高中数学解析几何中数形结合思想生成研究

课题项目：文章系福建省教育科学“十四五”规划2021年度课题《中学解析几何教学中学生“数学抽象”素养培养策略研究》（课题批准号：FJJKZX21—619）研究成果。

作者简介：张晨曦（1984～），女，汉族，福建顺昌人，福建省顺昌县第一中学，研究方向：高中数学。

摘 要：在当前高中数学课堂内容讲述的过程中，解析几何是当前解题能力得以提升的關键，比如逻辑思维能力的提升、数形结合能力的发展、恒等变形能力的知识学习等，在对这些能力培育和发展的过程中有一定的要求和标准。通过数形结合思想的有效渗入，在发展的过程中，对解析几何题的快速解答具有积极的影响，对当前学生的发展至关重要。为了能够更好地生成数形结合思想是当前教学发展的主要难题，文章主要根据当前高中数学解析几何问题，对数形结合思想的相关内容进行分析和研究，进而在此基础之上提出系统的解决方式，以期为相关人员的发展提供一定的参考和帮助。

关键词：高中数学;解析几何;数形结合

中图分类号：G633.65 文献标识码：A 文章编号：1673-8918（2022）18-0074-04

一、引言

进入高中阶段以后，学生数学课程压力进一步增大，对数学这门学科来说所涵盖的知识点比较复杂，涉及的范围比较广泛。为了能够更好地强化学生知识理解，解析几何作为其重点的知识，在发展的过程中，对学生自身思维水平的提升、逻辑的发展、整体题意的理解等方面都有重要的影响。在解答期间，学生如果没有明确、清晰的解题思路，就会对数形结合的应用产生诸多的问题和障碍，通过数形结合的有效运用，能够对其问题进行合理有效的解答。

二、解析几何以及数形结合思想的概念分析

几何在当前的发展的过程中是几何学的重要分支，主要是运用代数学的方法，对集合对象间的关系及其特性做出判断。因此，在进行具体的题目分析中，几何学也被称之为坐标几何学，主要可以将其划分为两部分：平面分析中几何、立体分析中几何学二类，就平面中的几何解析而言，属于二维空间上的一种，而对立体解析中几何而言则是三维中的一种。就其难点而言，由于立体解析几何较平面解析几何更烦琐，在讲解的过程中也相应地更加抽象。通常来说，对数学题目的设置来说，并没有对其明确规定，什么题目应该用数形结合思想，什么时候不需要用，但针对问题种类的不同，在解决的过程中也都有不相同的求解方法与技巧。就数形结合方法而言，对题目类型的不同，在解答的过程中也有不一样的解题方式和技巧。就数形结合这种方式来看，在对解析几何进行解答的过程中具有明显的发展优势，能够在一定程度上减少运算量，节约答题的时间，提高解答的正确率。因此，教师一定要教会学生一定的技巧，进而在日常练习的过程中，通过数形结合的思想形成，在遇到类似的解析几何问题时，能够根据条件以及问题之间的变量关系以及位置关系进行分析，将数和形进行充分的对应，进而在极短的时间内找到最佳的突破口。事实上，当学生对数形结合这一思想进行充分的掌握和熟练的应用以后，能够在具体的题目解答中进行举一反三，在后期遇到相关题目的过程中也能够更加快速地得出答案。因此，作为高中生，为了能够更好地提高数学成绩，必须要强化对数学思想的培育力度，通过对数形结合思想的有效掌握，进而要对以下关系进行分析：实线以及数轴之间点的对应关系，曲线以及方程之间的对应关系，函数解析式与图像之间的对应关系，负数以及三角函数等以几何条件为基础的相关概念，对题目中的等式以及相关的方程来说，对当前的解析几何的题目解答具有十分重要的意义和影响。

