移动荷载作用下离散支承曲线轨道梁振动特性研究

孙宗丹，黄 强，刘干斌

（1.广西职业技术学院 路桥工程学院，南宁 530023；2.宁波大学 土木与环境工程学院，浙江 宁波 315211；3.宁波大学 滨海城市轨道交通协同创新中心，浙江 宁波 315211）

城市轨道交通线路由于地质条件、地下管网建设、线路规划等原因，往往需要设计大量的曲线线路，小曲线半径的线路也日益增多[1-2]。据不完全统计，北京地铁曲线线路的长度约占线路总长的30%～50 %[3]。与直线轨道相比，曲线轨道上列车运行带来的环境振动问题更为严重，例如曲线轨道常见的波磨问题，不仅影响轨道的动力性能，也对列车的乘车舒适性带来不利影响。现场实测也证实曲线段列车运行会导致地层水平振动大于竖向振动的现象[4-5]。因此，研究曲线轨道的振动特性具有重要的现实意义。

国内外学者对于曲线轨道的振动特性开展了相关研究，通过建立解析模型进行理论或数值求解。宋郁民[6]推导了圆弧曲线Timoshenko梁的振动微分方程，分析曲线梁的自振特性，证实曲线梁平面内振动与平面外振动不耦合；Dai等[7]采用三角级数法对移动点荷载作用下曲线梁稳态响应进行了理论解答，分析了曲线半径、列车速度、振动频率、扣件阻尼等因素对曲线梁挠度的影响，不过其解答只适用稳态响应和连续支承的情况；Yang 等[8]提出了计算曲线梁平面内振动响应的有限元方法，分析了不同几何条件、边界条件下曲线梁的自振频率、振型模态及变形规律；Martínnez等[9]提出了一个轮对-曲线轨道耦合模型，该模型可以反映轮对在曲线轨道上移动时接触力及轮对横向变形的时程响应，该轮轨耦合模型还会考虑轨道的不平顺特征；杜林林、刘卫丰等[10-11]研究了曲线轨道空间振动特性，利用曲线轨道的周期性特性，基于模态叠加法得到了曲线梁频域内的响应解答。不过，以往在分析曲线轨道振动特性时常将横向和竖向列车振动荷载视为固定值，较少考虑振动荷载随曲线半径、车速和超高角变化，在对比平面内和平面外的曲线梁振动响应差异时存在一定的不足。尽管对于曲线轨道振动特性的参数敏感性分析较多，但分析时较少考虑各因素间的相互影响。与此同时，曲线轨道半径与列车速度的取值应满足曲线轨道技术规范的要求，这一点在以往的参数分析中也反映不够。

为全面分析曲线轨道的振动特性，本文基于振型叠加法和龙格-库塔数值方法求解曲线轨道的时程响应特征。首先通过振型叠加法将振动方程化简为常微分方程，再利用龙格-库塔数值方法对常微分方程进行时域求解。本文提出的半解析半数值方法计算过程简单，对连续支承和离散支承的情况都可适用，同时也可以适用各种振动荷载的情况。通过对比曲线轨道平面内和平面外的振动响应特征，提出减少曲线轨道振动的相应建议。

1 曲线梁振动方程

以整体式轨道为例，假设轨道以下为固定端，整体式曲线轨道可简化为曲梁-弹簧模型。如图1 所示，曲梁弧长为L，半径为R。曲线钢轨位移分别为u、v、w、β，对应径向、竖向、轴向挠度和扭转角变形，其中平面内u、w相互耦合，平面外v、β相互耦合。钢轨横截面内的受力如图2所示，钢轨存在一定超高，超高角为θ；列车作用在钢轨顶端的水平和垂直荷载分别为mc V2R和mcg；沿钢轨x轴和y轴正向所受荷载分量分别为fh、fv。

图1 曲线梁位移示意图

图2 曲梁横断面受力示意图

以连续支承轨道为例，根据曲线梁平衡方程和几何方程，得到Euler曲梁的振动方程如下[7]：

其中：

式中：Ix、Iy分别为钢轨绕x、y轴的惯性矩；Ip为绕z轴的极惯性矩，等于Ix+Iy；A为钢轨横截面积；h为钢轨高度；E、G为钢轨弹性模量和剪切模量；ρ为钢轨密度；J为截面扭转常数；kx、cx，ky、cy，kt、ct分别为扣件的径向、竖向和扭转弹簧刚度与阻尼；V为列车移动速度，m/s。

