“事儿多”的有理数

陈奕帆

有理数，听名字好像挺高级，说白了，我们就是在学习三个点：什么是有理数？有理数有哪些性質？怎么用有理数？

下面是我最近遇到的一道题：若有理数a、b满足ab＞0，求[aa][+bb][-abab]的值。

第一眼看到这道题，我有点懵。因为题中给了ab＞0，我便想到用此条件求[-abab]的值，可这也不能求出[aa]和[bb]的值呀。正当我一筹莫展时，忽然想到，可不可以从运算入手呢？ab表示a与b相乘，随即我转头“进军”有理数的乘法。然后，我就思考，在有理数的乘法中有哪些概念或定理可以帮到我呢？ab＞0，ab在什么情况下可以大于0？“两数相乘，同号得正，异号得负”，我在思考出这条定理后，发现a、b只有在同号的时候，相乘才会大于0，所以a＞0、b＞0呗？只有同正叫同号？当然不是，还有同负。

思考完以上内容，我发现这道题是个“老油条”。它不仅考查了有理数的乘法、除法，还涉及一些绝对值的知识。老师和我们总结过，一个数的绝对值有两种情况，要么取本身，要么取相反数。那这两种情况怎么写呢？对，分类讨论。

我先让a＞0、 b＞0。因为绝对值中正数取本身，所以[a]=a，那么[aa]=[aa]=1，同理[bb]也等于1。然后求[abab]，因为同号得正，所以[abab]=[abab]=1，所以原式=1+1-1=1。

接下来考虑同负，即a＜0、b＜0。负数的绝对值取相反数，所以[aa]=[-aa]=-1，同理[bb]=-1。[abab]怎么算呢？因为a、b同号，所以[abab]=1，所以原式=-1-1-1=-3。

综上，原式的值为1或-3。

我的心得：在数学王国中，每道题都有它的作用，这道题能帮助我养成全面思考问题的习惯，同时还有助于我认识和熟练运用分类讨论。还有一些题，研究起来比较困难，但只要我们大胆联想，认真分析讨论，仔细书写，再难的题我们都会克服，使之成为解决其他难题的经验。

教师点评

小作者心思细腻，办事沉稳，热衷于数学的深度思考。他显然已经建立了字母表示数的代数意识，所以能通过联想有理数的运算法则及绝对值的性质，分析出这道题的答案。这种思考问题的方式，充分体现了解决数学问题的分析法和综合法。学会思考，远胜于盲目刷题。

（指导教师：高 爽）