数形结合法是当前各种解析几何的重要方式，在学习的过程中，通过对解析几何本身数与形之间的结合，能够更快地提高解题速度，数形结合主要是在求最值、圆一类的问题等。进入高中阶段以后，除了将数和形作为主要的研究对象以外，与此同时，对数形之间的关系也要进行系统的分析和研究，通过合理有效的运用，对数与形进行充分的认识。数形结合主要是对简单的数学概念进行系统的了解和把握，进而使数和形的题目在发展期间更加的直观化、具体化。通过数和图之间的鲜明对比，进而利用图形的方式，对数量关系进行直观具体的呈现。高中生在对图形问题分析的过程中，对题目中所隐含的一些数量关系一定要进行仔细的分析，深入挖掘，只有这样才能够了解更多的解题信息，使其出现的问题能够更加具体、直观，更加的简单，与此同时，在根据题目中的相关数据进行分析和解答的过程中，能够根据其所隐含的条件找出最优的解决方案。通过对解题信息的深入挖掘，进而使抽象的问题更变得更加简单、明了。

三、高中数学解析几何中对数形结合思想的生成研究策略讨论

（一）数形结合思想对数和形之间的转换途径

首先通过建立相应的空间坐标系，从而对题目中的数量关系加以明确。比如，在学习空间向量这种方式进行解答的过程中，对解析空间几何的有关试题而言，学生就能够通过对空间坐标系进行建立，从而在图形中实现了数量关系的变换，进而通过使用代数计算的方法加以解决。其次，可以将题目中的已知条件进行系统的分析，在经过对问题的思考以后，进而做出正确回答，从而选出合理答案。在对解析几何中所存在的不等式习题问题进行分析的过程中，学生一定要对整个问题进行分类、讨论，根据题目的含义进行图形的绘制，利用数形结合的方式对题目进行解答。最后，针对数学之中所存在的解析几何以及函数方面的习题来看，可以根据图形进行充分的考虑，找出问题的关键点，然后得出正确的结论。

（二）数形结合思想的具体应用

一方面，对解析几何中所存在的不等式习题来看，通过对数形结合概念的发展，在对不等式习题进行剖析与讲解的过程中，重点是将不等式的基本性质中所存在的有关内容加以化解，将所熟悉的一些曲线方程以数轴的方式进行呈现，在这期间，对不等式的相关定义域以及值域一定要进行仔细探讨，图形中所出现的交集表示成该不等式的解集。另一方面，通过具体的实践和研究证明，数形结合的发展能够对当前的几何解题具有积极的意义和影响。在对一些圆的题目进行解答的过程中具有极大的帮助，假如圆心与直线之间的距离设d，如果d>r为相离，当d=r为相切，当dR+r时，则确定其关系相离;当d=R+r时，其关系外切;当R-r

通过数形结合思想的发展，能够对圆心距离直线的相关数值、圆的主要半径等内容进行进一步的分析，对直线和圆之间的位置关系进行精准的判定，这能更进一步地提高当前学生的解题效率，为后期相关知识的学习奠定扎实的基础。

（三）对比分析

从当前对数形结合这一思想的运用情况来看，在发展的过程中，对什么情况下会运用到代数的方式，什么情况下运用几何解法？经过数形结合思想的理念发展，亟须对题目的解题方式进行分析，制定出明确的解题思路框架，并在此基础上加以分析。对于数形结合思想来说，与当前几何有着密切的联系，但是也有着本质上的区别，数形结合的发展主要涵盖两个层面，通过形去进行解答数的概念，或者是以数的方式去解决形的相关知识，这种几何能够更加直观。通过利用相关的图形对问题进行有效的分析和描述，对该问题来说，一方面能够更好地去解答几何以外的问题，另一方面对几何问题本身的概念知识也能够进行系统的分析。通过图形的方式去认识和理解当前几何图形在具体应用中的内容。通过数形结合法的有效利用，在对解析几何中的不等式问题进行分析的过程中，主要是将原来的不等式进行细分，进而将其化解成不同的方程，结合方程加以分析。依据其值域、定义域进行解集的得出，总结为：遇到不等式一类题目时，需要将其等价式进行变形，然后根据具体的条件进行外的变量，将其化为曲线的方程式，在坐标轴上一定要进行明确的绘制，将图形中的交集作为最终的解集。

