数学并进行猜想。例如4.2 节“通过计数比较10 以内的两组”，其中“探索与成长”部分要求学生用方格分别展示企鹅和蛋的数目，再让学生说出哪组更多、哪组更少。学生在学习这个模块的时候，教师尚未教授关于数字比较的知识，学生在自主了解规则背后的推理中开始概念的理解。（4）思考与成长：遵循逐步释放（gradual release）模型，给予教师教学一定的灵活度，为各年龄层学习者提供获得过程性流畅度（procedural fluency）的机会。本节中该部分的几个任务是让学生先计数后写数字，然后比较两组数字的大小，并按指令圈选对应的数字（相等、较大的、较小的）。（5）应用与成长（练习）：该部分提供更多与“思考与成长”部分类似的任务，实践练习能够让学生展示他们对课程的理解。（6）思考与成长—模拟现实生活：应用解决问题的策略，提供真实生活问题，帮助学生学会将所学数学知识应用到日常生活中。现实生活中的问题帮助学生利用数学的结构来分解和解决更难的问题。例如4.2节该部分给学生展示了两幅一群猴子在香蕉树旁的图片，但树上没有香蕉，要求学生在两幅图中分别画出树上挂着的香蕉，以使得其数量大于或小于猴子的数量，分别写上猴子和香蕉的数量，并按指令圈选较大或较小的数字。该部分与之前单纯“思考与成长”相比，任务更贴近生活，现实生活中的问题往往结合其他学科，以帮助学生认识到数学是跨内容领域应用的。（7）家庭联系：该

部分为学生提供更多类似的任务，留到他们返家之后再进行练习，以保证教学的延续性。（8）表现性任务（Performance Task）：将一章节中的主题联系起来，设计一个扩展任务供学生学习。例如本章节的该部分设计了3 个相互联系的任务，首先在一幅图片中画着不同形状、不同颜色的玩具，让学生分门别类，分别计数每种玩具的数量并写下对应的数字，询问学生弹簧玩具的数量是否和小球的数量相同，圈出对应的是非（大拇指向上或向下）；接着，让学生按照图示的分类方法（图像和文字表示出“绿色的”和“非绿色的”）对玩具进行分类并画在分类图示上，并让学生计数两组的数量，写下对应的数字，并圈出较大的那个数字；最后，告诉学生又来了一箱小球，箱子里小球的数量小于之前图片中小球的数量，让学生在空盒子的图片中画出小球并写下所画小球数量对应的数字。这是一个很考查学生综合能力的任务，将整章各堂课的内容紧密联系起来。（9）游戏：这是更具有趣味性的模块，让学生在游戏中应用本章节所学的知识。（10）章节练习和积累练习：章节的末尾会提供与各课时内容相关的任务让学生反复练习，加深对概念的理解和应用。积累练习是在内容相关的几章之后提供的练习任务。（11）教学技术的应用：除纸质版教材外，该教材还提供了多媒体的教学平台，作为教学、学习的补充，包括动态教室、游戏库、动态评估系统、技能培训师、视频支持、数学音乐剧、多样化的数学任务等。

三、讨论与展望

《大观念数学》（Big Ideas Math）作为一套教改教材，在多方面体现了大观念的教材编写思路。该教材所强调和遵循的教师清晰性是对于有效教学相当重要的教育理念，它与大观念也有着重要的联系。海蒂（J. Hattie）在对超过250 种与学习结局相关的影响因素进行排序的研究中发现，教师清晰性对学生的学习和成就有重要而积极的影响［17］。有效的教学需要清楚地了解学生在数学学习中需要完成什么。明确学习目标是教学工作和学生学习的重点。教师需要建立明确而详细的目标，指出学生正在学习数学的什么内容，他们需要用这些目标来指导教学过程中的决策［18］。学习目标帮助学生意识到他们应该从章节或课时中学到什么，明确的学习目标构成了评估学生所学内容和教师所教内容的基础。明确学习目标并告知学生，对于他们积极参与并取得学习进步至关重要，学生们很清楚对他们的期望是什么。成功标准是用来衡量学生是否达到学习目标以及达到学习目标的程度的标准。成功标准是引导学生自我评估的路标：我在学习中胜出了吗？海蒂指出，如果老师和学生能够回答以下三个问题，他们就达到了清晰性的要求：我在学什么？我为什么要学？我怎么知道我什么时候学会的？只有当教师知道并能够清楚地阐明学生为什么要学习他们所学的东西时，他们才能设计出真实、相关、能够培养学习者好奇心的学习体验［19］。将要学习的概念就是学生需要了解“什么”，技能和认知水平就是学生需要“怎么”去展示概念的，而大观念则代表了这个“为什么”，即这些概念和技能对学生理解和实践相当重要的原因。教师清晰性的根本目的就是为了传递这个“为什么”而服务，因此教师清晰性是教学、教材对于大观念落到实处的坚实保障。

