初中函数单元教学应把握好三个关键词

刘 艺， 赵思林

(内江师范学院 数学与信息科学学院， 四川 内江 641100)

0 引言

著名数学家克莱因有一句名言：“函数是数学的灵魂．”整体地把握中学数学课程是数学课程标准的基本理念之一[1]．这就意味着，不能整体地把握函数就不能把握数学的灵魂．函数概念从萌芽到发展成熟经历了数百年的时间．函数概念的萌芽可能源于14世纪法国数学家奥莱斯姆使用图形表示依时间t而变的x；17世纪伽利略、笛卡尔等发现了一个变量对于另一变量的“依赖关系”；牛顿、莱布尼兹“把函数当作曲线”；1718年约翰·贝努利“把变量x和常量按任何方式构成的量叫‘x的函数’”(注意：不严密)；欧拉认为“一个变量的解析式叫函数[2]”(注意：不严密)，并给出了函数符号f(x)；1822年傅里叶发现某些函数可以用一条曲线，或一个或多个式子表示；1837年狄利克雷指出：“对于在某区间上的每一个确定的值x，y都有一个确定的值，那么y叫作x的函数．”[2]现行初中、高中教材的函数定义基本接近狄利克雷这个定义．不难看到，历史上不少数学家对函数的认识也经历了从简单到复杂、从不太准确到准确、从不太严密到严密的过程，他们提出了各种各样函数概念的观点，如“变量”说、“图像”说、“解析式”说、“依赖关系”说、“单值对应”说、“映射”说、“关系”说，等等．数学家对函数认识的曲折过程给我们的启示是，理想的初中函数教学不能是短时间完成“计件”任务的“快餐”式教学，应是整体性规划、模块化设计、分阶段落实并且时间跨度比较长的单元教学．单元教学包括单元教学设计、单元教学实施和单元教学评价．

1 问题的提出

初中函数知识作为7—9年级“数与代数”的核心内容，是初中数学难教、难学的内容之一，对高中数学知识的学习具有重要的“脚手架”作用，对培养学生的数学素养具有重要意义．因此，对初中函数知识的教学研究一直是初中教学研究的热点．研究表明，数学单元教学是培养学生数学核心素养的简约有效的方法[3]．数学单元教学是以整体教学观和系统论为教学指导，将关联性强的知识、技能和经验整合为模块实施的教学活动[3]．

一些教师对初中函数单元教学作了研究并取得成果．如，斯海霞等[4]以大概念为锚点，提出了单元教学的设计路线，并以培养学生数学建模素养为目标，做了初中函数单元教学设计．此教学设计对初中函数单元教学具有启发性，但其提出的单元教学路径比较繁琐，且仅以一次函数为例给出了教学设计．丁福珍[5]采用整体教学策略，将三类函数模型复习整合成两个课时，其中第1课时构建了三类函数(一次函数(含正比例函数，以下不再说明)、二次函数、反比例函数)的知识结构，并归纳出研究三类函数的基本方法几乎都是按照“情境—问题—定义—图像—性质—应用”来展开的，这个基本方法对学习和研究高中、大学阶段的其他函数也是适合的，这里提炼出来的“研究函数的基本方法”对学生来说无疑具有方法论价值．但多数研究者在对初中函数教学单元教学设计时，没有系统考虑与高中数学知识的衔接，并且没有把锐角三角函数(sinA,cosA,tanA)纳入其中．对一线教师的访谈发现，不把锐角三角函数纳入其中有以下原因：一是初中学习的锐角三角函数(sinA,cosA,tanA)实质上是映射(即使用角度制表示的角度集合到比值集合的单值对应)，而不是高中讲的函数(实数集的非空子集到实数集的非空子集的单值对应)；二是初中阶段的三角函数的研究方法是按照“情境—问题—定义—应用”展开的，在初中由于不学习弧度制就没法研究三角函数的图像和性质，这就与上述研究初中三类函数模型的基本方法不完全一致，会让学生甚至是教师感到困惑，因此考虑到初中学生的认知能力，对三角函数的教学只宜做降低难度或淡化处理，这样做也体现了“教育数学”的理念；三是初中学的锐角三角函数的定义主要用于解三角形，其次是为高中系统学习解三角形、三角函数的图像与性质等打基础．

