加强几何直观的培养 发展数形结合的思想

申东阳

当今课程改革的重点是培养学生的核心素养，数学核心素养主要包括数学抽象，逻辑推理，数学建模，运算能力，数据分析，直观想象。由此得出几何直观在核心素养中的地位和作用可见一斑。

结合学校和声课堂五步教学模式，在教学实践中特别注意用数形结合的方式培养学生的几何直观能力，用形象化，符号化的语言提炼出数学知识，建立数学模型，从而使学生逐步体会和感知数学思想的魅力！

一、将数形结合起来，形成概念表征

“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”、运用“数”与“式”来细致、入微地刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。“数无形时少直觉，形少数时难入微”形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值，也揭示了数形结合思想的本质。

例如在解决鸡兔同笼问题，即采用假设法解题时，运用数形结合，可以使极为抽象的假设法变得直观形象。教学中，让学生理解鸡与兔是两个变量十分困难，教师单纯用语言是无法让学生很好的理解的。采用数形结合，让学生通过想想——画画——再想想——再画画，帮助学生理解这鸡兔这两个变量，从而解决问题。同样在相遇问题、追及问题、和差问题、和倍问题、工程问题、分数应用题、比例应用题、列方程解应用题等许多解决问题的教学中，无不充分地运用数形结合，把抽象的数量关系，通过画线段图、集合图、长方形面积图、列表格等方式，数形结合，呈现为较为具体直观的数学符号，使较复杂的数量关系简单明了，有利于分析题中，化难为易，迅速找出解决问题的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、加强直观推理，发展分析问题的能力

直观推理作为一种渗透力极强的思维形式，可以说是数学直观的精髓。加强几何直观教学并不是只要求学生会构造示意图或线段图，能给出数学知识的直观表征就可以了——因为构图有时只需要关注一些数学对象的局部元素，缺乏对结构的整体把握——还要充分发挥直观推理在发现问题、分析问题过程中的作用，注意为学生创造主动思考的机会，鼓励学生借助几何直观进行比较、分析和想象，展开丰富多彩的直观推理，进而洞察数学对象的结构和关系，获得数学结论。对学生而言，纯文字形式呈现的问题相对比较抽象，仅凭文字叙述有时很难直接看出题中的数量关系。这样的问题也为学生学习画图整理信息、体验示意图，在分析数量关系过程中的作用提供了极好的素材。

例如，教学“用画图的策略解决实际问题”时，先出示例题：有一块长形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？我并没有直接指导学生画图，而是通过富有启发性的问题使学生体会到“光看文字，一下子想不出办法”，进而诱发画图的需要，引起学生学习和探索画图策略的动机。对于画图方法的指导，我采用“尝试——讲评——完善”的教学策略，先放手让学生尝试画图，再结合讲评对关键步骤进行适当的指导，帮助学生学会在示意图上表示“增加3米”以及标注相关信息的方法，以完善自己所画的示意图。完成画图后，我引导学生通过比较和交流，感受到“看图形思考比较方便”，进而启发学生看图进行分析和比较，将题目中的相关数量与直观图形的意义对应起来，找到正确的解题思路，初步体会示意图对解决问题的作用。列式解答后，让学生看图解释每一步算式的意思，再一次借助图形直观阐释数量关系的含义，理解列式的依据。最后，引导学生回顾和反思解决问题的过程，讨论“为什么要画图”，帮助学生进一步梳理借助图形直观解决问题的经验，感受画图策略的学习价值。这样的教学过程，从解决实际问题的需要出发，紧紧围绕“画图”和“用图”展开，使学生在解决问题的过程中初步学会画示意图整理条件和问题的方法，积累一些借助图形直观分析数量关系的经验，并获得对画图策略的深刻体验。

三、利用直观探究，发展解决问题的能力

几何直观在解决问题的过程中起着提示解题思路、预测结果的作用，是探索数学规律、解决数学问题的有力帮手。学生在开始接触数学问题时，往往会习惯性地对问题作出一种直观判断，这种直观的判断起初只是一种直觉、猜想或猜测，也正是这种直觉或猜想以及追求真理的愿望，引领学生展开进一步的探究，并最终解决问题。因此，数学教学要充分发挥几何直观在解决问题过程中的作用，注意引导学生经历利用几何直观把复杂问题转化成简单问题的过程，特别是一些可以利用直观来描述的问题，不必急于给出解决问题的方法，而要鼓励学生借助直观提出猜想或猜测，并尽可能地从中找到解决问题的思路或直接利用直观手段求解，以帮助学生不断积累利用直观进行思考的经验，发展几何直观能力和解决问题的能力。

例如引导学生“怎样把一个正六边形分割成6个大小相等、形状相同的图形”时，孩子们就借助直观图形产生了以下的分法和想法：

方法一：把正六边形平均分成6个完全一样的等边三角形。

方法二：先画出正六边形的6条对称轴，然后去掉经过对边中点的对称轴，

得到第一种分法;或去掉经过顶点的对称轴，得到第二种分法。

方法三：先把正六边形分成3个完全相同的平行四边形，再把每个平行四边形分成两个完全相同的部分，这样可以得到3种分法。

方法四：只要先找到正六边形的3条对称轴，再把3条对称轴绕中心点旋转一个角度，就可以得到一种分法，这样就有无数种分法。

方法五：先把正六邊形分成3个完全一样的平行四边形，再画出它们的一条对角线，这是一种分法，然后把对角线绕它的中点任意旋转一个角度，只要每次旋转的方向和度数相同，也一样得到无数种分法。

师总结：第一种思路是先画出正六边形的对称轴，得到一种分法，再旋转得到无数种分法;第二种思路是先把正六边形分成3个完全一样的平行四边形，再把对角线进行旋转。尽管分法都有无数种，但解决问题的思路只有两种，所以也可以看做是两种不同的方法。案例中，从把正六边形平均分成6份到发现图形旋转的规律，几何直观作为有效的表达工具始终伴随着学生的解题活动，并启迪着学生的空间思维，引领学生的思维不断走向深刻。在分的过程中，无论是由12等分去寻找6等分，还是由3等分去寻找6等分，学生把思考的过程和结果画出来都是成功解决问题的关键。更为难得的是学生在两种解题思路的启发下，对分割六边形的问题有了更深刻、更富有创造性的思考，并得到了无数种分法。而这一过程中，几何直观依然是促进并引领学生数学思考的主角。最后，组织学生比较两种思路的不同，使学生对两种思路获得更概括、更理性的认识。整个教学过程中，学生的精彩表现既得益于教师的启发，更得益于几何直观的引领。总之，“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质。

几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，在中学阶段如何更好的培养学生的几何直观能力，还有待于我们进一步研究，所以平日的工作中要善于观察、善于思考、善于总结，力争做一名研究型的教师，培养出能用数学眼光观察生活，数学语言去表达生活，数学思考去感受生活！871D0703-EFF0-4BF9-9871-6B855483795C