整合分数阶修正的等宽波动方程的所有单行波解的分类

李 钊， 蒋志颖

(成都大学 计算机学院, 四川 成都 610106)

0 引言

分数阶偏微分方程通常用于模拟自然科学和工程技术中的具有记忆和遗传性质的复杂系统[1-3].如文献[4]中，在图像放大中容易出现边缘和文理的模糊，采用分数阶偏微分方程可以有效地还原图像边缘的纹理. 近年来，对于分数阶偏微分方程的研究备受关注，研究主要集中在解的振动性、数值解、初边值问题和精确解等方面[5-8]. 特别是寻找分数阶偏微分方程的精确解是分数阶偏微分方程研究的核心问题之一. 但是由于分数阶导数的多样性，有些分数阶导数已经被提出，但是却不满足链式法则[9-10]，对于这种分数阶导数，我们无法通过一个行波变换，将分数阶偏微分方程转化为非线性的常微分方程. 因此，长期以来，对于分数阶偏微分方程的精确行波解的研究一直进展缓慢. 最近，Khalil等[11]提出整合分数阶导数，基于整合分数阶导数，通过建立行波变换，可以将分数阶偏微分方程简化为一个非线性的常微分方程[12-14]. 多项式完全判别系统方法首先是由刘成仕[15]提出的，并且该方法已经被应用于构建非线性偏微分方程精确行波解的分类.

本文利用多项式的完全判别法考虑如下整合分数阶修正的等宽波动方程[16-17]

(1)

定义1.1[18]设函数f:[0,∞)→R,

(2)

定理1.2[19]设α∈(0,1]，且f(t),g(t)在点t>0处α阶整合分数阶可导，下列性质成立.

(6)(链式法则) 假设函数f,g:[0,∞)→，则

1 方法描述

首先考虑如下的整合分数阶偏微分方程

(3)

其中u=u(t,x),P是含有u的关于变量x的导数、变量t的导数、变量t和变量x的分数阶导数的多项式.

步骤1对方程(3)引入行波变换

其中k,c为待定常数. 则方程(3)转化为非线性常微分方程

P(u,u′,u″,u‴,…)=0.

(4)

步骤2如果上述非线性的常微分方程(4)经过一系列的变换后能够约化成为如下的常微分形式:

(u′)2=u4+pu2+qu+r，

(5)

其中(5)式可以写成积分形式

(6)

这里，令四阶多项式f(u)=u4+pu2+qu+r的完全判别式为:

(7)

接下来，我们可以根据多项式完全判别系统(7)，获得方程(6)的解的分类.

2 整合分数阶波动方程的精确解

对方程(1)作行波变换

其中k和c为待定常数. 则方程(1)被简化为:

cu′+3aku2u′-bck2u‴=0.

(8)

对方程(8)关于ξ积分一次，可得

c1+cu+aku3-bck2u″=0，

(9)

其中c1是积分常数.

在方程(9)两端同时乘以u′，可得

c1u′+cuu′+aku3u′-bck2u″u′=0.

(10)

对方程(10)两端同时积分一次，化简可得

(11)

其中c2是积分常数.

当abck>0时，作如下变换

(12)

将(12)式代入(11)式可得

(13)

其中

根据完全判别系统 (7) ，可以得到方程(1)的所有单行波解的分类，共有九种情形.

情形1D2<0,D3=0,D4=0时，f(v)=0有一对二重共轭复根，即f(v)=[(v-α)2+β2]2，其中α,β是实数. 则由(11)式可得

那么方程(1)的解为

情形2D2=0,D3=0,D4=0时，f(v)=0有四重共轭复根，即f(v)=v4.则方程(1)的解为

情形3D2>0,D3=0,D4=0,E2>0时，f(v)=0有两个不同的二重实根，即

f(v)=(v-α)2(v-β)2,

其中α,β是实数且α>β.则当v>α或v<β时，由(11)式可得

(14)

若v>α或v<β，由方程(14)可得方程(1)的解为:

若α

情形4D2>0,D3>0,D4=0时，f(v)=0有一个二重实根和两个一重实根，即

f(v)=(v-α)2(v-β)(v-γ),

其中α,β,γ是实数，且β>γ.当α>β且v>β时，或者α<γ且v<γ时，由方程(14)可得:

当α>β且v<β时，或者α<γ且v<β时，由方程(14)可得方程(1)的解为:

当β>α>γ时，由方程(14)可得方程(1)的解:

情形5D2>0,D3=0,D4=0,E2=0时，f(v)=0有一个三重实根和一个一重实根，即

f(v)=(v-α)3(v-β),

其中α,β是实数. 当v>α且v>β时，或者v<α且v<β时，由方程(14)可得方程(1)的解为:

情形6D2D3<0,D4=0时，f(v)=0有一个二重实根和一对共轭复根，即

f(v)=(v-α)2[(v-β)2+γ2].

由方程(14)可得:

情形7D4>0,D3>0,D1>0时,f(v)有四个实根，即

f(v)=(v-α1)(v-α2)(v-α3)(v-α4),

其中α1，α2,α3,α4是实数，α1>α2>α3>α4.当v>α1或v<α4时，作如下变换

再由方程(14)可得

(15)

于是方程(1)的解为:

情形8D4<0,D2D3≥0时,f(v)有两个不同的实根和一对共轭复根，即

f(v)=(v-α)(v-β)[(v-γ)2+λ2],

其中

则方程(14)的解为:

(16)

由方程(16)及其雅克比椭圆函数的定义可得

则方程(1)的解为

情形9D4>0,D2D3≤0时,f(v)有两对共轭复根，即

f(v)=[(v-α1)2+β12][(v-α2)2+β22],

则方程(14)的解为:

(17)

由方程(17)及其雅克比椭圆函数的定义可得

则方程(1)的解为

3 结论

本文利用四阶多项式完全判别法，构建了整合分数阶修正的等宽波动方程的精确行波解，给出了该类方程的所有单行波解的分类，这些解主要包括双曲函数解、三角函数解、有理函数解、Jacobi椭圆函数解和隐式解. 事实上，对于任意的分数阶偏微分方程，在整合分数阶导数下，利用分数阶行波变换，将分数阶偏微分方程简化为一个非线性常微分方程，而该非线性常微分能够简化为(5)式，就可以通过四阶多项式的完全判别系统获得该类分数阶偏微分方程所有单行波解的分类. 本文所用的方法是新的、有意义的. 所获得的整合分数阶修正的等宽波动方程的解更丰富，特别是雅克比椭圆函数解和隐式解在其他文献中并没有报告.