该教材基于教师清晰性，对学习目标和成功标准的清晰展示，其实与我国提出的“学历案”是不谋而合的。学历案是指教师在班级教学情境下，围绕某一具体学习单位的主题、课文或单元，从期望学会什么出发，设计并展示学生何以学会的过程，以便学生自主建构或社会建构经验、知识的专业方案。学历案一般包括学习主题和课时、学习目标、评价任务、学习过程（资源与建议、课前预习、课中学习）、检测与作业、学后反思等六个要素［20］。而为了达到对核心课程知识的深度理解，以及在真实的问题和情境中应用这种理解的能力，理想的学习应该是实现深度学习。学历案的使用过程就是学生的学习过程，学历案提供了专业化设计的深度学习机会。而深度学习对核心知识深度理解的要求，与大观念的理解在意义上是统一的。因此，未来开展通过学历案对学科大观念的教学效果的研究，显得自然且迫切。

NCTM 在2009 年提出数学推理（Mathematical Reasoning）和意义建构（Sense Making）作为数学学习的关注点，原因有三：一是可以帮助学生应对未来的挑战；二是其为数学能力的内在组成部分，可以帮助学生找到数学的总体连贯性，引导学生建立新老知识的联系；三是其为学习数学的有效方法。尽管推理和逻辑性并非对具体知识点的关注，但就其定义而言与大观念是一致的［21］。《大观念数学》（Big Ideas Math）教材的各个模块对这两个方面进行了充分的体现，例如“探索与成长”模块允许学生研究数学并进行猜想，任务中设计的问题也常常要求学生解释他们的推理。“思考与成长—模拟现实生活”以及“表现性任务”模块也包含逻辑上递进的连环任务，让学生在潜移默化中操练推理和逻辑的能力，以达到对教材所围绕大观念的持续性理解（enduring understanding）。

在内容组织上，该K年级教材围绕数感和运算能力这两个大观念展开选取的主题，实质上即为“次级”大观念，或者称为“大观念群”。正如本文前述，大观念的选择是可宏观可微观的，根据数感展开的三个“次级”大观念即可指导具体章节的编写。例如根据“计数告诉我们一个集合中有多少事物”的大观念编排了第1章“0 ～5的计数和书写”、第3 章“6 ～10 的计数和书写”、第8 章“表示数字11 ～19”、第9章“20以内计数和比较”的计数部分、第10章“数到100”；根据“数字通过各种数字关系相互联系”的大观念编排了第2章“0 ～5的数字比较”、第4章“6 ～10的数字比较”、第5章“组合和拆分10以内数字”、第9章“20以内计数和比较”的比较部分；“数字概念与我们周围的世界紧密相连”的大观念则渗透在各个章节中的与现实生活相联系的任务中。大观念群与具体教学内容还是有区别的，仍需符合对大观念的选定标准，以避免出现重知识教授而轻素养培养的现象。

由此可见，《大观念数学》（Big Ideas Math）教材从学习目标制定、模块编排、主题内容选取和编写等方面，处处体现了围绕数学大观念的教材编写思路，不失为我国在未来教改教材编写探索中的一个参考工具。然而由于目前教改教材不断涌现，许多新教材的形式固然新颖，但其教学效果究竟如何，是否贴合更新的课程标准，仍需要更多、更系统的比较研究。

目前，大观念在国外的教学改革中已有较为广泛的应用，在我国的新版高中课程标准中也有了明确的提法。但是将大观念落到教材编写的实处，并非易事，需要教师、教材编写者厘清“大观念”“概念”“主题”“内容”的区别与联系，参考我国及国外的课程标准及优秀研究成果中提出的大观念划分，综合考虑所在学段学生身心发展、文化因素、社会发展要求等多方面，集思广益，讨论确定每本教材所需要围绕的“微观”大观念，并紧扣大观念衍生出学习（教学）目标，合理筛选、组织课程内容。▲