理解变量的概念是理解函数概念的前提．调查发现，学生对“函数与变量的关系”的认识比较模糊．如，有研究者用类似于“3x+2是x的函数吗？当x取m-2时，3x+2是m的函数吗？”的问题测试学生，测试结果显示，因学生缺乏“变量”意识和存在对函数概念的不正确理解等问题，致使此题得分率仅为0.31[6]．此案例让我们揣测，学生也难以回答“x是函数吗？”“x是x的函数吗？”等问题；为什么多数学生不把代数式3x+2看成函数呢，究其原因，可能是因为这里只有一个变量x而没有y，也可能是学生看不到或想不到在这里隐含了一个(单值的)对应关系：x→3x+2．尽管学生刷了大量的函数题目，但他们仍然难以把一个字母或代数式看作一个变化的量或函数，从而就没有办法理解函数的本质，也就难以养成函数的“三会”素养(即会用函数的眼光看待和表征问题，会用函数的思想方法去分析、探索和解决问题，会用函数的语言和符号简洁规范地表达问题)．

访谈发现，初中数学教师在对初中函数单元教学设计时，容易出现函数集中教学的“前期”缺乏“渗透”和在函数主要知识集中教学的“后期”(或初三复习时)的“衔接”不力等问题．因此，理想的初中函数单元教学实施应分为三个阶段：第一阶段要“渗透”变量、对应、关系等函数的基础概念；第二阶段要“提炼”函数的核心知识(如三要素、几类函数模型及性质)、函数思想方法、研究函数的基本方法以及用函数知识解决问题的基本方法；第三阶段要“衔接”高中数学知识．

2 初中函数单元教学设计的主要步骤与“三阶段”的说明

初中函数单元教学设计的主要步骤有四步：第一步，选取教学内容和组织子单元；第二步，确立函数素养培养目标；第三步，教学实施的“三阶段”：渗透、提炼、衔接；第四步，设计教学评价．

2.1 第一步：选取教学内容和组织子单元

在核心素养的视角下，明确教学内容(含课时安排)，将关联性强的知识、技能和经验组织为一个单元．单元教学内容的选取和组织须琢磨教材，明确该内容在初中阶段的知识结构体系．斯海霞等[4]对国内目前使用的五版初中数学教材中函数单元的编排进行分析，发现人教版的编排最为科学系统，符合数学知识逻辑与学生的认知逻辑．因此，本文采用人教版教材的知识逻辑框架来设计，具体章节和内容的设计作了一些调整，意在做到整体性规划、模块化设计、分阶段落实初中函数单元教学．

初中函数单元可组织5个子单元：

①函数的三要素(八年级下册，3学时)；

②三类函数模型(八年级下册的一次函数4学时、九年级上册的二次函数5学时、九年级下册的反比例函数3学时)，函数的三要素及三类函数模型单元复习(3学时)；

③锐角三角函数(九年级下册5学时)，本文不作重点研究；

④函数思想方法与应用(初三总复习，4学时)；

⑤与高中数学知识衔接(初二章节复习或初三总复习，1学时)．

完成全部教学任务约花28学时,比非单元教学所需学时更少,并且增加了“函数的背景(含函数发展简史)”“函数思想方法与应用”“初中函数与高中数学知识的衔接”等重要内容.因此，实施单元教学是比较节省时间的，不仅有利于聚焦核心素养的培养，而且有利于“双减”政策的落实，以达到减负提质的效果．

2.2 第二步：确立初中函数素养培养目标

基于学情并依据《课程标准》，确立初中函数素养培养目标，见表1．

表1 初中函数素养培养目标

2.3 第三步：设计教学实施的“三阶段”：渗透、提炼、衔接

初中函数单元教学设计的大工程在于单元教学内容的整体设计，即教学实施阶段应“教什么”“如何教”的设计．因此，本文重点阐述初中函数单元教学设计中教学实施的三个关键阶段应“教什么”“如何教”．其中，把“如何教”提炼为三个关键词：“渗透”“提炼”和“衔接”，它们也是紧密联系的三个教学阶段(见图1)．第一阶段是“渗透”变量、对应、关系、变化等函数的基础概念；第二阶段是“提炼”函数核心知识、函数思想方法、用函数思想解决问题的方法；第三阶段是“衔接”高中数学知识．在这里，“渗透”是基础，“提炼”是关键，“衔接”是升华．