在对一些解析几何的轨迹方程题目进行分析时，数形结合这一思想在当前的数学解题中应用范围非常大，較其他的教学模式来说有突出的优势。在解答的过程中，通过运用数形结合的方式能够更好地分析当前题目中的已知问题。若抛物线上y=4x上有两个动点，将其命名为A和B（都非原点），现在题目中给出已知条件OA⊥OB，OM⊥AB，最后，求点M的轨迹方程是什么？并对其进行进一步的说明，该方程是什么曲线。

解答步骤如下：

直线方程是x=ay+b（其中a≠0），再把这一方程代入进曲线方程y=4x中去，最后得y-4ay-4b=0。另A（x，y），B（x，y），再重新列出一个方程组，为：y+y=4a，yy=-4b。结合题目给出条件得OA⊥OB，最后得出xx+yy=0，也可以将其理解为（ay+b）（ay+b）+yy=0。以此得出-4b+b=0，b=4。直线AB过定点P（4，0）。

假设M（x，y），由题可得OM⊥AB，猜测M的轨迹是以OP为直径的圆（去除原点）。因此M的轨迹方程为（x-2）+y=4（x≠0）。

在对该类问题进行解答的过程中总结如下：解析几何的轨迹方程是数形结合思想的一种重要形式，在对这类问题进行解答的过程中，最常见的方法有很多种，比如：直接的方式进行解答、定义的方式、参数的方式、待定系数的方式、代入法等，这都属于数形结合方法的一些常用方式。凡是看到曲线交点，都可以利用方程进行消参，通过相关定理内容进行关系的建立，由直径对其所对应的圆周角是直角的轨迹，避开题目中所出现的干扰条件，进而找到最佳的突破口，得出正确的答案。

作为高中的数学教师，亟须强化学生养成好的学习习惯，学会分析、学会转化，对学生来说要根据数形结合的相关概念知识进行分析，学会灵活运用，而不是一味地背诵，通过对技巧的把握，以此提升解题效率。

（三）自主学习能力的培育

就数学这门学科来说，在发展的过程中具有一定的逻辑性，特别是对一些基本知识进行学习的过程中，题目中所涵盖的抽象概念比较多，而解析几何的发展对学生自身逻辑思维水平的提升以及数形结合思想的发展都有一定的要求和标准。因此，只有不断地培育学生思想意识，使其更加主动地去学习，通过数学结合的方式进行问题的解答。与此同时，在当前的教学工作开展的过程中，学生学习意识以及能力的培育是当前教学工作开展的重点。教师在进行教学期间，对同样的一个公式或者是知识点进行讲解期间一定要确保整个教学的完整性，让学生通过本章内容的学习，能够对简单的知识概念进行深入的理解和吸收，教师也要根据其内容进行方式的制定，进而提高学生自主意识。

就目前的发展情况来看，为了能够优化当前的教学体验，亟须激发学生主动学习。另外，可以通过一定的言语对学生进行书本内容的讲解，进而使其在教学的过程中能够主动去提出问题、分析问题，将其带入具体的教学情境中，确保学生在学习的过程中能够更加全面，有一个直观的感受。值得注意的是，高中教师在对学生进行解析几何题目学习的过程中，针对当前数与形之间的对应关系，进而将其复杂的概念知识进行具体直观的呈现，进一步实现简化题目的目的。在减少检查时间的基础之上，提高解题效率。此外，针对学生在自主学习过程中所存在的问题需要进行及时的介入和引导，通过一定技巧和分析，针对其所存在的疑惑进行解答，降低难度的同时提高对数学解题的自信心，进而为后期相关概念知识的学习减轻负担，为数学成绩的提升做好铺垫。