2 方程求解与验证

采用模态叠加法对式（1）进行求解，对于曲线Euler梁，曲梁的挠度和扭转角表达式如下：

其中：Yi(z)是正则振型函数，qui(t)～qβi(t)为对应的时间坐标函数；nm为振型模态数，一般要求不小于曲梁长度除以扣件间距的一半；对于长曲梁，其振型函数表达式为：

将式（3）代入式（1），经过化简，得到2阶常微分形式的钢轨振动方程，如下：

其中：

将曲梁的2阶常微分振动方程组写成统一的矩阵方程形式，方程由4nm个方程组成，形式如下：

其中：待求解变量X={qu1，qu2，…，qunm，qv1，qv2，…，qvnm，qw1，qw2，…，qwnm，qβ1，qβ2，…，qβnm}T，质量矩阵M，阻尼矩阵C和刚度矩阵K为4nm×4nm矩阵，荷载向量P为4nm×1矩阵。假设轨道初始加速度、速度和位移都为零，采用4 阶龙格-库塔数值方法对矩阵方程（7）进行求解，得到曲线轨道各向振动位移的时程响应。

3 计算结果

3.1 数值计算结果验证

为验证本文所采用的龙格-库塔法计算结果的准确性，参照文献[7]模型参数和解析计算结果进行对比，对比计算结果如图3 至图5 所示。可以看出，本文计算结果与理论解析结果几乎一致，可见，龙格-库塔法计算的曲梁振动响应结果是准确的。从图中也可以看出，列车移动会产生比较明显的径向挠度和扭转位移，应引起足够的重视。

图3 竖向位移对比图

图4 径向位移对比图

图5 扭转位移对比图

3.2 主要影响因素分析

根据《地铁设计规范GB50157-2003》[12]，曲线轨道的最小半径计算公式如下：

式中：V为列车运行速度，km/h，hmax为最大超高，120 mm；hqy为允许的最大欠超高，为61.2 mm，对应的轨道最大超高角为7.2°。在最大超高情况下，计算出当前列车速度下的轨道最小曲线半径，如表1所示。

表1 不同车速下曲线轨道最小半径

为进一步分析曲线轨道的振动特性，以T60 钢轨和DTVI2扣件为例，分析不同参数影响下曲线轨道的空间振动特征，曲线轨道的参数如表2 所示。考虑到曲线轨道的振动响应影响因素较多，常见的轨道刚度参数影响特性和直线轨道类似，故本文只选择影响列车振动荷载的列车速度、曲线半径和超高角进行分析。

表2 T60钢轨及DTVI2扣件参数[10]

（1）列车速度的影响

不同列车速度下曲梁竖向挠度、扭转位移和径向挠度如图6至图8所示。

图6 不同列车速度下竖向挠度对比（θ=7.2∘）

从图中看出，三个方向的位移随列车速度的变化规律各异。在目前的车速范围下，当轨道半径满足最小半径要求时，曲线轨道的竖向挠度随速度增加变化量很小，当半径不满足最小半径要求时，竖向挠度随列车速度的增加而快速增加，半径越小，竖向挠度增加得越明显，曲梁竖向挠度始终大于直梁的挠度。

对于扭转位移，曲梁的扭转位移都是随着车速的增加逐渐减少直至下降为零，此后车速继续增加而曲梁的扭转位移基本不变。通过计算发现，扭转位移为零的车速V=gRtanθ，可算出各半径所对应扭转位移为零的车速刚好是最小半径对应的车速，这一车速也称为“理想车速”。可见，理想车速与曲线半径和超高角密切相关，三者互相关联影响曲线轨道位移响应。如图7 所示，直梁的扭转位移大于曲梁，这是因为本文假设直梁也存在超高角，当列车在倾斜直轨上行驶时会在横向上产生挠度变形。

图7 不同列车速度下扭转位移对比（θ=7.2°）

曲梁径向挠度变化规律则是随速度的增加先减小后增大，和扭转位移一样，在理想车速处径向挠度为零。图8 的径向挠度为绝对值，理论上当列车速度超过理想车速后，径向挠度指向圆心之外，挠度应为负值。从图中可知，曲线轨道上列车运行应尽量接近理想车速，而不是单纯的增加曲线半径，否则大曲线半径下的径向挠度反而有可能大于小半径下的径向挠度值。