图1 初中函数单元教学实施的三阶段及内容

2.3.1 第一阶段：渗透

此阶段是函数教学的启蒙阶段，意在培养函数意识，搭好后续学习的“脚手架”，主要任务是“渗透”变量、对应、关系、变化等函数基础概念．函数概念的渗透始于初一年级(甚至可以更早)，如“字母表示数”“解析式(包括整式、分式、根式等)”“正比例关系的概念”“反比例关系的概念”等，都是渗透“变量思想”“对应思想”“关系思想”“变化思想”的知识载体．显然，变量、解析式都是认识与理解函数的重要“脚手架”，但需让学生知道，取值不唯一的解析式都不是函数．也就是说，一个变量的解析式不一定是函数．但基于学生的认知经验，如果学生能够“把一个变量的解析式看作函数(欧拉)”[2]，如学生认识到“x是函数”“3x+2是x的函数”，那么学生对函数的认识就算初步入门了．对一线教师访谈发现，不少教师在这些内容的教学中缺乏渗透“变量思想”“对应思想”“关系思想”和“变化思想”的意识．因此，在全面系统学习函数知识之前，重视渗透“变量”“对应”“关系”等函数的基础概念是非常必要的．

2.3.2 第二阶段：提炼

提炼是函数概念形成、函数性质获取、函数思想方法内化、函数认知结构建构的心理加工机制．本文中的提炼含有抽象、概括、心理加工和图式建构之意，因此提炼也可理解为是对抽象、概括、心理加工和图式建构的统称．提炼作为数学学习的核心心理机制，包括概念抽象机制、法则概括机制、认知加工机制、数学图式建构机制和数学问题解决经验获取机制等．初中函数的学习过程是在若干个子过程中提炼数学信息的过程，这些子过程包括函数概念的形成过程、函数性质的发现过程、函数思想方法的内化过程、函数认知结构的建构过程．具体来说，初中函数主要是在八年级下册(人教版)开始系统学习，学习的关键词是“提炼”，主要包括函数定义的提炼(函数定义内蕴函数的三要素)、四类函数模型的提炼、三类函数的性质的提炼、函数思想方法的提炼、用函数思想方法解决问题的一般方法的提炼等内容．

(1)函数定义的提炼.

在引入函数定义之前，教师可以先介绍函数发展的简史，特别是要介绍数学家对函数不断深化的认识过程与观念(概念)创新，其意图是让学生受到数学创新文化的教育，以达到以文育人、以文树人、以文化人的教育目的．函数定义的提炼可根据多元表征理论，让学生多维度去感知情境、分析问题、逐步提炼出定义．提炼函数定义的方法很多，如，从数学史中引出函数概念和符号；从三类有理函数模型的具体问题情境中引出函数概念；借助于解析式、图像、表格等方式去发现和揭示两个变量的单值对应关系，进而提炼出函数定义，并由此掌握函数的三种表示方法．

学生学习函数定义最大的难点在于理解什么是单值对应，即“对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值(函数值)与之对应”．突破这个教学难点的方法很多，如，可利用教材或自编的3至5个问题情境，让学生抽象出两个变量(比如x和y)，然后建立y与x的等量关系，接着分析和判断x到y的对应关系是否为单值对应，最后得到结论；让学生理解“3x是x的函数”，这里的对应关系是“x→3x”；让学生理解“1-5t是t的函数”；此外，也可利用反例强化理论，让学生知道，形如

等取值不唯一的解析式都不是函数．

函数的定义内蕴函数的三要素．在初中，函数的三要素是指函数的自变量x的取值范围、函数值y的取值范围、对应关系；在高中则是指函数的定义域、值域、对应关系．在初中主要是研究函数的自变量x的取值范围(即定义域)，给出x的值去求函数y的值(即求函数值)．在初中阶段，学生全面理解函数的三要素是困难的，教师可侧重于理解自变量x的取值范围和函数值的概念，并会求自变量的取值范围、会求函数值．

(2)函数模型的提炼.