四、数形结合思想的注意事项探究

在进行高中数学题目解答的过程中，通过数形结合思想的高效使用，在一定程度上能够将复杂的问题进行简单、具体的呈现。根据具体的图像可以将整个解题的步骤呈现得更加明晰、简练，为实际题目的解题速度的发展产生了积极的影响。虽然在使用的过程中有诸多的优势，但是在进行解答的过程中，为了更好地促使其结果的准确性亟须重视以下问题：

首先，对其图像的延伸趋向要进行仔细的分析。例如，当a大于1时，x方程a=logx无实解，这一命题的判断正确与否必须要根据具体的图像进行分析，在实际解答的过程中，因实数a的变化，y=a以及y=logx的图像的延伸趋势也会不一样，如果a=2方程没有实数解，如果a=2时，x=2是由方程解得，这说明两个图像是向上延伸的方向，并且一定会处于相交的状态，而且焦点在直线y=x上。

其次，对图像的生长速度要进行分析。对其题目中的图像速度进行比较，进而根据图像进行直观的确定。针对这一类题型在解答的过程中，首先可以进行猜想，然后再根据数学方法进行归纳法的证明，进而得出正确的答案。在此，对数与形之间的等价转化一定要引起重视。

最后，对图像一定要进行仔细的观察。对有些问题来说，可以通过图像的形式进行解决，但是也要进行仔细认证的分析，而有些问题很难通过图像的形式进行直观的结论得出。为此，在进行分析的过程中一定要重视。另外，就数形结合的教学方式来说，其最根本也是最关键的环节就是“结合”，在解题的过程中，由于观察的角度不同，联想的范围和视角也不同，因此，会出现不一样的“结合”，而这个“结合”如果运用得好，就能够得出一个较好的解题方式，但是如果“结合”运用得不好就会使得整个解题的过程变得非常的复杂、笼统，而且最终的计算解题结果准确性得不到保障。因此，对“结合”的优劣来说，能够更加直观地反映出学生的基础知识的掌握以及学习能力的高低，也能更加直观地体现出学生当前思维的灵活性以及创造性。无论是教师还是学生，在进行不同题型解答的过程中，一定要系统地分析、全面地把控。在实际问题解答的过程中，要针对一些常见问题的操作策略以及解题技巧进行分析。总而言之，在进行数形结合思想学习的过程中必须要对其题目中运算的步骤、证明的方式进行系统的把握。只有这样，才能够更好地将所学的理论知识与实际问题进行充分的融合，以此完成当前的教学发展目标，使得当前的数学学习任务得以完成，为学生自身数学解题效率的提升、逻辑思维水平的提高等方面创建有利的发展平台。

五、结语

为了能够更好地激发学生数学结合的思想发展，在日常教学工作过程中，一定要不断地创新和优化当前的教学模式和方案。与此同时，确保几何教学过程中的合理性，一方面能够促使其学生对数形结合思想的深入了解，另一方面对学生自身独立思考以及问题解答能力的提升具有深远的意义和影响，能够为后期高质量人才的培育奠定基石。

参考文献：

[1]贾永宏.数学世界：因你而改变，因你而美丽：对高中数学平面解析几何知识架构的认识[J].数学教学通讯，2017（15）：21-24.

[2]张艳.数形结合思想在高中数学教学中的应用研究[J].中国校外教育（上旬），2016（11）：55，57.

[3]谭瑞军.核心素养视域下高中数学课堂教学的思考：以高中解析几何的教学困境为例[J].中学数学月刊，2018（12）：11-14.

[4]姚艳.數学核心素养视角下审视高中解析几何的教学[J].科学大众：科学教育，2020（7）：8.

[5]苏燕.数学文化视角下高中解析几何教学策略探讨：以圆锥曲线专题解题教学为例[J].数学教学通讯，2020（24）：45-46.

[6]温都在.创新教学方法，提高高中数学效率[J].青少年日记：教育教学研究，2018（1）：234-235.

[7]刘伟.高中数学教学中渗透数形结合思想的作用探讨[J].现代交际，2016（9）：200.

[8]陈喜东.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].科教导刊（电子版），2018（8）：180.