图8 不同列车速度下径向挠度对比（θ=7.2°）

（2）曲线半径的影响

不同曲线半径下的曲梁竖向挠度、扭转位移和径向挠度的结果如图9 至图11 所示。如图9 所示，当曲线半径小于最小半径要求时，增加曲线半径可以有效减小竖向挠度的大小，当曲线半径增加到满足最小曲线半径要求时，继续增加曲线半径对减小竖向挠度的意义不大。

图9 不同曲线半径下竖向挠度对比（θ=7.2°）

曲线半径对扭转位移的影响如图10所示，可以看出，在一定的列车速度下，最小曲线半径对应的扭转位移为零。当曲线半径大于最小半径后，扭转位移反而随着曲线半径的增加不断增加直至趋于稳定，扭转位移最终值与列车速度有关，车速越大，最终扭转位移越小。

图10 不同曲线半径下扭转位移对比（θ=7.2°）

径向挠度随曲线半径的变化规律如图11所示，同样，径向挠度受曲线半径的影响也与列车速度有关。当列车速度较小，曲线半径大于等于最小半径时，径向挠度随着曲线半径的增加而逐渐增加最后趋于稳定。当曲线半径不满足列车速度所对应的最小半径时，径向挠度先随曲线轨道半径的增加降为零，然后随列车速度逐渐增加至挠度趋于稳定。可见，当曲线半径无穷大时，列车速度引起的离心力可以忽略不计，最终曲梁挠度也接近直梁下的径向挠度结果。

图11 不同曲线半径下径向挠度对比（θ=7.2°）

（3）超高角的影响

曲线轨道需要设置一定的超高角以抵抗列车离心力的作用。根据超高角允许值，超高角变化范围为0～7.2°。以列车速度20 m/s为例，不同曲线半径下竖向挠度随超高角的变化规律如图12 所示。当曲线半径小于等于最小曲线半径时，竖向挠度随着超高角增加而增加，最大超高角对应的竖向挠度最大。当曲线半径大于最小曲线半径时，竖向挠度随着超高角的增加先增大后减小，存在一个超高角使得竖向挠度最大。不过，从竖向挠度的变化程度来看，超高角对竖向挠度的影响较小，变化率不超过1%，故改变超高角对竖向挠度影响不大。

图12 不同超高角下竖向挠度对比

不同超高角对径向挠度的影响如图13所示，当曲线半径小于等于最小半径时，增加超高角可以使得径向挠度逐渐减小，最大超高角对应的径向挠度最小，而当曲线半径大于最小曲线半径时，径向挠度随着超高角的增加先减小为零后快速增加，存在一个理想超高角，使得径向挠度为零。当超高角大于理想超高角后，曲线半径越大，列车运行产生的径向挠度也越大。可见，径向挠度的变化规律和竖向挠度基本相反，列车振动荷载产生的振动效果由横向和竖向两方面的位移承担，竖向振动增强，相应地横向振动就会减弱。不过对于曲线轨道来说，应尽量减小横向的振动位移以减小列车运行对轨道的磨损。因此，在列车运行速度一定的情况下，适当增加曲线半径同时减少超高角大小，可以使竖向挠度和径向挠度结果都有所减小。

图13 不同超高角下径向挠度对比

4 结语

本文基于振型叠加法和龙格-库塔法计算研究了移动荷载下曲线轨道梁的振动特性，并与直线轨道梁进行比较，分析了列车速度、曲线半径和超高角对曲梁竖向、径向挠度和扭转位移的影响。综上研究，主要得到以下结论：

（1）当曲线半径满足最小半径要求时，列车速度增加对曲梁的竖向挠度影响很小，扭转位移和径向挠度受列车速度的影响较大，扭转位移随车速增加降为零后基本不变，径向挠度随车速的增加先减小为零随后快速增大，径向挠度变形存在一个理想车速；

（2）当曲线半径小于最小半径时，增加曲线半径可以有效减小曲梁的竖向挠度，达到最小半径要求后，继续增加曲线半径对曲梁竖向挠度影响很小，当曲线半径大于最小半径时，扭转位移随曲线半径增加逐渐增大最终趋于稳定，径向挠度则先减小为零再随曲线半径的增加最终趋于稳定；

（3）改变超高角对曲梁竖向挠度的影响不大，当曲线半径小于等于最小半径时，增加超高角可以减小径向挠度，增加曲线半径有利于减小超高角的大小以达到降低径向挠度的目的。