函数模型是函数的“模特”，是研究函数的重要载体．函数模型集定义(解析式)、图像、性质与应用于一体．初中学习的函数模型主要有三类有理函数和锐角三角函数，其关系见图2．研究三类有理函数的基本步骤是：实际问题—函数定义—图像—性质—应用．让学生顺便了解，高中将要学习的指数函数、对数函数、三角函数等函数模型也是按照这些步骤展开的．数学教学普遍遵循特殊到一般的认知规律，教学一般先讲正比例函数(特殊的一次函数)，然后将它推广或类比得到一次函数、二次函数和反比例函数；二次函数还可由一次函数推广和类比得到．锐角三角函数作为一个独立的子单元在三类有理函数单元结束之后才学习，其研究方法按照“情境—问题—定义—应用”展开．

图2 函数模型关系

(3)函数思想方法的提炼.

在解决问题过程中感悟函数思想、变量思想、单值对应思想、模型思想、数形结合思想、化归与转化思想等．利用函数知识解决的问题主要有两类，第一类是解决涉及代数式(解析式)、方程、不等式等的综合问题，包括结合函数图像与性质解二元一次方程组、一元二次方程根的分布问题；抛物线与直线的交点问题；求不等式解集；函数零点问题等，从而使学生建立起“以函数为纲”的体现整体性、联系性的数学认知结构[7]；第二类是具有实际意义的情境性问题，这类问题主要是让学生通过建立函数模型(构造函数)解决问题，并体会函数思想方法的应用价值．由于函数图像是研究函数和解决问题的重要工具，需重视教学方法与信息技术的融合，帮助学生熟练地掌握画函数图像这一重要技能，养成画函数图像、用函数图像分析问题的习惯，在数形互化中体悟函数思想．

(4)解决问题之一般方法的提炼.

解决问题过程中提炼运用函数思想解决问题的一般方法：引入变量(设字母)—建函数关系—画函数图像—探函数性质—解决问题，简记为“设—建—画—探—解”．可以安排在初三总复习时进行．

例1已知方程x2+mx+2m-1=0的一个根小于2，一个根大于2，求m的值的范围．

分析1若用求根公式求解，则需要先解答两个含根式的不等式，然后求出它们的交集，即解不等式组

这对初中学生来说是非常困难的．

某市50名骨干教师在3分钟之内，仅有6人(占12%)想到了运用函数的思想方法来解决．其他大多数老师是在尝试利用判别式、或列不等式组、或韦达定理等方法“失败”之后，才“被动”想到下面的函数思想方法．

分析2可有效培养学生函数的“三会”素养，即会用函数的眼光去看待问题和表征问题，会用函数的思维去思考、探索、分析并解决问题，会用函数的语言去描述问题和表达问题．这可提高学生用函数思想方法解决问题的能力，并深刻体会函数思想方法的价值．

2.3.3 第三阶段：衔接

做好初中函数知识与高中数学知识的衔接，对学生的后续学习具有重要意义．初中函数知识是学习高中的函数知识、平面解析几何中的直线方程(如直线的斜截式方程)和圆锥曲线(双曲线、抛物线)的重要基础．现在的初中学生毕业后绝大多数都要进入高中(含职业高中)学习．重视初、高中数学的衔接是初中教师的基本职责．但访谈发现，由于很多老师对高中相关数学知识不太熟悉，导致在初中、高中函数知识的衔接教学不力．此阶段在于把初中学习的函数知识变成学习高中函数知识、直线方程、双曲线、抛物线等知识的坚固的“脚手架”．因此，教学内容的设计理念是立足于初中函数知识、着眼于高中的相应知识，即加强与高中函数(含三角函数)、抛物线、双曲线等的衔接．

