找规律先从有序思考和符号简化做起

沈永玲

[摘 要]在找规律的教学中，让学生通过表面现象和图表字符发现内隐的排列规律、运算规则，不但可以培养学生观察、分析、概括、推理、归纳、类比等思维及技能，还可以培养学生创造性处理问题的应变能力。以“搭配的规律”教学为例，阐述如何用好教导和练习这两大培养学生探寻规律能力的利器。

[关键词]找规律;有序思考;符号简化

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）11-0060-03

蘇教版教材增设的“找规律”单元，为培养学生探寻规律的能力编排了优质的教程，且强调：找规律知识的落脚点在“寻找”，而不在对所发现规律的创新运用上。那么，如何在课堂教学中细化贯彻和落实“寻找”，使学生不断积累“寻找”的经验，提高“寻找”的能力呢？下面笔者就以“搭配的规律”教学为例展开说明。

一、渗透有序思考，摸清“找”的门道

【教学片段1】

师：同学们喜欢打乒乓球吗？（学生自由交流）

师：省乒乓球队现役球员中有陈红、李兰、马芬3名女球员，杜刚和李勤2名男球员。要选1名男球员和1名女球员参加男女混合双打项目的比赛，如果你是省队教练，你准备怎样安排他们上场？（学生自由回答）

师：看来有多种搭配方案，那么共有多少种呢？大家不妨推测一下。（绝大多数学生认为有6种）

师：到底是不是6种搭配方案呢？现在请每个小组拿出老师分发给你们的球员照片摆一摆，模拟组队验证一下。

（让某位学生一边在电脑上拖拽图片演示一边解说选配经过）

师：他这样搭配条理清晰吗？是按照什么顺序依次展开的？有缺漏吗？

生1：他先选男球员，再分别搭配女球员。

师：还可以依照怎样的次序搭配？（让其他学生演示方案）

师（小结）：只有井然有序的搭配才能做到不重不漏。谁能总结一下？

生2：先从球员照片中选出所有的男球员，再依次搭配女球员;或先从中选出所有的女球员，再依次搭配男球员。

【反思】找规律首先要有动机，教师创设男乒乓球员和女乒乓球员的搭配情境，能有效激发学生的探究兴趣。在学生说出搭配方案后，教师让学生拿出照片进行配对复盘。学生通过直观操作，由散乱随机搭配，出现重复或者遗漏的情况，到捋顺思绪，最终找到有序的排列方法。

数学教学的宗旨是培养和提高学生的思维能力，而有序思考则是衡量思维能力的重要指标，也是解决烦琐问题的一种捷径，可以将头绪复杂的问题条理化。搭配问题有两大基本解法——一一列举和算术运算，而算术运算的算理正是源自列举，其本质就是将随机列举变成依序列举，依照列举的规律归纳出计算公式。上述教学中请学生拼摆时，有部分学生随意拼摆，有部分学生会自觉运用有序思想，按照一定的先后顺序逐一拼摆，逐一排查。此时，教师提醒学生比较“有序”和“无序”两种摆法，并检查是否有重复或遗漏，从而彰显有序排列的优越性，让学生意识到“有序”拼摆才是“正道”。教师在提问中鞭策和督导学生将“有序”思想转化为行动，并在后续教学中继续强化“有序”思想。

二、研磨探究过程，优化“找”的措施

【教学片段2】

师（收起照片）：如果没有球员照片，你会用涂画线条或者标记符号的方式呈现各种不同的搭配方案吗？请大家试一试。

（学生独立探究，教师巡查）

师（展示生1用文字表示的搭配方案：陈红—杜刚、陈红—李勤、李兰—杜刚、李兰—李勤、马芬—杜刚、马芬—李勤）：生1这种搭配方案有何规律？

生2：他先暂定女球员陈红，然后分别依次搭配男球员;再暂定女球员李兰，然后分别依次搭配男球员;最后选定女球员马芬，然后依次搭配男球员。

师（展示生3用符号来表示的搭配方案：A1、A2;B1、B2;C1、C2）：这里的英文字母A、B、C代表什么，阿拉伯数字1、2又有什么含义？你们看得懂吗？

生3：A、B、C 分别代表三名女球员;1、2分别代表两名男球员。

师：对比上述两种表示法，它们有什么共通之处？你更倾向于哪种表示法？

生4：这两种表示法都是严格按照某种顺序依次进行的，都是先暂定女球员，再搭配男球员。显然，符号记录比文字记录更简便。

（教师展示生5用连线表示的搭配方案，如图1所示）

师：你们能看明白这其中的奥妙吗？这里的每条线有什么含义？

生6：每条线表示两名球员搭配（组合）在一起。

师：这些线条是胡乱连接的吗？我们请生5解释一下。

生5：我先将陈红和杜刚、李勤分别连线，有2种搭配方法;再将李兰和杜刚、李勤连线，也有2种搭配方法;最后将马芬和杜刚、李勤连线，也有2种搭配方法。因此一共有6种搭配方法。