衔接1：函数符号的衔接．在上面的例1之分析2中，“当x=2时，y<0”，即有“22+2m+2m-1<0”，问学生有没有更简单的办法表示这个过程呢？这里，可启发学生，今后可用“f(2)<0，即22+2m+2m-1<0”来表示这个过程．这样引入函数的符号f(x)，既自然，又体现了数学符号的简单美．教师进一步说明，初中“用y表示x的函数”不方便、不简洁，这可激发学生学习高中函数知识的内在动机．由此，教师可简略地、顺便地介绍高中和大学主要用f(x)表示x的函数，因此有y=f(x)．符号f可看作是x到y的单值对应，或者看作是关于x的一个算法，可以用解析式、图像、表格等方式表征[8]．

衔接2：函数三要素的衔接．高中函数的三要素为定义域、值域、对应关系．定义域为函数自变量x的取值范围，值域为函数y的取值范围．初中、高中函数定义中的对应关系均是指“对于自变量的每一个值，因变量都有一个唯一确定的值(函数值)与之对应”．

衔接3：研究函数的基本方法的衔接．高中函数的研究方法与初中函数研究方法一致，可提炼为：函数的定义—画函数图像—探函数性质—函数图像与性质的应用．

衔接4：一次函数与直线方程的衔接．一次函数是直线方程的一种形式，即直线的斜截式方程．对于斜截式方程，直线方程中斜率可以是0，但一次函数的斜率不能为0．一次函数中两个参数k，b的几何意义是学习高中直线方程的基础，可作简单介绍．

衔接5：二次函数与抛物线的衔接．二次函数的图像是抛物线，而抛物线的解析式不一定是二次函数，如x=y2．

衔接7：与高中解三角形知识的衔接．利用初中学习的锐角三角函数，可直接推导出三角形的面积公式、正弦定理和余弦定理．高中将学习任意角的三角函数的定义，可视为是初中锐角三角函数定义的推广．

这些与高中知识可衔接的内容应根据学生实际情况做选择，不可能都讲．

2.4 第四步：设计教学评价

单元的评价任务设计是落实核心素养评价质量标准的重要路径[9]．数学核心素养既是个体在长期的数学理解、应用、思维、发现(创造)等活动中反复修炼、自主生成的过程，也是个体对数学经验不断积累、反省、反证的自我体验过程[10]．学生学习函数需要做到学习策略、数学思维的自组织与他组织相统一．自组织强调学生的主动学习和独立思考，他组织强调学生与教师、同学、学习小组之间的合作、互动及经验分享．学生获得函数素养的本质是个体通过生理系统、心理系统、知识系统、教学系统、环境系统五大系统的互动与组织而获得函数“三会”素养的过程[11]．因此，初中函数单元教学应扎实“四基”、培养“四能”，在获得函数的知识经验和函数的思维经验、积累用函数思想方法分析和解决问题的经验的基础上，通过对函数经验的不断反思、反省、反证等思维方式培养学生的函数“三会”素养．即，“四基”落脚点在于数学经验的获得，它侧重于数学信息的输入与内化；“四能”落脚点在于解决问题，它侧重于数学经验的输出与外化；而“三会”素养则是在个人的“四基”与“四能”基础上的综合体现．因此，初中函数单元教学的质量可以从“四基”“四能”“三会”等维度编制评价量表并进行测评．

3 教学建议

通过问卷调查与访谈发现，初中数学教师实施函数单元教学的实际情况不太理想，尤其是教龄较短和职称较低的教师更不理想．单元教学设计需要教师对教材进行二次开发，是一项创造性工作，对教师的数学学科教学知识素养有很高要求．因此，有效实施初中函数单元教学的前提是发展关于中学函数方面的优良的MPCK素养(即中学函数的学科教学知识素养)和教研创新素养[12]．教师需掌握初中函数与高中密切相关的函数知识(含三角函数)、平面解析几何(含直线方程、双曲线、抛物线)和解三角形等知识，意在通过与高中相关知识的无缝衔接增强学生将来学习高中数学的能力．教师可从相关期刊文献中获得单元教学的理论与教学案例，增强用单元教学理论研究与开发中学数学教材、创新教学设计、研究课堂教学、撰写教研成果的意识与能力．建议实行新老教师一对一的“师徒”制，让经验丰富的中老教师指导新入职教师搞好单元教学．需要说明的是，本文第二部分内容与学时安排应根据学情参考或取舍，切忌完全照搬，并需在教学实践中不断改进与完善．