师：还有别的连线次序吗？

生7（边指边说）：先将杜刚依次连上面的三位女球员，有3种搭配方案;再将李勤依次连上面的三名女球员，也有3种搭配方案。因此一共有6种搭配方案。

（教师展示生7用符号连线表示的搭配方案，如图2所示）       

师：能看懂这其中的玄机吗？谁来解说一下。

生8：他的方法其实和生5的如出一辙，只不过这里用不同图案表示不同球员，更加简便直观。

师：这么多方案，哪种方案最好？请说出理由。

生9：符号连线法是最佳方法，因为它又直观又简洁。

师：复杂的问题往往可以通过符号变得直观明了，“数形结合”是一条解决问题的坦途。

【反思】直接拿真人照片摆弄，属于最直观的实践性操作，但是这种方法无法使学生形成细致缜密的有序思维，学生也无法归纳出一种数学理论，只有进行符号化的处理才能促进学生数学思维的形成。先将图片抽象为人名，两两配对连线，这是停留在筛选排序阶段;再将人名抽象为字符（字母和数字），组合成各种不同的数码，进一步将筛选排序升级为组合排序;然后将人名按性别分为上下两行，通过连线来完成搭配，此时达到初步几何直观排序的层级;最后将人名抽象为几何图，按性别设计成不同形状的四边形和三角形，彻底完成几何化的直观排序。这样层层递进的抽象化排序，让学生彻底摆脱文字描述和数量关系的束缚，直指有序思想的核心——符号化处理所有元素。

有序操作虽让学生摸清了门路，但不可能每次找规律都靠拼摆，而是要具有抽象的思维脉络。而帮助学生转化提炼的过程，不是突兀地展示抽象图，而是让学生在充分地探究创新后，进行交流、评析并优化，形成情感式体验，这样才能内化为专属个人的“找”的谋略和智慧。由于学生的思维存在差异，所以个性化的思考可以提示和启发其他同学。为此，在展示环节，教师有意识地将学生的搭配方案按照由粗到细分层展现，完美演绎搭配方法的“进化”过程，让学生更清楚地了解自己所用方法的优劣，使学生的思维能力也随之不断提升。在每次的探讨与交流、磋商与改进中，学生都能够增加体验、扬长避短、取长补短。教师最后进行概括，点明主旨，提出“找规律”的重要手段——数形结合。

三、赋予实际意义，为抽象“找”提供依据

【教学片段3】

师：基于前面的实践探索，你能归纳出一个算式吗？（3×2=6或2×3=6）

师：如何理解这个算式的合理性？

生1：第一位女球员可搭配两名男球员，有2种方法;第二位女球员可搭配两名男球员，也有2种方法;第三位女球員可搭配两名男球员，也有2种方法。因此就是3个2种。

生2：还可以这样理解，第一位男球员可搭配三名女球员，有3种方法;第二位男球员可搭配三名女球员，也有3种方法。因此是2个3种。

师：如果增派一名男球员，会有多少种搭配方式？想象一下，该如何搭线？如何列式？

生3：增派一名男球员，即第三位男球员，他可搭配三名女球员，也有3种方法，就是3个3种，3×3=9。

师：如果再增派一名女球员，一共有多少种搭配方式？有几个几种？

生4：新增的这位女球员仍然要和三名男球员搭配，也有3种方法，因此就有4个3种，4×3=12。

师：假若有10名女球员、8名男球员，又有多少种不同的搭配方法呢？（学生有的搭线，有的直接列式）

生5：第一位女球员可分别与8名男球员搭配，有8种方法;第二位女球员可分别与8名男球员搭配，也有8种方法……

生6（打断生5）：不要再往下说了，10位女球员自然就有10个8种，所以是10×8=80。

师：为什么选择连线的同学中断了？

生7：线条太多，横七竖八的，数不过来。

生8：只需连完第一位女球员的所有搭配形式就好了。

出示表格：

师：现在你能概括出搭配规律的公式了吗？

生9：男球员人数×女球员人数=搭配总方法数。

生10：可以推广为，一种“配件”的数量×另一种“配件”的数量=搭配总方法数。

师：你们觉得哪种定理描述得更恰当？

生11：第二种。因为生活中需要搭配的事物数不胜数，不光是男球员和女球员。

【反思】抽象连线仍只是停留在一一列举阶段，没有达到数学模型的高度。数学是一门精练的学科，要想从直观的操作中归纳出数学模型，还得回归文字，让学生从对情境的描述和理解中概括出算理。有了前面的直观操作，学生对算理的探析会更加有理可依。学生一边回顾前面多种操作形成的表象，一边描述推理过程，用男球员搭配女球员，每位男球员的搭配方案数就是女球员的人数，而这个数字是一定的，由此可得搭配总方案数就是男球员人数乘以女球员人数。教师通过不断增加男球员人数和女队员人数来增加逻辑难度。最后，抛开选配球员的情境，教师引导学生通过类比迁移归纳出：任何搭配方案总数的计算都是各种“配件数”的相乘。

探寻规律本质上属于“数学建模”的范畴，在小学阶段通常都是通过归纳概括得出，而从半直观、半抽象的图示法到完全抽象的符号化算式，更有利于学生确认这一规律的普适性。探寻得到的算式很简单，无非就是将各种“配件”的数量相乘，但如果不领悟乘法运算的深刻含义，那就不能算得到了规律。教学中，教师设计了增派男球员和女球员的环节，让搭配总数持续呈现动态变化。学生在动态变化中发掘隐含的恒量，将前面操作的经验迁移到新情境下，很快想出“几个几”。最后，教师一下子将男球员和女球员增至10人和8人，两个因素同步改变，且数目较大，画图推演变得异常困难，但有先前对“几个几”的反复演练与强化，现在只需画出一名女球员的所有搭配情形，就能找到参照基准——“一个几”。这也体现了理解算理的巨大作用。

综上，在教学中教师注重渗透和揭示算理，是希望学生能站在理解的高度上。只有这样，学生在运用时才能做到心中自有主张。

（责编 罗 艳）